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第十届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案


数学通报

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期

第十届北京高中数学知识应用竞赛 初赛试题及参考答案       

一、 ( 满分 2 0 分) ( 1 ) 一个物件的三视图如图 1 , 画出 它的具有最小体积的直观图. ( 2 ) 一个物件的三视图如图2 , 长度单位是 。 m , 画出 具有最小体积的直观图

, 并计算这个体积.

     ( 2 ) 右图所示的物件, 它的 三视图为题 目 所示, 三视图( 图 2 ) 所对应的物件不唯一, 右图 是其中的一个, 也是体积最小 的一个, 它由9 个小立方体组 成, 体积为9 C m 3 .

(          2 0 分)

     二、 ( 满分2 0 分) 已 知肝癌在人群中的发病率为 0 . 0 4 %. 人们发现甲胎蛋白 有如下特性: 对患肝癌的 人们, 用甲胎蛋白 检验时, 9 5 % 的人是‘ + ’ , 即呈阳
性; 对不患肝癌的人用甲胎蛋白检验时, 9 0 % 的人 是‘ 一 ’ , 即呈阴性. 当用甲胎蛋白来检验肝癌时, 设 人口的总数为 N . 此时患肝癌的人数约为 0      .  0 0 0 4 N, 其中化验呈

解 ( 1 ) 三视图( 图1 ) 所对应的物件不唯一, 下图是其中的一个, 也是体积最小的一个.

‘ + ’ 的人数约为0 . 9 5  x  0 . 0 0 0 4 N . 不患肝癌的人数
约为( 1 一0 . 0 0 0 4 )  N, 其中化验呈‘ + ’ 的人数约为( 1 一 0 . 9 0 ) ( 1 一 0 .  0 0 0 4 )  N . 人群中化验为‘      + ’ 的总数约

( 1 0 分)

     0 . 9 5  x  0 . 0 0 0 4  N+( 1 一 0 . 9 0 ) ( 1 一 0 .  0 0 0 4 )  N , 其中肝癌患者约0 . 9 5  x  0 . 0 0 0 4 N .

5 通过指导学生撰写数学小论文、 章节或单元小 结、      专题研究等来培养学生的研究意识和解题 反思能力           学习完每一章或每一单元, 给学生留有适当的 拓展延伸的空间和时间, 要求学生对此小结研究. 可以是学习心得体会, 也可以是对某一问题或题型 的探究, 也可以是分析总结自己作业中解题出错的 原因等. “ 温故而知新” . 通过回顾整理 自己的学习 过程, 使 自己的认知结构系统化、 条理化, 激发学生

对数学学习的兴趣, 帮助学生养成 良好的学习习

惯, 形成积极探索的态度, 勤奋好学, 勇于克服困难
和不断进取的学风.
参考文做

戴再平. 数学习题理论. 上海: 上海教育出 版社, 1 9 9 6 , 1 0 〔 美」 c? 波利亚. 怎样解题. 北京: 科学出 版社, 1 9 8 2
中华人民共和国教育部制订, 普通高中数学课程标准( 实 验) . 北京: 人民教育出版社, 2 0 0 3

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期

数学通报

因此,      对一个化验为‘ + ’ 的人来说, 他患肝癌
的可能性是
0 . 9 5  x  0 . 0 0 0 4  N

存可多获利? 解 如果做三年期定期存款,      利息从原来的

3 . 2 4 %上升至3 . 6 9 %, 那么 1 0 0 0 ( ) 元的税后利息也
会从 7 7 7 . 6 元上升至 8 8 5 . 6 元, 多出 1 0 8 元. 根据储蓄条例规定,      支取未到期的定期存款, 存期无论长短银行只能按每年 0 . 7 2 % 的活期利率 付息, 这意味着办理转存也需要付出一定的成本. 而此成本的高低则取决于存款存人时间的长短.

0 . 9 5  x  0 . 0 0 0 4  N+( 1 一 0 . 9 0 )  x  ( 1 一0 . 0 0 0 4 )  N
、0 . 0 0 3 8

不足千分之四, 即可能性非常小. 请回答以下问题: (      1 ) 上述的分析和计算是否有错误? 如果有错

误, 请具体指明; (      2 ) 如果你认为上述的分析和计算没有错误, 请说明“ 为什么用甲胎蛋白诊断肝癌, 其效果如此
之差” .

