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2016年江苏省南通市高考数学模拟试卷(十)(解析版)


2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷(十)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设集合 U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则?U(A∩B)等于 . 2.已知 b∈R,若(2+bi) (2﹣i)为纯虚数,则|1+bi|= . 3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分 布

直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为 .

4.按照程序框图(如图)执行,第 3 个输出的数是



5.从 3 名男同学,2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛,则选到的 2 名同学中至少有 1 名 男同学的概率是 . 2 6.命题:“存在 x∈R,使 x +ax﹣4a<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 . 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ) , (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则该函数的解析 式是 .

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8.如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,点 D 在 OA 的延长线上,且 OD=2,点 P 为 △BCD 内(含边界)的动点,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的最大值等于 .

9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 交于 E 点.记四棱锥 E﹣A1B1C1D1 的体积为 V1,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 V2,则 是 . 的值

10.若曲线:y=ax+1(a>0 且 a≠1)在点(0,2)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a= . 11.实数 x,y 满足 4x2﹣5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 + = .

12. f x) = 设函数(

2 f( f a) =2 f a) , 则满足( ) (( ) 的 a 的取值范围为



13.已知圆 O:x2+y2=1,点 C 为直线 l:2x+y﹣2=0 上一点,若圆 O 存在一条弦 AB 垂直平 分线段 OC,则点 C 的横坐标的取值范围是 . 14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d>0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列,若 a4﹣a1=88,则 q 的所有可能的值构成的集合 为 . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字 说明、证明过程或演算步骤.

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15.已知 α,β 均为锐角,且





(1)求 sin(α﹣β)的值; (2)求 cosβ 的值. 16.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,D,E, F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点. (I)求证:DE∥平面 ABC; (II)平面 AEF⊥平面 BCC1B1;求三棱锥 A﹣BCB1 的体积.

17.如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植 水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍, 但种植甲水果需要有辅助光照. 半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要,该光源照射范围是∠ECF= 直径 AB 上,且∠ABC= . ,点 E,F 的

(1)若 CE= ,求 AE 的长; (2)设∠ACE=α,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

18.已知椭圆 C 方程为

+

=1(a>n>0) ,离心率 e=

,过焦点且与长轴垂直的直线

被椭圆所截得线段长为 1. (1)求椭圆 C 方程; (2)D,E,F 为曲线 C 上的三个动点,D 在第一象限,E,F 关于原点对称,且|DE|=|DF|, 问△DEF 的面积是否存在最小值?若存在,求出此时 D 点的坐标;若不存在,请说明理由. 19.设 a∈R,函数 f(x)=lnx﹣ax. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)设 F(x)=f(x)+ax2+ax,问 F(x)是否存在极值,若存在,请求出极值;若不存 在,请说明理由; (Ⅲ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是函数 g(x)=f(x)+ax 图象上任意不同的两点,线段 AB 的中点为 C(x0,y0) ,直线 AB 的斜率为为 k.证明:k>g′(x0) .
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20.对于给定数列{cn},如果存在实常数 p,q,使得 cn+1=pcn+q(p≠0)对于任意的 n∈N* 都成立,我们称这个数列{cn}是“M 类数列”. (1)若 an=2n,bn=3?2n,n∈N*,判断数列{an},{bn}是否为“M 类数列”,并说明理由; (2)若数列{an}是“M 类数列”,则数列{an+an+1}、{an?an+1}是否一定是“M 类数列”,若是 的,加以证明;若不是,说明理由; (3)若数列{an}满足:a1=1,an+an+1=3?2n(n∈N*) ,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn 的表达式,并判断{an}是否是“M 类数列”. 选做题[选修 4-1:几何证明选讲](任选两个) 21.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 CA=8,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知线性变换 T1 是按逆时针方向旋转 90°的旋转变换,其对应的矩阵为 M,线性变换 T2: 对应的矩阵为 N.

