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导数的综合应用小结与复习


导数的综合应用小结与复习 一、教学目标: 1、知识与技能:① 利用导数研究函数的单调性、极大(小)值以及函数在连续区间[a,b]上的 最大(小)值;②利用导数求解一些实际问题的最大值和最小值。 2、过程与方法: ①通过研究函数的单调性、极大(小)值以及函数在连续区间[a,b]上的最大(小)值,培养学 生的数学思维能力; ② 通过求解一些实际问题的最大值和最小值,培养学生分析问题、解决问 题的能力,以及数学建模能力。 3、情感态度、价值观:逐步培养学生养成运用数形结合、等价转化、函数与方程等数学思想方法 思考问题、解决问题的习惯。 二、 教学重难点: 通过研究函数的单调性、 极大 (小) 值以及函数在连续区间[a, b]上的最大 (小) 值,培养学生的数学思维能力; 通过求解一些实际问题的最大值和最小值,培养学生分析问题、 解决问题的能力,以及数学建模能力。 三、教学方法:探析归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、知识点 1、导数应用的知识网络结构图:

(二)重点导析: 1、本课主要内容是小结导数在研究函数性质方面的应用,即函数的单调性、极大(小)值、最 大(小)值,以及运用导数来解决实际问题.其知识要点如下表所示.

函数 单调 性充 分判 别法 x ∈(a , b) , f ′(x) > 0 f(x) 在(a , b) 内递增 x ∈(a , b) , f ′(x) < 0 f(x) 在(a , b)内递减.

函数 极值 判别 法

a<x<x 0 ,f′ (x) > 0 ? x 0 <x<b,f′ (x) < 0? ? f′ (x 0 ) = 0

? ? ?

a<x<x 0 ,f′ (x) < 0 ? x 0 <x<b,f′ (x) > 0? f′ (x) = 0

? ? ?

?

f(x) 在(a , b) 内, f(x) max = f(x0 ) (1) 求(a , b)内 f(x) 的极值 (2) 求 f(a) 、 f(b) (3) 比较 f(a) 、 f(b) 、极值大小

f(x) 在(a , b) 内, f(x) min = f(x0 )

最值 求法 步骤

2、对于函数单调性的判定强调:(1)判别法的依据是导数的几何意义;(2)在(a,b)内 f′(x) >0(f′(x)<0)是使 f(x)在(a, b)内递增或递减的充分条件而非必要条件, 例 f(x)= ∞,+∞)内递增,并不要求在(-∞,+∞)内 f′(x)>0. 3、关于极值问题,仍然要注意以下问题:(1)极值点未必可导点;(2)f′(x)=0 时,f(x)未 必是极值;(3)极大值未必大于极小值. 4.关于函数的最值:切实掌握求最值的步骤和方法外,应说明极值和最值的关系,以及 f(x) 在[a,b]内连续是使 f(x)在[a,b]内有最大值和最小值的充分条件而非必要条件. (三) 、例题探析 例 1、求函数 y=

x

3

在(-

x

4

-2

x

2

+5 在闭区间[-2,2]上的极值、最值,讨论其在[-2,2]上的

各个单调区间.(可叫学生演板)

x - 2 (- 2 ,- 1) - 1 (- 1 , 0) y′ - + 0 y 13 4

0 0 5

(0 , 1) 1 (1 , 2) - + 0 4

2 13

例 2、如图,两个工厂 A、B 相距 0.6km,A、 B 距电站 C 都是 0.5 km.计划铺设动力线,先 由 C 沿 AB 的垂线至 D,再与 A、B 相连.D 点选在何处时,动力线总长最短?

分析:据题意应知三角形 ADB 是等腰三角形,DE 是其高线.故可设 DE 为 x km.由 AB=0.6,

. ? 0.3 =0.4, CD=0.4-x. AC=BC=0.5,得 AE=EB=0.3. CE= 05
AD=BD= x 2 ? (0.3) 2 .
动力线总长 l

2

2

l= 2 x 2 ? (0.3) 2 + 0.4 -x. 令 l′=[2 x 2 ? (0.3) 2 + 0.4 -x]? 2 2x = · ?1 2 2 x ? 0.09
= 2 x ? x 2 ? 0.09 x 2 ? 0.09 = 0.

即2x- x 2 ? 0.09 =0,求得唯一极值点,x=
故 D 点选在距 AB 0.17 千米处时,动力线最短.

3 ≈0.17 . 10

例 3、已知 a 为实数, f ( x) ? ( x ? 4)(x ? a)(Ⅰ)求导数 f ( x) ; (Ⅱ)若 f (?1) ? 0 ,求 f ( x)
2
/ /

在 [?2, 2] 上的最大值和最小值; (Ⅲ)若 f ( x) 在 (??, ?2) 和[2,+∞]上都是递增的,求 a 的取

值范围。 解:(Ⅰ)由原式得 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a, ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4.

1 1 2 2 ,此时有 f ( x) ? ( x ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3 x ? x ? 4 . 2 2 4 4 50 9 , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, 由 f ?(?1) ? 0 得 x ? 或 x=-1 , 又 f ( ) ? ? 3 3 27 2 9 50 . 所以 f(x)在[--2,2]上的最大值为 , 最小值为 ? 2 27
(Ⅱ)由 f ?(?1) ? 0 得 a ? (Ⅲ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,--4)的抛物线,由条件得

f ?(?2) ? 0, f ?(2) ? 0, 即 4a ? 8 ? 0 8 ? 4a ? 0.

?

∴--2≤a≤2. 所以 a 的取值范围为[--2,2].

(四) 、课堂练习:复习参考题三 A 组 1(1)题、 (2)题 (五) 、课堂内容小结:(1)本节知识要点;(2)例题涉及的知识点、难点;(3)三道例题解答所重 用的工具. (六) 、布置作业:课本复习参考题三 A 组第 1 (3)、 (5) 、2(2) 、3 五、教学反思:


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