     解 上述的分析和计算没有错误. ( 5 分) 用“      使肝癌病人 9 5 %呈‘ + ’ , 使非肝癌的人

9 0 %呈‘ 一 ” , 的甲胎蛋白 诊断肝癌, 其效果差的原
因是: 不患肝癌的病人在总人 口占的比例极大,

     我们设储户的存款日 为了方便, 期为距 2 0 0 6 年 8 月1 9 日 前a 天. 三年期的比 较获利的日 期为0 9 年 8 月1 9日. ( 5 分) 如果2      0 0 6 年8 月1 9 日 不转存, 距2 0 0 9 年8 月1 9 日 前a 天( 三年定期到期 日) 本息转存新三年期定 期. 这样, 按定期三年的每天平均收益为3 年收益的

1 / 1 0 9 5 计算, 在2 0 0 9 年8 月1 9日 那一天, 可以得到
的税后利息收益为:
1 0 0 0 0 ( 3  x  3 . 2 4 % +1 . 0 7 7 7 6  x1 x3  x3 . 6 9 %) x 0 9 5

9 9 . 9 6 %. 尽管其中有 9 0 % 呈‘ 一 ’ , 但仍有 1 0 %呈

‘ + ’ . 这1 0 % 的人, 数量远比患肝癌的人数要多得 多, 从而造成上述结果. 因此, 只看这一个指标是无
法诊断肝癌的. 医学上要用别的办法或观察多个指 标. ( 2 0 分) 三、      ( 满分 2 0 分) 2 0 0 6 年8 月1 9日, 央行宣布存 贷款基准利率双双上调( 调整后的存款利率见表

8 0 %                           ( 1 2 分)

如果2      0 0 6 年8 月1 9 日 本息转存三年期定期. 这
样在2 0 0 9 年8 月1 9 日 那一天, 可以得到的税后利息 收益为:

1 ) , 加息后的两日内, 到各银行办理转存业务的市
民明显增多. 表1 人民币存款利息调整表( 2 0 0 6 年8 月1 9 日 起)
项目 活期 三个月

‘ ,( ‘ + 鑫x  0 . 7 2 %  x  8 0 % ) ( ‘ + 3  x .  3 . 6 9 %/
8 0 %) 一1 0 0 0 0
3 . 2 4 % 令 1 0 0 0 0 ( 3 x 

+ 1 . m7 7 6  x

调整前年利率( %) 调整后年利率( %)
0 . 7 2 1 . 7 1 0 . 7 2 1 . 8 0 2 . 2 5

1 0 9 5

x  3  x

3 . 6 9 %) 8 0 %

轰 x  0 . 7 2 %  x 8   0 %) ( 1 + 3 x 3 . 。%x 蛋1 0 0 0 0 ( 1 + jc o
8 0 %)
一1 0 0 0 0

霸 篡 整


六个月 一年
二年

2 .  0 7 2 . 2 5 2 . 7 0 3 . 2 4 3 . 印

2 . 5 2
3 . 0 6

三年
五年

3 . 6 9
4 . 1 4

即7 7 7 . 6 + 0 . 8 7 1 6 5 7  a‘8 8 5 . 6 + 0 . 1 7 1 7 7 5  a , 解得 a ‘1 5 4 . 5 ( 天) . 这个结果说明,      如果在8 月1 9日 的前 1 5 4 天( 3 月1 8 日 ) 之内存过一笔钱, 则在8 月1 9 日 转存新三
年期的收益, 实际高于到期再转存的收益, 故有必 要做转存, 而3 月1 8日 之前的情况则相反, 应当不 做转存. ( 2 0 分) 同理可以算出,      如果一个人对 自己的钱长期以 “ 整存整取” 一年期的方式存款, 或长期以“ 整存整 取” 五年期的方式存款, 转存收益高于不转存的分 界日 期分别是2 0 0 6 年6 月2 6日( 8 月1 9日的前 5 4