(Ⅰ)写出矩阵 M、N; (Ⅱ)若直线 l 在矩阵 NM 对应的变换作用下得到方程为 y=x 的直线,求直线 l 的方程. [选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

23.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) ,以原

点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线 C 的极坐标方程 (Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围. [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集; (2)? x∈R,使 f(x)≥t2﹣ t,求实数 t 的取值范围.
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解答题 25.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍 4 人积极参加网购,大家约定:每个人通 过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物, 掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物, 掷出 点数小于 5 的人去京东商场购物,且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物. (Ⅰ)求这 4 人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率; (Ⅱ)用 ξ、η 分别表示这 4 人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记 X=ξη,求随机变量 X 的分布列与数学期望 EX. 26.记(1+ ) (1+ ∈N*. (1)求 an; (2)是否存在常数 p,q(p<q) ,使 bn= (1+ 证明你的结论. ) (1+ ) 对 n∈N*,n≥2 恒成立? )…(1+ )的展开式中,x 的系数为 an,x2 的系数为 bn,其中 n

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2016 年江苏省南通市高考数学模拟试卷(十)
参考答案与试题解析

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.设集合 U={1,2,3,4},A={1,2},B={2,4},则?U(A∩B)等于 {1,3,4} . 【考点】补集及其运算. 【分析】首先求出 A∩B,然后对其进行补集运算. 【解答】解:由已知,A∩B={2},所以?U(A∩B)={1,3,4}; 故答案为:{1,3,4}. 2.已知 b∈R,若(2+bi) (2﹣i)为纯虚数,则|1+bi|= 【考点】复数求模. 【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出. 【解答】解: (2+bi) (2﹣i)=4+b+(2b﹣2)i 为纯虚数, ∴ ,解得 b=﹣4. = . .

则|1+bi|=|1﹣4i|= 故答案为: .

3.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽出了一个容量为 n 的样本,其频率分 布直方图如图所示,其中支出在[50,60)元的同学有 30 人,则 n 的值为 100 .

【考点】频率分布直方图. 【分析】根据频率直方图的意义,由前三个小组的频率可得样本在[50,60)元的频率,计 算可得样本容量. 【解答】解:由题意可知:前三个小组的频率之和=(0.01+0.024+0.036)×10=0.7, ∴支出在[50,60)元的频率为 1﹣0.7=0.3, ∴n 的值= 故答案 100. 4.按照程序框图(如图)执行,第 3 个输出的数是 5 . ;

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【考点】循环结构. 【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是 1,第二个输出的数字是 1+2=3,第三 个输出的数字是 3+2=5. 【解答】解:由题意知第一个输出的数字是 1 第二个输出的数字是 1+2=3 第三个输出的数字是 3+2=5 故答案为:5 5.从 3 名男同学,2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛,则选到的 2 名同学中至少有 1 名 男同学的概率是 .

【考点】古典概型及其概率计算公式. 【分析】 选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的对立事件是选到两名女同学, 由此利用对立 事件概率计算公式能求出选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的概率. 【解答】解:从 3 名男同学,2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛, 基本事件总数 n= =10,

选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的对立事件是选到两名女同学, ∴选到的 2 名同学中至少有 1 名男同学的概率: p=1﹣ = .

故答案为:



6.命题:“存在 x∈R,使 x2+ax﹣4a<0”为假命题,则实数 a 的取值范围是 [﹣16,0] . 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】将条件转化为 x2+ax﹣4a≥0 恒成立,必须△≤0,从而解出实数 a 的取值范围. 【解答】解:命题:“存在 x∈R,使 x2+ax﹣4a<0”为假命题, 即 x2+ax﹣4a≥0 恒成立,必须△≤0,
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即:a2+16a≤0,解得﹣16≤a≤0, 故实数 a 的取值范围为[﹣16,0]. 故答案为:[﹣16,0]. 7.已知函数 y=Asin(ωx+φ) , (A>0,ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则该函数的解析 式是 y=2sin( x+ ) .

