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4 基本不等式的证明(1)


4、基本不等式的证明(1) 目标: 探索并了解基本不等式 ab ? 其他不等式。 过程: 一、问题情境 把一个物体放在天平的一个盘子上, 在另一个盘子上放砝码使天平平衡, 称得物体的质量为 ,那么 a 并非物体的 a 。如果天平制造得不精确,天平的两臂长略有不同(其他因素不计) 实际质量。不过,我们可作第二次测量:把物体调换到天平的另一个盘上,此时称得物体的 质量为 b 。那么如何合理的表示物体的质量呢? 把两次称得的物体的质量 “平均” 一下, 以A?

a?b (a, b ? 0) 的证明过程, 并能应用基本不等式证明 2

a?b 表示物体的质量。 这样的做法合理吗? 2

设天平的两臂长分别为 l1 , l2 ,物体实际质量为 M,据力学原理有 l1M ? l2 a, l2 M ? l1b ,有

M 2 ? ab, M ? ab ,即物体的实际质量是 ab
a, b ? 0 时,
a?b 叫 a , b 的算术平均数, ab 叫 a , b 的几何平均数 2

a?b 和 ab 之间具有怎样的大小关系? 2

二、建构 一般,判断两数的大小可采用“比较法” :

a?b ( a ? b )2 ? ab ? ?0 2 2
? ab ? a?b (当且仅当 a ? b 时取等号) 2 说明:当 a ? 0 或 b ? 0 时,以上不等式仍成立。 a?b (a ? 0, b ? 0) (称之“基本不等式” 从而有 ab ? )当且仅当 a ? b 时取等号。 2 a?b 的几何解释: 2 a?b , CD ? ab 如图 OC ? CD, OC ? 2
基本不等式 ab ?

C

A
三、运用 例 1 设 a , b 为正数,证明: (1)

O

D

B

b a 1 ? ? 2 (2) a ? ? 2 a b a

注意:基本不等式的变形应用 2 ab ? a ? b, ab ? ?

? a?b ? ? ? 2 ?

2

例 2 证明:

(1)a2 ? b2 ? 2ab 此不等式以后可直接使用
1 ? 1( x ? ?1) x ?1 4 (3)a ? ? ?4(a ? 0) a (2) x ?

(4)

a2 ? 2 a2 ? 1 a2 ? 5 a2 ? 4

?2

(5)

?2

例 3 已知 a, b ? 0, a ? b ? 1 ,求证:

1 2 ? ? 3? 2 2 a b

四、小结 五、作业

反馈 32

书 P91

习题 1,2,3



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