     “ 倒腾” 存折有必要吗? 定期存款利息是按照存 人当天利率计算的, 提前支取一律按照活期计算利 率, 对存款人所获的利息, 国家有2 0 % 的利息税. 显 然, 原有定期存款快到期了, 转存当然不合适, 如果 央行加息前刚刚存人一笔款, 转存一下是合适的. 如果一个人对 自己的钱长期以“      整存整取” 三 年期的方式存款, 请你具体算一算: 怎样情况下转

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天) 和2 0 0 5 年1 2 月 9日( 8 月1 9日的前 2 5 3 天) . 四、      ( 满分 2 0 分) 在经济学中, 供给与需求是一 对矛盾. 考虑某种商品 的一个市场, 没有外界干 预, 只有供需双方, 供应 量和需求量与价格的相 依关系可以通过坐标系 中的图象来表述, 习惯上 表示商 品的价 以纵轴 t 格, 横轴 。 表示商品的量, 供应量和需求量与价格的 关系曲线就可以在同一个坐标系中表示出来. 典型 的供应曲线是一条上升的曲线, 需求曲线是一条下

元. 请在一个坐标系中画出补贴前后的供应曲线和

需求曲线, 补贴下供需双方受益情况是怎样的?

(      3 ) 如果政府通过税收干预市场, 请讨论与其
相适应的供需关系曲线的变化, 以及供应方与需求 方在政府干预下的收益、 支出情况. 解 (      1 ) 淡水鱼问题的供求关系曲线可以如下
表示:

因为政府补贴,      买鱼的人们减少的支出量是区

域睡 魏的 面 积, 卖 鱼 方 增 加的 收 益 量 是区 域婆 戮 的
面积
价格   
1        6 1        2 8         
4         

(         6 分)
P = 1 0 0 0 ( ; x 8 )
尸 = 1 0 0 0 ( x + }8 )

降的曲 线. 如果供应曲 线用 尸表示, 需求曲 线用 P
表示, 一升一降的两条曲线通常有一个交点, 这个 交点被称作均衡点, 如上图中点 E . 这时的商品价 格是 t ` , 商品交易量是 。 书 . 如果政府干预市场,      比如给生产者以补贴, 一 个单位的商品量补贴为 a 元, 那么供应曲线将向下 平移, 平移长度为 a , 则出现新的平衡点 F . 这时的

商品价格是 t o , 商品 交易量是 : 。 . 显然, 商品的总交

     ( 2 ) 如果政府干预 市场, 给需求方以补贴, 一个单位的商品量补贴 为a 元, 那么需求曲线将 向上平移, 平移长度为 。 , 则出现新的平衡点.

易 额 是区 域巴 到的 面 积, 尽管 政 府 将补 贴给了 供 应
方, 但是, 供需双方同时从政府提供的补贴中受益,

这时的商品价格是 t o , 商

因 为 政 府 补 贴, 需 求 方 减 少的 支出 量 是区 域瞬 参 的 面 积, 供 应 方 增 加 的 收 益 量 是区 域舞I 的 面 积.
回答下面问题.     

品交易量是 : 。 . 显然, 商 品的总交易额中除去政府补贴, 需求方总支出额是

s " 凡



区 域睡 习 的 面 积, 供 需 双 方 均 从 政 府 提 供的 补 贴中
受益, 因为政府补贴, 需求方减少的支出量是区域

     ( 1 ) 1 9 9 5 年全国高考试题中有一道应用问题, 问题的情景是: “ 某地为促进淡水鱼养殖业的发展, 将价格控制在适当的范围内, 决定对淡水鱼养殖提 供政府补贴. 设淡水鱼的市场价格为 x 元/ 千克, 政

瞬; 的 面 积, 供 应 方 增 加的 收 益 量 是区 域婆 费 的 面
积. ( 1 2 分) (      3 ) 政府对市场的税收干预方式, 如果政府向

府补贴为t 元/ 千克. 根据市场调查, 当8 <x ,   ‘1 4 时, 淡水鱼的 市场日 供应量 尸 千克与市场需求量P
千克近似地满足关系:

供应方收税, 一个单位的商品量税收为 b 元, 则供 应曲线将向上平移, 平移长度为 b ( 下左图) ; 如果政 府向需求方收税, 一个单位的商品量税收为 b 元, 则需求曲线将向下平移, 平移长度为 b ( 下右图) . 供

P=1      0 0 0 ( x +t 一 8 ) ( x〕8 , t  _ } >  0 ) ,

P二      5 0 0 , / 4 0 一 ( : 一 8 ) 2 ( 8 二 g  1 4 )
当尸=P 时的 市场价格称为市场平衡价格”
     请在一个坐标系下画出这个问题的供需曲线 ( 供应曲线包括 t =0 和t 二a>0 两种情况) , 仿照 上面第二段, 描述出这个问题中供需双方在政府补 贴下的受益情况: (      2 ) 如果政府干预市场的方式为给需求方补 贴, 即需求方每消费一个单位的商品量, 政府补贴 a

应 方 减 少了 收 益, 减少 量是区 域舞勇 的 面 积, 需求 方 增 加了 支 出, 增 加 量 是 区 域睡 瑙 的 面 积 ( 2 0 分)

凡 s "     s

五、 ( 满分2 0 分) 表2 的数据记录了在某个航线

2 0 0 7 年 第4 6 卷 第1 期

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上的一架飞机, 时刻 t 时飞行的水平速度。 ( 千米 / 小时) . 请回答下列问题: (      1 ) 绘制出这架飞机在不同的时刻飞行速度的 变化图; (      2 ) 根据飞行速度的变化图描述这架飞机在整 个航程中航行的状态; (      3 ) 估算这次航行的里程.

的前2 6 分钟的时间内飞机的速度是逐渐增加的, 即 从9 : 3 0 起飞到大约9 : 5 6 分时速度增加到9 1 6 千米/ 小时. 这段时间水平速度的变化可以近似看成为匀
加速的.

飞机飞行的最后的5      6 分钟内飞机飞行的速度

是逐渐减小的. 从1 4 : 2 4 分时的速度9 3 1 千米/ 小时 减小到 1 5 : 2 0 飞行着陆. 这段时间飞机飞行的水平 速度的变化可以近似地看成是匀减速的. 表2                          在其余时间,      即3 5 0 一 2 6 一 5 6 =2 6 8 分钟的时间 : 4 09 : 4 69 : 4 89 : 4 99 : 5 0 9 : 3 09 : 3 59 : 3 79 : 3 89 : 3 99 : 4 19 : 4 39 「 内飞机飞行的速度基本上是在 8 0 0 千米 / 小时 - 2 9 7 4 4 7 7 4 7 8 3 0 3 2 9 3 3 1 4 6 5 4 7 2 5 0 3 5 9 0 6 8 8 7 9 0 ( ) 千米/ 小时之间, 这时可以近似地认为大约是以 0 : 0 3 t9 : 5 69 0 : 0 1 1 0 : 0 21 1 0 : 0 5 : 5 19 : 5 29 : 5 39 : 5 49 : 5 59 : 5 91 1 0 : 叫 8 7 0 千米 / 小时的速度匀速向前飞行的. ( 1 2 分) 2 4 9 8 1 3 8 7 7 8 9 5 9 1 6 9 1 6 9 1 4 9 2 9 9 2 7 9 2 2 1 8 8 7 0 8 (      3 ) 方法 1 飞行的里程大约是 0 : 1 5 1 0 : 1 61 0 : 1 7 1 名1 0 : 0 6 1 0 : 0 71 0 : 0 81 0 : 0 9 1 0 : 1 01 0 : 1 1 1 0 : 1 21 0 : 1 31 0 : 1 41

v v

9 2 0 晒

2 9 2 7 9 2 6 9

9 2 2 8 9 0 8 8 3 8 8 5 8 8 7 8 7 5 9 6 8

言x       8 9 5  x 筋+ 8 7 0  x 蓄+ 言x  9 3 1  x 筋、
4 5 1 4 ( 千米) ( 2 0 分) 方法2 根据速度图,      在9 : 5 5一1 4 : 2 4 这段时 间内飞机的速度是变化的, 可以认为在 9 : 5 5- 1 0 : 5 7 这6 1 分钟飞机作匀减速飞行, 速度达到7 9 2 千 米/ 小时, 再作匀加速飞行 4 9 分钟于 1 1 : 4 6 速度达 到9 4 0 千米/ 小时, 然后又匀减速8 6 分钟于1 3 : 1 2 速 度达到8 4 6 千米/ 小时, 再匀加速飞行7 2 分钟到1 4 : 2 4 速度达到9 3 1 千米/ 小时, 最后匀减速飞行到着
陆.