【考点】由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】由图可知,A=2,由点(0,1)在函数的图象上,可得 sinφ= ,利用五点作图法 可解得 φ,又点(﹣ ,0)在函数的图象上,可得﹣ ω+ =kπ,k∈Z,进而解得 ω,

从而得解该函数的解析式. 【解答】解:∵由图知 A=2,y=2sin(ωx+φ) , ∵点(0,1) ,在函数的图象上, ∴2sinφ=1,解得:sinφ= , ∴利用五点作图法可得:φ= ∵点(﹣ ∴可得:﹣ 解得:ω= ﹣ ∵ω>0, ∴当 k=0 时,ω= , ∴y=2sin( x+ ) . ) . , ω+ )=0,

,0) ,在函数的图象上,可得:2sin(﹣ ω+ =kπ,k∈Z,

,k∈Z,

故答案为:y=2sin( x+

8.如图,四边形 OABC 是边长为 1 的正方形,点 D 在 OA 的延长线上,且 OD=2,点 P 为 △BCD 内(含边界)的动点,设 =α +β (α,β∈R) ,则 α+β 的最大值等于
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【考点】简单线性规划;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】因为是正方形,所以可考虑建立平面直角坐标系:以 O 为原点,OA,OC 所在直 线分别为 x 轴,y 轴建立平面直角坐标系,这时候可求出 ,所以

设 P(x,y) ,所以根据已知条件可得: (x,y)=(2β,α) ,所以可用 x,y 表示 α,β,并 得到 ,这样求 的最大值即可.而 x,y 的取值范围便是△BCD 上及其内 ,y= ,所以 z 表示直线

部,所以可想着用线性规划的知识求解.所以设 z=

在 y 轴上的截距,要求 α+β 的最大值,只需求截距 z 的最大值即可,而通过图 形可看出当该直线过 B 点时截距最大,所以将 B 点坐标带入直线方程,即可得到 z 的最大 值,即 α+β 的最大值. 【解答】解:分别以边 OA,OC 所在直线为 x,y 轴建立如图所实施平面直角坐标系;

则:

,设 P(x,y) ,

; ∴(x,y)=α(0,1)+β(2,0)=(2β,α) ; ∴ ∴ 设 z= ; ; ,则:y= ,所以 z 是直线 y= 在 y 轴上的截距;

由图形可以看出,当该直线经过 B(1,1)点时,它在 y 轴的截距 z 最大,最大为 ;
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∴α+β 的最大值是 . 故答案为: .

9.如图,在长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,对角线 B1D 与平面 A1BC1 交于 E 点.记四棱锥 E﹣A1B1C1D1 的体积为 V1,长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的体积为 V2,则 的值是 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积. 【分析】连接 B1D1∩A1C1=F,证明以 E 是△A1BC1 的重心,那么点 E 到平面 A1B1C1D1 的 距离是 BB1 的 ,利用体积公式,即可得出结论. 【解答】解:连接 B1D1∩A1C1=F,平面 A1BC1∩平面 BDD1B1=BF, 因为 E∈平面 A1BC1,E∈平面 BDD1B1,所以 E∈BF, 连接 BD,因为 F 是 A1C1 的中点,所以 BF 是中线, 又根据 B1F 平行且等于 BD,所以 = ,

所以 E 是△A1BC1 的重心,那么点 E 到平面 A1B1C1D1 的距离是 BB1 的 , 所以 V1= 而 V2= 所以 = . × BB1, ×BB1,

故答案为: .

10.若曲线:y=ax+1(a>0 且 a≠1)在点(0,2)处的切线与直线 x+2y+1=0 垂直,则 a= e2 .
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【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】求出函数的导数,求得切线的斜率,由两直线垂直的条件:斜率之积为﹣1,可得 a 的方程,即可解得 a. 【解答】解:y=ax+1 的导数为 y′=axlna, 即有曲线在点(0,2)处的切线斜率为 k=lna, 由于切线与直线 x+2y+1=0 垂直, 则 lna?(﹣ )=﹣1, 解得 a=e2, 故答案为:e2. 11.实数 x,y 满足 4x2﹣5xy+4y2=5,设 S=x2+y2,则 【考点】基本不等式. 【分析】由 2xy≤x2+y2 可得 5xy=4x2+4y2﹣5≤ (x2+y2) ,从而可求 s 的最大值,由 x2+y2 ≥﹣2xy 及 5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5 可得 xy 的范围,进而可求 s 的最小值,代入可求 【解答】解:∵4x2﹣5xy+4y2=5, ∴5xy=4x2+4y2﹣5, 又∵2xy≤x2+y2 ∴5xy=4x2+4y2﹣5≤ (x2+y2) 设 S=x2+y2, 4s﹣5≤ s ∴s 即

