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数学:2.2.2《双曲线的简单几何性质》PPT课件(新人教选修1-1)


2.2.2《双曲线的简单几何性质》

教学目标
? ?

知识与技能目标 了解平面解析几何研究的主要问题:(1)根据条件, 求出表示曲线的方程;(2)通过方程,研究曲线的 性质.理解双曲线的范围、对称性及对称轴,对称中 心、离心率、顶点、渐近线的概念;掌握双曲线的标 准方程、会用双曲线的定义解决实际问题;通过例题 和探究了解双曲

线的第二定义,准线及焦半径的概念, 利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义.

P56

?

?
?

过程与方法目标 (1)复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法, 在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程 的讨论,研究双曲线的几何性质的理解和应用, 而且还注意对这种研究方法的进一步地培养.① 由双曲线的标准方程和非负实数的概念能得到双 曲线的范围;②由方程的性质得到双曲线的对称 性;③由圆锥曲线顶点的统一定义,容易得出双 曲线的顶点的坐标及实轴、虚轴的概念;④应用 信息技术的《几何画板》探究双曲线的渐近线问 题;⑤探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率

一.复习引入
?

1.双曲线的定义是怎样的?
2.双曲线的标准方程是怎样的?

?

x y - 2 =1 2 a b

2

2

y x - 2 =1 2 a b

2

2

? 思考回顾

椭圆的简单几何性质 ?
①范围; ②对称性; ③顶点; ④离心率等 回想:我们是怎样研究上述性质的?
?

双曲线是否具有类似的性质呢?

一、双曲线的简单几何性质
y
N Q B2 A1 O M

?1.范围:

两直线x=±a的外侧
?2.对称性: x

b A2 a
B1

关于x轴, y轴,原点对称

原点是双曲线的对称中心
x y - 2 =1 2 a b
2 2

对称中心叫双曲线的中心

一.双曲线的简单几何性质
y
N Q B2 A1 M

?3.顶点::
x

O

b A2 a
B1

(1)双曲线与x轴的两个交A1 (-a,0), A2 (a,0)叫双曲线的顶点
?

(2)实轴:线段A A2 1
x y - 2 =1 2 a b
2 2

实轴长:2a

虚轴:线段B1 B2 虚轴长:2b

y
N

?4.渐进线:
(1)渐进线的确定:矩形的对角线
b

Q
B2 A1 O

M

b A2 a
B1

(2)直线的方程: y=±-x a
x

渐渐接近但永不相交

x2 y 2 - 2 =1 2 a b

?

y
N Q B2 A1 O M

?5.离心率
(1)概念:焦距与实轴长之比

c (2)定义式: e=-

b A2 a
B1

a

x

(3)范围: e>1 (c>a) (4)双曲线的形状与e的关系
b ?k = = a c2 - a2 = a e2 - 1

即:e越大,渐进线斜率越大, 其开口越阔.

y
L!

y
B

图形

A1

.
y2 = 2 1 b

O B1

.

L

x
A

.

B
o

A1

A

.

x

B1

方程 范围

x2 + 2 a

(a>b>0)

直线x= + a,和y=+b所围成的矩形里

对称性 关于X轴、Y轴、原点都对称。
1 顶点 A(a,0) A(-a,0),B(0,b),B1(0,-b) c e (0<e<1) 离心率 = a

准线

一.双曲线的简单几何性质 ?1.范围?2.对称性:?3.顶点: 实轴,虚轴 : y
N Q M B2 A1

?4.渐进线: (1)渐进线的确定:对角线 b

(2)直线的方程: y=±-x
a

O

bA2 a
B1

c ?5.离心率: (1)概念: (2)定义式: e=-

a

(3)范围: e>1 (4)双曲线的形状与e的关系
x y - 2 =1 2 a b
?
2 2

b c2 - a2 ?k = = = e2 - 1 a a

即:e越大,渐进线斜率越大,其开口越阔.

二. 应 用 举 例:
例1.求双曲线9y – 16x =144的实半轴与虚 半轴长,焦点坐标,离心率及渐进线方程.
2 2

例2.求一渐进线为3x+4y=0,一个焦

点为(5,0)的双曲线的标准方程.

? 例3:点M(x,y)到定点F(5,0)

的距离和它到定直线l:x=16/5 的距离的比是常数5/4,求点M 的轨迹。

?

例4:双曲线型冷却塔的外形,是双曲线的 一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最 小半径为12m,上口半径为13m,下口半径m, 高为55m,试选择适当的坐标系,求出此双 曲线的方程。

四.小结:
1.双曲线的几何性质: ①范围; ②对称 性; ③顶点; ④渐进线; ⑤离心率

2.几何性质的应用


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