1 _        _ _ 2 6

_ _ 。

2 6 8     1

。 . ‘

5 6

t1 0 : 1 8 1 0 : 1 9


1 0 : 月

1 0 : 2 1

1 0 : 孕

1 0 : 2 31 0 : 2 41 0 : 2 5

1 0 : 2 7 1 0 : 2 81 0 : 2 9 1 0 : 西

8 1 8 7 2 8 7 0 朋3 8 8 5 朋7 8 8 7 8 8 5 8 8 5 8 8 8 朋8 朋5 8



1 0 : 刻

1 0 : 3 4 1 0 : 3 5 1 0 : 3 1 1 0 : 3 21 0 : 3 3

1 0 : 洲

1 0 : 3 71 0 : 3 8 1 0 : 3 9

1 0 : 州

1 0 : 4 1



6 4 8 6 3 8 6 3 8 6 4 8 6 4 8 6 4 8 7 0 8 7 0 8 6 6 8 6 4 8 6 1 8 7 0 8

c1 0 : 4 2 0 : 4 41 0 : 4 5 1 0 : 4 31


1 0 : 叫

1 0 : 4 71 0 : 4 8 1 0 : 4 9

1 0 : 刻

1 0 : 5 1 1 0 : 5 21 0 : 5 3
8 加

4 2 8 2 5 8 刀 8 5 9 8 5 9 8 5 5 8 5 1 8 4 6 8 3 3 8

8 1 8 8 1 6 1 1 : 义

忿1 1 : 0 1 0 : 5 4 1 0 : 5 61 0 : 5 71 0 : 5 81


8 1 6 7 9 4 7 9 2 别 刃

8 0 7 8 4 6

1 1 : 州 1 1 1 : 钊 卜 叫 1 1 : 2 6
1 1 : 刀


1 1 : 2 8

8 5 9 1 3 9 4 2 9 4 习 8 6 8 8

古1 1 : 3 8 1 1 : 4 01 1 : 4 2


6 幻 9 4 石 9 3 8 9 3 7 9 4 0 9

1 1 : 叫 1 1 1 : 叫 1 : 5 0
1 1 : 4 8


2 : 1 2 1 2 : 1 41 1 1 : 5 21 2 : 1 01 2 : 1 6

9 3 7 9 3 7 9 1 4 9 0 5 9 0 1 9 0 0

t1 2 : 1 8


1 2 : 州

飞行的距离也可近似计算为
49 - 印
26一 印 61- 印
9 - 2
00一

2 : 2 81 2 : 艾1 2 : 3 21 2 : 3 4 1 2 : 刀1 2 : 2 41 2 : 拓1

1 2 : 3 81 2 : 4 0 1 2 : 辫
8 刀

7 4 8 刀 7 5 8 6 6 8 7 5 8 7 5 8 7 4 8 7 0 8 8 9 2 8 8 8 8 7 9 8

+ 一---二-. 一

8 9 5+7 9 2



+ -一-二一‘ 一一‘ X

7 9 2+9 4 0

     X

     +

2 : 5 21 t1 2 : 4 81 2 : 5 01 2 : 5 4 2 : 4 21 2 : 4 61 2 : 4 41


1 2 : 免1 2 : 5 8

1 3 : 0 2 1 3 : 0 6 1 3 : 叫 8 6 6 8 5 9 8 5 9

9 4 0+ 8 4 6    8 6

7 2 8 刀 8 8 1 8 7 7 8 7 4 8 7 5 8

刀 8 7 4 8 7 9 8

2           x 面
千米.

