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2015-2016学年高中数学 3.3.1二元一次不等式及不等式组表示的平面区域练习 苏教版必修5


3.3.1

二元一次不等式及不等式组表示的平面区域

1.一般地,直线 y=kx+b 把平面分成两个区域:y>kx+b 表示直线上方的平面区域;

y<kx+b 表示直线下方的平面区域.
2.在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+By+C>0 表示直线 Ax+By+C=0 某一 侧所有点组成的平面区域;

我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界, 当我们在坐标系中 画不等式 Ax+By+C≥0 所表示的平面区域时,此区域应包括边界,则把边界画成实线. 3. 确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法, 常用的一种方法是“选点法”, 若直线不过原点,通常选择原点代入检验. 4.二元一次不等式组表示的平面区域,是组内各不等式表示平面区域的公共部分. 5.满足不等式 x>1 的区域位于直线 l:x=1 的右侧;满足不等式 x-y-1>0 的区域 位于直线 l:x-y-1=0 的下方;这两个区域的公共部分是不等式组? 的解所对应的点的集合.
? ?x>1, ?x-y-1>0 ?

?基础巩固 一、选择题 1.不在 3x+2y<6 表示的平面区域内的点是(D)

A.(0,0) C.(0,2) D.(2,0)
解析:特殊点代入法验证.

B.(1,1)

2.不等式 2x-y-6>0 表示的平面区域在直线 2x-y-6=0 的(D)

A.左上方 B.右上方 C.左下方 D.右下方
解析:作直线 2x-y-6=0,将原点(0,0)代入检验. x-y+5≥0, ? ? 3 .不等式组?y≥a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范围是(C) ? ?0≤x≤3

A.(-∞,5) B.[8,+∞)

1

C.[5,8) D.(-∞,5)∪[8,+∞)
解析:画图分析可知 5≤a<8.

4.下图中的平面区域(阴影部分包括边界)可用不等式组表示为(C)

A.0≤x≤2 B.?

?0≤x≤2, ? ? ?0≤y≤1

x+2y-2≤0, ? ? ?x+2y-2≤0, C.? D.?x≥0, ? x≥ y ? ?y≥0 解析:将给出的不等式组与区域对比,可排除 A、B、D 三项. 5.已知点(-3,1)和(0,-2)在直线 x-y-a=0 的同一侧,则 a 的取值范围是(D)

A.(-2,4) B.(-4,2) C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(-∞,-4)∪(2,+∞)
解析:分两种情况讨论,分 x-y-a>0,x-y-a<0. 二、填空题 6.点(1,3)和点(-4,2)在直线 2x+ y+m=0 的两侧,则 m 的取值范围是________. 解析:∵(1,3)和(-4,2)在 2x+y+m=0 的两侧,∴(2×1+3+m)[2×(-4)+2+m] <0,即(m+5)(m-6)<0,即-5<m<6.
2

答案:(-5,6) 7.若不等式 2x+y+m<3 表示的平面区域包括点(0,0)和(1,1),则 m 的取值范围是 ________.
? ?m<3, 解析:将(0,0)和(1,1)代入不等式得? ? m<0. ?3+m<3 ?

答案:(-∞,0) x+y-2≥0, ? ? 8.不等式组?x-y+2≥0,表示的平面区域的面积是________. ? ?x≤2 解析:由图可知,区域为△ABC, 1 ∴S= ×4×2=4. 2

答案:4 三、 解答题 x+y≤5, ? ?2x+y≤6, 9.求由约束条件? 确 定的平面区域的面积 S x≥0, ? ?y≥0

阴影部分

和周长 C 阴影部分.

解析:由约束条件作出其所确定的平面区域(阴影部分),如下图,其四个顶点为 O(0, 0),B(3,0), A(0,5),P(1,4).过点 P 作 y 轴的垂线,垂足为 C.

3

则 AC=|5-4|=1, PC=|1-0|=1, OC=4, OB=3, AP= 2, PB= (4-0) +(1-3) =2 5, 1 1 得 S△ACP= AC·PC= , 2 2 1 S 梯形 COBP= (CP+OB)·OC=8, 2 17 ∴S 阴影部分=S△ACP+S 梯形 COBP= , 2 C 阴影部分=OA+AP+PB+OB=8+ 2+2 5.