+

=



∵x2+y2≥﹣2xy ∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5 ∴xy ∴﹣xy ∴S=x2+y2≥﹣2xy ∴ ∴ + = =

故答案为:

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12.设函数 f(x)=

,则满足 f(f(a) )=2(f(a) )2 的 a 的取值范围为

[ ,

+∞)∪{ } . 【考点】分段函数的应用. 【分析】令 f(a)=t,则 f(t)=2t2,讨论 t<1,及 t≥1 时,以及 a<1,a≥1,由分段函数 的解析式,解不等式或方程即可得到所求范围. 【解答】解:令 f(a)=t, 则 f(t)=2t2, 若 t<1 时,由 f(t)=2t2 得 3t﹣1=2t2,即 2t2﹣3t+1=0,得 t=1(舍)或 t= , 当 t≥1 时,2t2=2t2 成立, 即 t≥1 或 t= , 若 a<1,由 f(a)≥1,即 3a﹣1≥1,解得 a≥ ,且 a<1;此时 ≤a<1, 由 f(a)= 得 3a﹣1= 得 a= ,满足条件, 若 a≥1,由 f(a)≥1,即 2a2≥1, ∵a≥1,∴此时不等式 2a2≥1 恒成立, 由 f(a)= 得 2a2= 得 a=± ,不满足条件, 综上 ≤a<1 或 a≥1.即 a≥ . 综上可得 a 的范围是 a≥ 或 a= . 故答案为:[ ,+∞)∪{ } 13.已知圆 O:x2+y2=1,点 C 为直线 l:2x+y﹣2=0 上一点,若圆 O 存在一条弦 AB 垂直平 分线段 OC,则点 C 的横坐标的取值范围是 (0, ) .

【考点】直线与圆相交的性质. 【分析】设 C(x0,2﹣2x0) ,得线段 OC 的中点坐标,则只要中点能落在圆的内部,就存 在弦 AB 垂直平分线段 OC,所以代入圆的方程,即可确定点 C 的横坐标的取值范围. 【解答】解:设 C(x0,2﹣2x0) ,则线段 OC 的中点坐标是 D( x0,1﹣x0) ,则只要中点 能落在圆的内部,就存在弦 AB 垂直平分线段 OC,所以代入圆的方程, (
2

x0)2+(1﹣x0)

<1,解得 0<x0< .

故答案为: (0, ) .
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14.各项均为正偶数的数列 a1,a2,a3,a4 中,前三项依次成公差为 d(d>0)的等差数列, 后三项依次成公比为 q 的等比数列,若 a4﹣a1=88,则 q 的所有可能的值构成的集合为 { } .

【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】先假设数列的项,利用三项依次成公比为 q 的等比数列,建立等式,从而可得公差 的范围及取值,由此,即可求得结论. 【解答】解:设 a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中 a1,d 均为正偶数,则 ∵后三项依次成公比为 q 的等比数列 ∴ 整理得 则 d 可能为 24,26,28, 当 d=24 时,a1=12, ;当 d=26 时, . (舍去) ;当 d=28 时,a1=168, ; , ,所以(d﹣22) (3d﹣88)<0,即 ,

所以 q 的所有可能值构成的集合为 故答案为

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15.已知 α,β 均为锐角,且 (1)求 sin(α﹣β)的值; (2)求 cosβ 的值. 【考点】两角和与差的正切函数;同角三角函数间的基本关系;两角和与差的正弦函数. 【分析】 (1)根据 α、β 的范围,利用同角三角函数的基本关系,求得 sin(α﹣β)的值. (2)由(1)可得, 利用两角差的余弦公式求得结果. 【解答】解: (1)∵ 又∵ ,∴ ,从而 . … , . , ,根据 cosβ=cos[α﹣(α﹣β)], , .

利用同角三角函数的基本关系可得 sin2(α﹣β)+cos2(α﹣β)=1,且 解得 (2) 由 (1) 可得, . … . ∵α 为锐角, , ∴ .



