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(备用)圆的解题技巧总结


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圆的解题技巧总结
一、垂径定理的应用 给出的圆形纸片如图所示,如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦 AB,垂足 为 P,再将纸片沿着直径 CD 对折,我们很容易发现 A、B 两点重合,即有结论 AP=BP,弧 AC= 弧 BC.其实这个结论就是“垂径定理”,准确地叙述为:垂直于弦的直径平分这条弦,并 且平分弦所

对的弧. 垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理, 它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧 之间的垂直或平分的对应关系,是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重 要依据,同时,也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据. 例 1 某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂,维修人员为更换管道,需确定管道圆形 截面的半径,下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1)请你补全这个输水管道的圆形截面; (2)若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm, 水面最深地方的高度为 4cm, 求这个圆 形截面的半径.

例 2 如图,PQ=3,以 PQ 为直径的圆与一个以 5 为半径的圆相切于点 P,正方形 ABCD 的顶点 A、B 在大圆上,小圆在正方形的外部且与 CD 切于点 Q,则 AB=?

例 3 如图,已知⊙O 中,直径 MN=10,正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM、OP 以 及⊙O 上,并且∠POM=45°,则 AB 的长为多少?

例 4 图为小自行车内胎的一部分,如何将它平均分给两个小朋发做玩具?

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二、与圆有关的多解题 几何题目一般比较灵活,若画图片面,考虑不周,很容易漏解,造成解题错误,在解有 关圆的问题时,常常会因忽视图形的几种可能性而漏解. 1.忽视点的可能位置. 例 5 △ABC 是半径为 2 的圆的内接三角形,若 BC ? 2 3 cm,则∠A 的度数为______.

2.忽视点与圆的位置关系. 例 6 点 P 到⊙0 的最短距离为 2 cm,最长距离为 6 cm,则⊙0 的半径是______.

3.忽视平行弦与圆心的不同位置关系. 例 7 已知四边形 ABCD 是⊙0 的内接梯形,AB∥CD,AB=8 cm,CD=6 cm,⊙0 的半径是 5 cm,则梯形的面积是______.

4.忽略两圆相切的不同位置关系 例 8 点 P 在⊙0 外,OP=13 cm,PA 切⊙0 于点 A,PA=12 cm,以 P 为圆心作⊙P 与⊙0 相切,则⊙P 的半径是______.

例 9 若⊙O1 与⊙02 相交,公共弦长为 24 cm,⊙O1 与⊙02 的半径分别为 13 cm 和 15 cm, 则圆心距 0102 的长为______.

三、巧证切线 切线是圆中重要的知识点,而判断直线为圆的切线是中考的重要考点. 判断直线是否是圆的切线,主要有两条途径: 1.圆心到直线的距离等于半径 当题中没有明确直线与圆是否相交时, 可先过圆心作直线的垂线, 然后证明圆心到直线
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的距离等于半径. 例 10 如图,P 是∠AOB 的角平分线 OC 上一点,PD⊥OA 于点 D,以点 P 为圆心,PD 为 半径画⊙P,试说明 OB 是⊙P 的切线.

2.证明直线经过圆的半径的外端,并且垂直于这条半径 当已知直线与圆有交点时,连结交点和圆心(即半径) ,然后证明这条半径与直线垂直 即可. 例 11 如图,已知 AB 为⊙O 的直径,直线 BC 与⊙0 相切于点 B,过 A 作 AD∥OC 交⊙0 于点 D,连结 CD. (1)求证:CD 是⊙0 的切线; (2)若 AD=2,直径 AB=6,求线段 BC 的长.

四、结论巧用,妙解题 例 12 已知:如图,⊙O 为 Rt△ABC 的内切圆,D、E、F 分别为 AB、AC、BC 边上的切 点,求证: s ?ABC ? AD ? BD .

该结论可叙述为: “直角三角形的面积等于其内切圆与斜边相切的切点分斜边所成两条 线段的乘积. ”运用它,可较简便地解决一些与直角三角形内切圆有关的问题,举例如下: 例 13 如图,⊙0 为 Rt△ABC 的内切圆,切点 D 分斜边 AB 为两段,其中 AD=10,BD= 3,求 AC 和 BC 的长.

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例 14 如图, △ABC 中∠A 与∠B 互余, 且它们的角平分线相交于点 0, 又 OE⊥AC, OF⊥BC, 垂足分别为 E、F,AC=10,BC=13.求 AE·BF 的值.

