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15-01-20高二理科数学《期末复习圆锥曲线与简易逻辑卷与答案》


2015 年长郡中学高二一期期末复习试卷------圆锥曲线与简易逻辑
一、选择题:

x2 1、已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的 3
另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( C A.2 3 B.6 C.4 3 ) D.12

2、 “ m ? ?2

”是“直线 (2 ? m) x ? my ? 3 ? 0 与直线 x ? m y ? 3 ? 0 垂直”的( A )

A.充分不必要条件
2

B.必要不充分条件 C.充要条件 D.不充分不必要条件
) B.

3、抛物线 y=4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是( B A.

17 16

15 16

C.

7 8

D.0

4、已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|=|PF2|, 那么动点 Q 的轨迹是( A ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线的一支 D.抛物线 5、设 x ? Z ,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p : ?x ? A, 2 x ? B ,则( A. ?p : ??x ? A, 2 x ? B C. ?p : ?x ? A, 2 x ? B
【答案】A



B. ?p : ?x ? A, 2 x ? B D. ?p : ?x ? A, 2 x ? B

x2 y 2 6、若 F 为双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0) 的右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线上一点, a 3a 则 ?POF 的大小不可能是( C ) A . 20 B. 40 C. 80 D. 160
7、下列四个结论: ①若 p :2 是偶数, q :3 不是质数,那么 p ? q 是真命题; ②若 p : ? 是无理数, q : ? 是有理数,那么 p ? q 是真命题; ③若 p :2>3, q :8+7=15,那么 p ? q 是真命题; ④若 p :每个二次函数的图象都与 x 轴相交,那么 ? p 是真命题; 其中正确结论的个数是 ( C ) A.1 B.2 C.3 D.4

8、双曲线的虚轴长为4,离心率 e ?

6 ,F1、F2分别是它的左,右焦点,若过F1的直线 2

与双曲线的左支交于A、B两点,且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项,则|AB|为(A).
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A、 8 2 二、填空题

B、 4 2

C、 2 2

D、8

9、已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长轴长是短轴长的 2 倍,则该 椭圆的标准方程是
2 y2 ?1 _________________ . x ?

16

4

2 * 10、设, n ? N ,一元二次方程 x ? 4 x ? n ? 0 有正数根的充要条件是 n =

3或4

11、设命题 p: | 4 x ? 3 |? 1 ;命题 q: x 2 ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ? 0 .若┐p 是┐q 的必要而 不充分的条件,则实数 a 的取值范围是 12、设 F1 , F2 是椭圆 (答案: [0, ] )

1 2

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点,过 F1 且平行于 y 轴的直线交椭圆于 A, B 两 25 16
48 5

点,则 ?F2 AB 的面积是________________

2 2 13、 若 F1, F2 分别为椭圆 x 2 ? y 2 ? 1 的左、 右焦点, 点 P 在椭圆上, △POF2 是面积为 3 的 a b

正三角形,则 b 的值是 14、若 F1、F2 为双曲线

2

。2 3

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,O 为坐标原点,点 P 在双曲线的左支 a2 b2

上,点 M 在双曲线的右准线上,且满足: F1O ? PM , OP ? ? ( 则该双曲线的离心率为___________________ 解:由 F1O ? PM 知四边形 F1OMP 是平行四边形,又 OP ? ? (

OF 1 OF1
?

?

OM OM

) (? ? 0) ,

OF1 OF1

OM OM

)

知 OP 平分∠F1OM,即 F1OMP 是菱形,设|OF1|=c,则|PF1|=c. 又|PF2|-|PF1|=2a, ∴|PF2|=2a+c, 由双曲线的第二定义知 e ? 三、解答题 15、 命题 P : 任意 n ? R, 使方程 n 2 ? 1 y 2 ? mx2 ? 1 表示的曲线为椭圆或圆, 命题 q : 存在 n ? R, 函数 f ?x ? ? mx3 ? 3x 2 ? x ? 1 不是减函数,若命题“p 且 q”为假, “ p 或 q ”为真, “ ?q ” 为真,求 m 的取值范围.
第 2 页 共 5 页

2a ? c 2 ? ? 1 ,且 e>1,∴e=2 c e

?

?

【答案】 ???, “p 或 q”为真, “ ?q ”为真,所以 ? 3? 【解析】因为命题“p 且 q”为假, 命题 p 真 q 假 .p 真时 m 的范围是 ???,0? ,命题 q 假时 m 的范围等价于 ?q 为真时 m 的范 围 , ?q : 任 意 x ? R , 函 数 f ?x ? ? mx 3 ? 3x 2 ? x ? 1 是 减 函 数 , ?q 为 真 等 价 于 当 x ? R 时
? m<0 f ' ?x ? ? 3mx 2 ? 6 x ? 1 ? 0 恒成立,易知 ? ? ? ? 36?12m ? 0

即 m ? ???, ? 3? ,所以命题 p 真 q 假时 m 的范

围是 ???, ? 3? .

y2 ? 1 ,过 P(1,1)能否作一条直线 L 与双曲线交于 A、B 两点,且 P 16、已知双曲线 x ? 2
2

为 AB 中点. 解: (1)过点 P 且与 x 轴垂直的直线显然不符合要求. (2)设过 P 的直线方程为 y ? 1 ? k ( x ? 1) ,代入 x ?
2

y2 ? 1 并整理得: 2

(2 ? k 2 ) x 2 ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) 2 ? 2 ? 0
∴ x1 ? x 2 ?