∴cosβ=cos[α﹣(α﹣β)]=cosαcos(α﹣β)+sinαsin(α﹣β)…
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=

=





16.已知三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC,AB=AC=AA1=2,∠BAC=90°,D,E, F 分别为 B1A,C1C,BC 的中点. (I)求证:DE∥平面 ABC; (II)平面 AEF⊥平面 BCC1B1;求三棱锥 A﹣BCB1 的体积.

【考点】平面与平面之间的位置关系;直线与平面平行的判定. 【分析】 (1)欲证 DE∥平面 ABC,根据线面平行的判定定理可知,证线线平行,取 AB 中 点 G,连 DG,CG,只需证 DE∥GC 即可; (2)欲证平面 AEF⊥平面 BCC1B1,根据面面垂直的判定定理可知,证 AF⊥平面 BCC1B1 即可,然后再根据体积公式求出三棱锥 A﹣BCB1 的体积. 【解答】解: (I)取 AB 中点 G,连 DG,CG 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC, ∴BCC1B1 是矩形. ∵D,E 分别为 AB1,CC1 的中点, ∴ ∴ , 是平行四边形,∴DE∥GC.

∵GC? 平面 ABC,DE?平面 ABC, ∴DE∥平面 ABC. (II)三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,CC1⊥底面 ABC, ∴AF⊥CC1∵AB=AC,F 为 BC 中点,∴AF⊥BC 又 BC∩CC1=C∴AF⊥平面 BCC1B1,又 AF? 平面 AEF, ∴平面 AEF⊥平面 BCC1B1 AF⊥平面 BCC1B1, 在由已知,RT△ABC 中,AB=AC=2, ∴BC=2 ∴ ,

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17.如图,有一直径为 8 米的半圆形空地,现计划种植甲、乙两种水果,已知单位面积种植 水果的经济价值是种植乙水果经济价值的 5 倍, 但种植甲水果需要有辅助光照. 半圆周上的 C 处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要,该光源照射范围是∠ECF= 直径 AB 上,且∠ABC= . ,点 E,F 的

(1)若 CE= ,求 AE 的长; (2)设∠ACE=α,求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积.

【考点】函数模型的选择与应用. 【分析】 (1)利用余弦定理,即可求 AE 的长; (2)设∠ACE=α,求出 CF,CE,利用 S△ CEF= 值,即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积. 【解答】解: (1)由题意,△ACE 中,AC=4,∠A= ∴13=16+AE2﹣2× ∴AE=1 或 3; (2)由题意,∠ACE=α∈[0, 在△ACF 中,由正弦定理得 ],∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF= ,∴CF= ; ﹣α. , ,CE= , ,计算面积,求出最大

在△ACE 中,由正弦定理得

,∴CE=



该空地产生最大经济价值时,△CEF 的面积最大,

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S△ CEF= ∵α∈[0, ∴α=

=



],∴0≤sin(2α+

)≤1, ,该空地产生最大经济价值.

时,S△ CEF 取最大值为 4

18.已知椭圆 C 方程为

+

=1(a>n>0) ,离心率 e=

,过焦点且与长轴垂直的直线

被椭圆所截得线段长为 1. (1)求椭圆 C 方程; (2)D,E,F 为曲线 C 上的三个动点,D 在第一象限,E,F 关于原点对称,且|DE|=|DF|, 问△DEF 的面积是否存在最小值?若存在,求出此时 D 点的坐标;若不存在,请说明理由. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (1) 由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为 1, 可得 = ,a2=b2+c2,联立解出即可得出. =1, 又 e=

y=kx, (2) 设直线 EF 的方程为: 则直线 OD 的方程为: .可得:|EF|2=4(

x. (k≠0) . 联立



解得



+

) .同理可得:xD,yD.|OD|2.设△DEF 的面积

=S.可得 S2=

,化简利用二次函数的单调性即可得出.

【解答】解: (1)∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为 1, ∴ =1,又 e= = ,a2=b2+c2, . =1. x. (k≠0) .

联立解得 a=2,b=1,c= ∴椭圆 C 的方程为

(2)设直线 EF 的方程为:y=kx,则直线 OD 的方程为:

联立

,解得

=



=



∴|EF|2=4(

+

)=



同理可得:xD=

,yD=



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|OD|2=



设△DEF 的面积=S. ∴S2= = × × = =f(k) ,

令 1+k2=t>1,则 f(k)= 当且仅当 t=8,k=﹣ 时取等号. .