五、点击圆锥的侧面展开图 圆锥的侧面展开图是中考中的热点内容: 解决此类问题的关键是明确圆锥的侧面展开图中各元素与圆锥各元素之间的关系: 圆锥 的侧面展开图是扇形,而扇形的半径是圆锥的母线,弧长是圆锥的底面周长. 例 15 若一个圆锥的母线长是它的底面半径长的 3 倍,则它的侧面 展开图的圆心角是( )A. 180° B. 90° C. 120° D. 135°

例 16

圆锥的侧面展开图是一个半圆面,则这个圆锥的母线长与底面 )A.2:1 B.2π :1 C. 2 :1 D. 3 :1

半径长的比是(

例 17 如图,小红要制作一个高 4 cm,底面直径是 6 cm 的圆锥形小漏斗, 若不计接缝,不计损耗,则她所需纸板的面积是( ) A.15π cm
2

B.6 13? cm

2

C.12 13 ?? cm

2

D.30 cm

2

例 18 下图是小芳学习时使用的圆锥形台灯罩的示意图,则围成这个灯罩的铁皮的面 2 积为______cm . (不考虑接缝等因素,计算结果用π 表示)

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评注:圆锥的侧面积,需要熟练掌握其计算公式,理解圆锥的侧面积等于其剪开后扇形 的面积. 例 19 如图, 有一块四边形形状的铁皮 ABCD, BC= CD,AB= 2AD,∠ABC =∠ADB= 90°. (1)求∠C 的度数; (2)以 C 为圆心,CB 为半径作圆弧 BD 得一扇形 CBD,剪下该扇形并 用它围成一圆锥的侧面,若已知 BC=a,求该圆锥的底面半径; (3)在剩下的材料中,能否剪下一块整圆做该圆锥的底面?并说明理由.

六、例谈三角形内切圆问题 三角形的内切圆是与三角形都相切的圆, 它的圆心是三角形三条角平分线的交点, 它到 三角形三边的距离相等,它与顶点的连线平分内角.应用内心的性质,结合切线的性质、切 线长的性质可以解决很多问题,现举例说明, 例 20 如图,△ABC 中,内切圆⊙I 和边 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F. 求证:(1) ?FDE ? 90? ? 1 ?A ; 2

(2) ?BIC ? 90o ? 1 ?A . 2

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例 21 如果△ABC 的三边长分别为 a、b、c,它的内切圆⊙I 半径为 r,那么△ABC 的面积为( ). A. (a ? b ? c)r C. 1 (a ? b ? c)r 3 B. 1 (a ? b ? c)r 2 D. 1 (a ? b ? c)r 4

七、阴影部分面积的求值技巧 求阴影部分面积,通常是根据图形的特点,将其分解、转化为规则图形求解.但在转化 过程中又有许多方法.本文精选几个题,介绍几种常用方法. 1.直接法 当已知图形为熟知的基本图形时, 先求出适合该图形的面积计算公式中某些线段、 角的 大小,然后直接代入公式进行计算. 例 22 如图,在矩形 ABCD 中,AB=1,AD= 3 ,以 BC 的中点 E 为圆 心的 与 AD 相切于点 P,则图中阴影部分的面积为( )

3 A. 2 ? B. 3 ? C. D. ? ? 4 3 4 3 2.和差法 当图形比较复杂时, 我们可以把阴影部分的面积转化为若干个熟悉的图形的面积的和或 差来计算. 例 23 如图,AB 和 AC 是⊙0 的切线,B、C 为切点,∠BAC=60°, ⊙0 的半径为 1,则阴影部分的面积是( )
A. 3 ? 2 ? 3 B. 3 ? ? 3 C. 2 3 ? ? 3 D. 2 3 ? ?

3.割补法 把不规则的图形割补成规则图形,然后求面积. 例 24 如图, 正方形 ABCD 的顶点 A 是正方形 EFGH 的中心, EF=6 cm,则图中的阴影部分的面积为______. 4.等积变形法 把所求阴影部分的图形进行适当的等积变形,即可找出与它面 积相等的特殊图形,从而求出阴影部分面积. 例 25 如图,C、D 两点是半圆周上的三等分点,圆的半径为 R,求阴影部分的面积.

5.平移法 把图形做适当的平移,然后再计算面积. 例 26 如图,CD 是半圆 0 的直径,半圆 0 的弦 AB 与半圆 O' 相切,点 O' 在 CD 上,且 AB∥CD,AB=4,则阴影部分的面积是(结果保留π ) .