2k (1 ? k ) 2k (1 ? k ) ?2 ,又∵ x1 ? x2 ? 2 ∴ 2 2?k 2?k2

解之得:k=2,故直线方程为:y=2x-1,即直线是存在的. 当 k=2 时代入方程可知Δ <0,故这样的直线不存在. 17、已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在坐标轴上,直线 y=x+1 与该椭圆相交于 P 和 Q,

10 ,求椭圆的方程. 2 x2 y2 解:设所求椭圆的方程为 2 ? 2 =1. 依题意知,点 P、Q 的坐标满足方程组: a b
且 OP⊥OQ,|PQ|=

?x 2 y2 ? 2 ? 2 ? 1    ① ?a b ?y ? x ? 1     ② ?
将②代入①,整理得 (a ? b ) x ? 2a x ? a (1 ? b ) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2



设方程③的两个根分别为 x1 、 x2 ,则直线 y=x+1 和椭圆的交点为 P( x1 , x1 +1) , Q( x2 , x2 +1),由题设 OP⊥OQ,|OP|=
? x1 ? 1 x2 ? 1 ? x ? x ? ?1 ? 1 2 ? 10 2 ? ( x2 ? x1 ) 2 ? [(x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)]2 ? ( ) ? 2 ?

10 ,可得 2

整理得
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?( x1 ? x 2 ) ? 2 x1 x 2 ? 1 ? 0       ① ? 2 ?4( x1 ? x 2 ) ? 16x1 x 2 ? 5 ? 0     ②
解这个方程组,得

1 ? x1 x 2 ? ? ? 4 ? ?x ? x ? ? 3 1 2 ? 2 ?

1 ? x1 x 2 ? ? ? ? 4 或 ? ?x ? x ? ? 1 1 2 ? 2 ?

根据根与系数的关系,由③式得

? 2a 2 3 ? ? 2 2 ?a ? b 2 (1) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? 1 ? 4 ? a2 ? b2
解方程组(1)、(2)得

? 2a 2 1 ? ? 2 2 ?a ? b 2 或 (2) ? 2 2 ? a (1 ? b ) ? ? 1 ? 4 ? a2 ? b2
x2 y2 ? 2 2 3 x2 y2 ? =1. 2 2 3

?a 2 ? 2 ? ? 2 2 ?b ? 3 ?
18、已知椭圆 C1:

? 2 2 ?a ? 或? 3 2 ?b ? 2 ?

故所求椭圆方程为

=1 或

x2 y2 ? 4 3

=1,抛物线 C2: ( y ? m) 2 ? 2 px( p ? 0) ,且 C1、C2

的公共弦 AB 过椭圆 C1 的右焦点。 (1)当 AB⊥ x 轴时,求 m 、 p 的值,并判断抛物线 C2 的焦 点是否在直线 AB 上; (2)若 p =

4 ,且抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上,求 m 的值 3

及直线 AB 的方程. 解: (1)当 AB⊥ x 轴时,点 A、B 关于 x 轴对称,所以 m =0, 直线 AB 的方程为 x =1,

3 3 )或(1,- ) , 2 2 9 9 因为点 A 在抛物线上,所以 ? 2 p , p = . 4 8 9 此时,抛物线 C2 的焦点坐标为( ,0) ,该焦点不在直线 AB 上. 16
从而点 A 的坐标为(1, (2)当抛物线 C2 的焦点在直线 AB 上时,由(1)知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程 为 y ? k ( x ? 1) .

? y ? k ( x ? 1) ? 2 2 2 2 由 ? x2 消去 y 得 (3 ? 4k ) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 y2 ?1 ? ? 3 ?4
第 4 页 共 5 页



设 A、B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ). 则 x1 , x2 是方程①的两根, x1 + x2 =

8k 2 . 3 ? 4k 2

因为 AB 既是过 C1 的右焦点的弦,又是 C2 的焦点的弦,

1 1 1 x1 )+(2- x 2 )=4- ( x1 ? x 2 ) ,且 2 2 2 p p 4 |AB|=( x1 ? )+( x 2 ? )= x1 ? x2 ? p = x1 ? x 2 ? . 2 2 3 4 1 从而 x1 ? x 2 ? =4- ( x1 ? x 2 ) 3 2 16 16 8k 2 ? 所以 x1 ? x 2 ? ,即 2 9 9 3 ? 4k 解得 k ? ? 6 . 2 1 、 因为 C2 的焦点 F ( , m )在直线 y ? k ( x ? 1) 上,所以 m ? ? k , 3 3 6 即m ? ? 3 6 当m ? 时直线 AB 的方程为 y ? ? 6 ( x ? 1) ; 3 6 当m ? ? 时直线 AB 的方程为 y ? 6 ( x ? 1) . 3
所以|AB|=(2-

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