=

≥ ,

∴△DEF 的面积存在最小值 此时 D .

19.设 a∈R,函数 f(x)=lnx﹣ax. (Ⅰ)求 f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)设 F(x)=f(x)+ax2+ax,问 F(x)是否存在极值,若存在,请求出极值;若不存 在,请说明理由; (Ⅲ)设 A(x1,y1) ,B(x2,y2)是函数 g(x)=f(x)+ax 图象上任意不同的两点,线段 AB 的中点为 C(x0,y0) ,直线 AB 的斜率为为 k.证明:k>g′(x0) . 【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究函数的极值. 【分析】 (Ⅰ)先求出函数的定义域,求出函数 f(x)的导函数,然后分类讨论,当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为 (﹣∞,+∞) ,当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0, ) ; (Ⅱ)首先求出 F(x)的导函数,然后分类讨论,当 a≥0 时,恒有 F′(x)>0,F(x)在 (0,+∞)上无极值;当 a<0 时,F(x)有极大值,无极小值; (Ⅲ) ,又 ,求出 g(x)的导函数,然后设出 0

<x1<x2, 即证

, 再设

, 即证:



再进一步设出 k(t) ,求出 k(t)的导函数,则结论可证. 【解答】 (Ⅰ)解:在区间(0,+∞)上, .

(1)当 a≤0 时,∵x>0,∴f′(x)>0 恒成立,f(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞) ; (2)当 a>0 时,令 f′(x)>0,即 ,得 .

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∴f(x)的单调增区间为(0, ) ; 综上所述: 当 a≤0 时,f(x)的单调增区间为(﹣∞,+∞) , 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0, ) ; (Ⅱ)由 F(x)=f(x)+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2 得 当 a≥0 时,恒有 F′(x)>0, ∴F(x)在(0,+∞)上无极值; 当 a<0 时,令 F′(x)=0,得 x∈(0, x∈( ∴ F(x)无极小值. 综上所述: a≥0 时,F(x)无极值, a<0 时,F(x)有极大值 ,无极小值; , ( x>0) ,

) ,F′(x)>0,F′(x)单调递增, ,+∞) ,F′(x)<0,F′(x)单调递减. .

(Ⅲ)证明:



又 ∴g′(x0)=

, ,

要证 k>g′(x0) ,即证



不妨设 0<x1<x2,即证

,即证





,即证:



也就是要证:

,其中 t∈(1,+∞) ,
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事实上:设

t∈(1,+∞) ,



=



∴k(t)在(1,+∞)上单调递增,因此 k(t)>k(1)=0,即结论成立. 20.对于给定数列{cn},如果存在实常数 p,q,使得 cn+1=pcn+q(p≠0)对于任意的 n∈N* 都成立,我们称这个数列{cn}是“M 类数列”. (1)若 an=2n,bn=3?2n,n∈N*,判断数列{an},{bn}是否为“M 类数列”,并说明理由; (2)若数列{an}是“M 类数列”,则数列{an+an+1}、{an?an+1}是否一定是“M 类数列”,若是 的,加以证明;若不是,说明理由; (3)若数列{an}满足:a1=1,an+an+1=3?2n(n∈N*) ,设数列{an}的前 n 项和为 Sn,求 Sn 的表达式,并判断{an}是否是“M 类数列”. 【考点】数列的应用. 【分析】 (1)运用 M 类数列定义判断, (2){an}是“M 类数列”,得出 an+1=pan+q,an+2=pan+1+q,求解 an+1+an+2,an+1an+2 的式子, 结合定义判断即可 (3)整体运用 an+an+1=3.2n(n∈N*) ,分类得出:当 n 为偶数时,Sn=3(2+23+…+2n﹣1)=2n+1 ﹣2,n 为奇数时,Sn=1+3(22+24+…+2n﹣1)=2n+1﹣3,化简即可得出 Sn,再运用反证法证明 即可. 【解答】解: (1)因为 an+1=an+2,p=1,q=2 是“M 类数列”, bn+1=2bn,p=2,q=0 是“M 类数列”. (2)因为{an}是“M 类数列”,所以 an+1=pan+q,an+2=pan+1+q, 所以 an+1+an+2=p(an+1+an+2)+2q,因此,{an+an+1}是“M 类数列”. 因为{an}是“M 类数列”,所以 an+1=pan+q,an+2=pan+1+q, 所以 an+1an+2=p2(anan+1)+pq(an+an+1)+q2, 当 q=0 时,是“M 类数列”; 当 q≠0 时,不是“M 类数列”; (3)当 n 为偶数时,Sn=3(2+23+…+2n﹣1)=2n+1﹣2, 当 n 为奇数时,Sn=1+3(22+24+…+2n﹣1)=2n+1﹣3, 所以 Sn= .