2

2

10.某糕点厂生产高档蛋糕和普通面包,生产高档蛋糕 1 千克分别需要面粉 100 克、糖 200 克、 鸡蛋 300 克, 生产普通面包 1 千克分别需要 面粉 300 克、 糖 200 克、 鸡蛋 100 克. 现 已知库存面粉为 15 千克、糖 12 千克、鸡蛋 15 千克,若在此基础上进行生产,请列出满足 生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域. 解析:设高档蛋糕和普通面包应各生产 x 千克和 y 千克,则 x、y 所满足的数学关系式 为 100x+300y≤15 000, x+3y≤150, ? ? ?200x+200y≤12 000, ?x+y≤60, ?300x+100y≤15 000,? ?3x+y≤150, ? ? ?x≥0,y≥0 ?x≥0,y≥0. 分别画出不等式组中各不等式所表示的平面区域, 然后取交集. 下图所示的平面区域(阴 影部分)就是不等式组所表示的区域.

4

?能力升级 一、选择题 2x-y+1≥0, ? ? 11.不等式组?x-2y-1≤0,表示的平面区域为(B) ? ?x+y≤1

A.正三角形 B.等腰三角形 C.一个无界区域 D.不包含第一象限内的点的一个有界区域
解析:画出可行域,易得一个等腰三角形.
?(x-y+5)(x+y)≥0, ? 12.不等式组? 表示的平面区域是一个(C) ?0≤x≤3 ?

A.三角形 B.直角梯形 C.等腰梯形 D.矩形

解析:不等式组即 x-y+5≥0, ? ? ?x+y≥0, 或 ? ?0≤x≤3

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x-y+5≤0, ? ? ?x+y≤0, ? ?0≤x≤3. 前一个不等式组围成区域如右上图所示,为一等腰梯形;后一个不等式组的解 集为空 集. 13. 设集合 A={(x, y)|x, y, 2-x-y 是三角形 的三边长}, 则 A 所表示的平面区域(不 含边界的阴影部分)是(A)

x+(2-x-y)>y, ?x<1, ? ? ? 解析:由三角形任何两边之和大于第三边,得?y+(2-x-y)>x,? ?y<1, 故知 ? ? ?x+y>2-x-y ?x+y>1. 围成的区域如选项 A 中的图所示. 二、填空题 14. 已知函数 f(x)=x -4x+3, 集合 M={(x, y)|f(x)+f(y)≤0}, 集合 N={(x, y)|f(x) -f(y)≥0},则集合 M∩N 的面积是________. 解析:f(x)=x -4x+3,f(y)=y -4y+3, 由 f(x)+f(y)≤0? x +y -4x-4y+6≤0? (x-2) +(y-2) ≤2. 由 f(x)-f(y)≥0? x -4x -y +4y≥0? (x-y)(x+y-4)≥0. 集合 M∩N 所表示的图形为:
2 2 2 2 2 2 2 2 2

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1 其面积是两个 圆面积,而圆半径为 2, 4 1 2 ∴面积为 ×π ×( 2) =π . 2 答案:π 15.△ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,4),B(-2,0),C(2,0),则△ABC 内任意一 点(x,y )所满足的条件为________.

解析:将点(0,0)代入直线 AB:2x-y+4=0,得 4>0,代入直线 AC:2x+y-4=0, 2x-y+4>0, ? ? 得-4<0,故可知△ABC 的内部位于 x 轴的上方,故?2x+y-4<0, ? ?y>0. 2x-y+4>0, ? ? 答案:?2x+y-4<0, ? ?y>0 三、解答题 16.求不等式|x-2 013|+|y+2 014|≤2 所表示的平面区域的面积. 解析:将|x|+|y|≤2 表示的区域向右平移 2 013 个单位,再向下平移 2 014 个单位, 即得|x-2 013|+|y+2 014|≤2 所表示的区域,因此|x|+|y|≤2 和|x-2 013|+|y+2 014|≤2 表示的区域面积相等,而|x|+|y|≤2 表示的区域是一个边长为 2 2的正方形,其 面积为(2 2) =8.
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