+ ---- 二-一一一 X

8 4 6+9 3 1

爵臀x 器 = 4 5 3 9

1 3 : 2 01 3 : 刀 君1 3 : 1 41 3 : 1 61 3 : 0 8 1 3 : 1 01 3 : 1 21 3 : 1 8


3 : 2 61 3 : 2 81 3 : 3 0 1 3 : 2 41

(          2 0 分)

撇叫洲词 咧 洲溯碘 注

6 3 肠1 8 6 3 8 6 3 8 5 7 8 4 6 8 4 习 8 5 0 8 5 1 8 5 3 8 5 7 8 4 8 8

3 : 4 61 t1 3 : 3 21 1 3 : 3 61 3 : 3 81 3 : 4 41 3 : 4 8 3 : 3 4


1 3 : 弱 1 3 : 川 1 3 : 到
1 3 : 5 2

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8 7 8 9 2 8 9 4 8 9 6 8 8 1 7 0 8 肠1 8 6 3 8 6 6 8

8 1 8 8 7 8 9 4

1 4 : 2 01 4 : 刀 名1 1 4 : 0 8 1 4 : 1 01 4 : 1 2 1 4 : 1 41 4 : 1 61 4 : 1 8 4 : 0 0 4 : 0 4 1 4 : 0 6 1 4 : 0 21


8 9 2 晚

0 1 9 0 5 9 1 3 i l l : ? 9 1 8 9 8 9

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9 2 9 9 3 1



1 4 : 3 81 4 : 4 0 4 : 4 8 1 4 : 5 6 4 : 3 2 1 4 : 龙1 1 4 : 咧 1 4 : 州1 1 4 : 闪 1 4 : 抖 1 4 : 叫 1 4 : 叫
1 1 习 9 4 8 8 8 8 7 5 8 8 1 8 2 7 7 1 4 6 9 4 1 4 9 9 3 1 9 2 9 9 2 2 9



名1 4 : 5 8 巧: 0 2 巧: 0 0


巧: 0 6 巧: 佣 巧: 1 0 巧: 1 2 1 5 : 川 1 5 : 叫


6 3 3 5 2 7

5 0 0 9 3 1 X 】 2 4 8 2 5 0 3 肠1 3

5      0  1 0 0    1 5 0   2 0 0    2 5 0  3 0 0 3 5 0

( 1 ) 根据表2 所给的数据可以绘出飞机飞 ( 5 分) 行的速度图如下图. ( 2 ) 由所绘制的速 度图可以看出飞机在起飞



: 由于在近似计算时采用的方法不同, 不同 方法的结果也不一样, 如果算法合理, 并且计算结 果在[ 4 4 0 0 , 4 7 0 0 ] 内, 都算正确.


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问题还有很多,请同学们自己列举出几个,并写 出他们的解法. 第六“学用杯 ”全国数学知识应用竞赛 高一年级初赛(B)卷试题答案 一、1. 3 5. [ 10 ,+∞...


历届北京高中数学知识应用竞赛获奖论文题目

届北京高中数学知识应用竞赛获奖论文题目 PP 快看! ! 来源: 刘政的日志 从教室内二氧化碳含量与人体代谢活动的关系看现时学校教学作息时间的合理性 探索最合理的...


第十六届北京市高中数学知识应用竞赛初步

《建设工程经济》计算题考点及例题 《建筑工程管理与实务》笔记总结67份文档 九...第六届北京高中数学知识... 8页 免费 第十四届应用竞赛初赛试... 6页 1下载...


第七届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(B)卷及答案

第七“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(B)卷及答案第“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(B)卷及答案隐藏>> 第七届...


第六届“数学学用杯”全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(A)卷及答案

知道 A ,B,C 三 d2 个城市的人口及它们之间的距离如图 1 所示,且已知 A,...第六“学用杯” 全国数学知识应用竞赛 高二年级初赛试题(A)卷 参考答案一、...


椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法(第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文)

椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法——第十六届北京高中数学知识应用竞赛论文 论文标题: 椭圆周长和旋转椭球面积近似值的简单算法 作者姓名: 性别: 年级: 男 ...

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