当 n 为偶数时 an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣2﹣(2n﹣3)=2n+1, 当 n 为奇数时,an=Sn﹣Sn﹣1=2n+1﹣3﹣(2n﹣2)=2n﹣1(n≥3) , 所以 an= 假设{an}是“M 类数列”, 当 n 为偶数时,an+1=2n+1﹣1=pan+q=p(2n+1)+qp=2,q=﹣3, 当 n 为奇数时,an+1=2n+1+1=pan+q=p(2n﹣1)+q, p=2,q=3, 得出矛盾,所以{an}不是“M 类数列”.
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选做题[选修 4-1:几何证明选讲](任选两个) 21.如图所示,已知⊙O1 与⊙O2 相交于 A、B 两点,过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C, 过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (1)求证:AD∥EC; (2)若 AD 是⊙O2 的切线,且 CA=8,PC=2,BD=9,求 AD 的长.

【考点】与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)连接 AB,根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D,又根据同弧 所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E,等量代换得到∠D=∠E,根据内错角相等得到两直线 平行即可; (2)根据切割线定理得到 PA2=PB?PD,求出 PB 的长,然后再根据相交弦定理得 PA?PC=BP?PE,求出 PE,再根据切割线定理得 AD2=DB?DE=DB?(PB+PE) ,代入求出即 可. 【解答】 (1)证明:连接 AB, ∵AC 是⊙O1 的切线, ∴∠BAC=∠D. 又∵∠BAC=∠E,∴∠D=∠E. ∴AD∥EC. (2)解:如图, ∵PA 是⊙O1 的切线,PD 是⊙O1 的割线, ∴PA2=PB?PD, PA=AC﹣PC=6, 即 62=PB?(PB+9) , ∴PB=3. 在⊙O2 中,PA?PC=BP?PE. ∴PE=4. ∵AD 是⊙O2 的切线,DE 是⊙O2 的割线, 且 DE=DB+BP+PE=9+3+4=16, ∴AD2=DB?DE=9×16,∴AD=12.

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[选修 4-2:矩阵与变换] 22.已知线性变换 T1 是按逆时针方向旋转 90°的旋转变换,其对应的矩阵为 M,线性变换 T2: 对应的矩阵为 N.

(Ⅰ)写出矩阵 M、N; (Ⅱ)若直线 l 在矩阵 NM 对应的变换作用下得到方程为 y=x 的直线,求直线 l 的方程. 【考点】几种特殊的矩阵变换. 【分析】 (Ⅰ)通过变换的特征即得结论; (Ⅱ)由(I)得 ,通过题意可得 ,利用 x′=y′计算即可.

【解答】解: (Ⅰ)通过题意,易得 M= (Ⅱ)由(I)得 由 = , ,

,N=







由题意得 x′=y′得 3x=﹣2y, ∴直线 l 的方程为 3x+2y=0. [选修 4-4:坐标系与参数方程选讲]

23.已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) ,以原

点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标,曲线 C 的极坐标方程



(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围. 【考点】简单曲线的极坐标方程;参数方程化成普通方程. 【分析】 (Ⅰ)由直线的参数方程消去 t 得直线的直角坐标方程,化圆的极坐标方程为直角 坐标方程,再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系; (Ⅱ) 设出曲线 C 上的点的参数方程, 由 x+y=sinθ+cosθ, 利用两角和的正弦化简后可得 x+y 的取值范围.

【解答】解: (Ⅰ)由

,消去 t 得:y=x+



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,得 ,

,即

∴ 化为标准方程得: 圆心坐标为

,即 . ,半径为 1,圆心到直线 x﹣y+



=0 的距离

d=

>1.

