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2018届二轮复习 空间中的平行与垂直关系 学案(全国通用)


突破点 9 空间中的平行与垂直关系 (对应 生用书第 32 页) [核心知识提炼] 提炼 1 异面直线的性质 (1)异面直线不具有传递性.注意不能把异面直线误解为分别在两个不同平面 内的两条直线或平面内的一条直线与平面外的一条直线. π? ? (2)异面直线所成角的范围是?0,2?,所以空间中两条直线垂直可能为异面垂 ? ? 直或相交垂直. (3)求异面直线所成角的一般步骤为:①找出(或作出)适合题设的角——用平 移法;②求——转化为在三角形中求解;③结论——由②所求得的角或其补 角即为所求. 提炼 2 平面与平面平行的常用性质 (1)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等. (2)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行. (3)如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行. (4)两个平面平行,则其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. 提炼 3 证明线面位置关系的方法 (1)证明线线平行的方法:①三角形的中位线等平面几何中的性质;②线面平 行的性质定理;③面面平行的性质定理;④线面垂直的性质定理. (2)证明线面平行的方法:①寻找线线平行,利用线面平行的判定定理;②寻 找面面平行,利用面面平行的性质. (3)证明线面垂直的方法:①线面垂直的定义,需要说明直线与平面内的所有 直线都垂直;②线面垂直的判定定理;③面面垂直的性质定理. (4)证明面面垂直的方法:①定义法,即证明两个平面所成的二面角为直二面 角;②面面垂直的判定定理,即证明一个平面经过另一个平面的一条垂线. 第 1 页 共 18 页 [高考真题回访] 回访 1 空间点、线、面的位置关系 1.(2016· 浙江高考)已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l,若直线 m,n 满足 m ∥α,n⊥β,则( A.m∥l C.n⊥l ) B.m∥n D.m⊥n C [∵α∩β=l,∴l?β.∵n⊥β,∴n⊥l,故选 C.] 2. (2013· 浙江高考)在空间中, 过点 A 作平面 π 的垂线, 垂足为 B, 记 B=fπ(A). 设 α,β 是两个不同的平面,对空间任意一点 P,Q1=fβ[fα(P)],Q2=fα[fβ(P)],恒 有 PQ1=PQ2,则( ) 【导 号:68334106】 A.平面 α 与平面 β 垂直 B.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 45° C.平面 α 与平面 β 平行 D.平面 α 与平面 β 所成的(锐)二面角为 60° A [设 P1=fα(P),P2=fβ(P),则 PP1⊥α,P1Q1⊥β,PP2⊥β,P2Q2⊥α. 若 α∥β, 则 P1 与 Q2 重合、 P2 与 Q1 重合, 所以 PQ1≠PQ2, 所以 α 与 β 相交. 设 α∩β=l,由 PP1∥P2Q2,所以 P,P1,P2,Q2 四点共面.同理 P,P1,P2, Q1 四点共面.所以 P,P1,P2,Q1,Q2 五点共面,且 α 与 β 的交线 l 垂直于 此平面.又因为 PQ1=PQ2,所以 Q1,Q2 重合且在 l 上,四边形 PP1Q1P2 为 π 矩形.那么∠P1Q1P2=2为二面角 αlβ 的平面角,所以 α⊥β.] 3.(2013· 浙江高考)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面( A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则 α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β C [A 项,当 m∥α,n∥α 时,m,n 可能平行,可能相交,也可能异面,故 错误;


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