∴直线 l 与曲线 C 相离;

(Ⅱ)由 M 为曲线 C 上任意一点,可设



则 x+y=sinθ+cosθ= ∴x+y 的取值范围是

, .

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣2|. (1)求不等式 f(x)>2 的解集; (2)? x∈R,使 f(x)≥t2﹣ t,求实数 t 的取值范围.

【考点】一元二次不等式的应用;分段函数的解析式求法及其图象的作法;函数的最值及其 几何意义. 【分析】 (1)根据绝对值的代数意义,去掉函数 f(x)=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号, 求解不等式 f(x)>2, (2)由(1)得出函数 f(x)的最小值,若? x∈R, 即可,求出实数 t 的取值范围. 恒成立,只须

【解答】解: (1)

当 当 当 x≥2,x+3>2,x>﹣1,∴x≥2

,∴x<﹣5 ,∴1<x<2

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综上所述{x|x>1 或 x<﹣5}. (2)由(1)得 则只需 综上所述 . ,若? x∈R, 恒成立, ,

解答题 25.网上购物逐步走进大学生活,某大学学生宿舍 4 人积极参加网购,大家约定:每个人通 过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物, 掷出点数为 5 或 6 的人去淘宝网购物, 掷出 点数小于 5 的人去京东商场购物,且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物. (Ⅰ)求这 4 人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率; (Ⅱ)用 ξ、η 分别表示这 4 人中去淘宝网和京东商城购物的人数,记 X=ξη,求随机变量 X 的分布列与数学期望 EX. 【考点】离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 【分析】 (Ⅰ)依题意,这 4 个人中,每个人去淘宝网购物的概率为 ,去京东网购物的概 率为 , 设“这 4 个人中恰有 i 个人去淘宝网购物”为事件 Ai, 则 ,

(i=0,1,2,3,4) ,由此能求出这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率. (Ⅱ)由已知得 X 的所有可能取值为 0,3,4,P(X=0)=P(A0)+P(A4) ,P(X=3)=P (A1)+P(A3) ,P(X=4)=P(A2) ,由此能求出 X 的分布列和 EX. 【解答】解: (Ⅰ)依题意,这 4 个人中,每个人去淘宝网购物的概率为 ,去京东网购物 的概率为 , 设“这 4 个人中恰有 i 个人去淘宝网购物”为事件 Ai(i=0,1,2,3,4) , 则 , (i=0,1,2,3,4) , = .

这 4 个人中恰有 1 人去淘宝网购物的概率 (Ⅱ)由已知得 X 的所有可能取值为 0,3,4, P(X=0)=P(A0)+P(A4)= P(X=3)=P(A1)+P(A3)= P(X=4)=P(A2)= ∴X 的分布列为: X P 0 = , + = , =



3

4

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∴EX=

= .

26.记(1+ ) (1+ ∈N*. (1)求 an;

)…(1+

)的展开式中,x 的系数为 an,x2 的系数为 bn,其中 n

(2)是否存在常数 p,q(p<q) ,使 bn= (1+ 证明你的结论. 【考点】数学归纳法. 【分析】 (1) 根据多项式乘法运算法则, 可得 an= + 可得结论; (2)先计算 b2,b3 的值,代入 bn= (1+ 纳法证明. ) (1+

) (1+

) 对 n∈N*,n≥2 恒成立?

+…+

, 利用等比数列的求和公式,

) ,解得 p=﹣2,q=﹣1,再用数学归

【解答】解: (1)根据多项式乘法运算法则,得 an= + (2)计算得 b2= ,b3= 代入 bn= (1+ ) (1+ .

+…+

=1﹣

.…

) ,解得 p=﹣2,q=﹣1. …

下面用数学归纳法证明 bn= (1﹣ ①当 n=2 时,b2= ,结论成立. ②设 n=k 时成立,即 bk= ﹣ 则当 n=k+1 时,bk+1=bk+ 由①②可得结论成立. + ×

) (1﹣

)= ﹣

+ ×

(n≥2) :



= ﹣

+ ×

+ …



= ﹣

+ ×



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2016 年 7 月 29 日

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