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6.整体法 例 27 如图,正方形的边长为 a,分别以对角顶点为圆心,边长为半径画弧,则图中阴 影部分的面积是( ) A. ? 1 a 2 ? 1 ?a 2 2 4 C. ? a 2 ? 1 .?a 2 2 B. 2(a 2 ? 1 ?a 2 ) 4 D. a 2 ? 1 ?a 2 2

7.折叠法 例 28 如图,半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于点 0,其直径 CD,EF 均和 x 轴垂直,以 0 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、E 和点 D、F,则图中阴影部分的面积是______.

8.聚零为整法 例 29 如图所示, 将半径为 2 cm 的⊙0 分割成十个区域, 其中弦 AB、 CD 关于点 0 对称, EF、GH 关于点 0 对称,连结 PM,则图中阴影部分的面积是______(结果用π 表示) .

八、圆中辅助线大集合 圆是初中重点内容,是中考必考内容.关于圆的大部分题目,常需作辅助线来求解.现 对圆中辅助线的作法归纳总结如下: 1、有关弦的问题,常做其弦心距,构造直角三角形 例 30 如图,矩形 ABCD 与圆心在 AB 上的⊙O 交于点 G、B、F、E,GB=8 cm,AG=1 cm,

DE=2 cm,则 EF=______cm. 2、有关直径问题,常做直径所对的圆周角 例 31 如图,在△ABC 中,∠C=90°,以 BC 上一点 0 为圆心,以 OB 为半径的圆交 AB 于点 M,交 BC 于点 N. (1)求证: AB ? BM ? BC ? BN (2)如果 CM 是⊙0 的切线,N 为 OC 的中点,当 AC=3 时,求 AB 的值.

3、直线与圆相切的问题,常连结过切点的半径,得到垂直关系;或选圆周角,找出等
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角关系 例 32 如图,AB、AC 分别是⊙0 的直径和弦,点 D 为劣弧 AC 上一点,弦 ED 分别交⊙0 于点 E,交 AB 于点 H,交 AC 于点 F,过点 C 的切线交 ED 的延长线于 P. (1)若 PC=PF,求证:AB⊥ED.

(2)点 D 在劣弧的什么位置时,才能使 AD =DE·DF,为什么?

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4、两圆相切,常做过切点的公切线或连心线,充分利用连心线必过切点等定理 例 33 如图,⊙02 与半圆 Ol 内切于点 C,与半圆的直径 AB 切于 D,若 AB=6,⊙02 的半 径为 1,则∠ABC 的度数为______.

C、数学思想方法与中考能力要求 数学思想和方法是数学的血液和精髓,是解决数学问题的有力武器,是数学的灵魂.因 此,我们领悟和掌握以数学知识为载体的数学思想方法,是提高数学思维水平,提高数学能 力,运用数学知识解决实际问题的有力保证,因此,我们在学习中必须重视数学思想在解题 中的应用. 一、数形结合思想. 数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象思维和形 象思维相结合. 通过对图形的认识, 数形结合的转化, 可培养同学们思维的灵活性、 形象性, 使问题化难为易,化抽象为具体. 例 1 MN 是半圆直径,点 A 是 的一个三等分点,点 B 是 的中点,P 是直径 MN 上 的一动点,⊙0 的半径是 1,求 AP+BP 的最小值.

二、转化思想 转化思想,就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种手段将问题通过变换,使之转 化,进而得到解决的一种方程,转化思想,能化繁为简,化难为易,化未知为已知.
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例 2 如图,以 0⊙的直径 BC 为一边作等边△ABC,AB、AC 交⊙0 于 D、E 两点,试说明 BD=DE=EC. 在同圆或等圆中,经常利用圆心角、圆周角、弧、弦等量的转化,说明其他量.

三、分类思想 所谓分类思想,就是当被研究的问题包含多种可能情况,不能一概而论时,必须按可能 出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论.分类必须遵循一定的原则:(1) 每一次分类要按照同一标准进行;(2)不重、不漏、最简. 例 3 ⊙0 的直径 AB=2 cm,过点 A 的两条弦 AC= 2 cm,AD= 3 cm,求∠CAD 所夹的圆 内部分的面积.

在圆中有许多分类讨论的题目,希望同学们做题时,要全面、缜密,杜绝“会而不对, 对而不全”的现象.

四、方程思想 通过对问题的观察、分析、判断,将问题化归为方程问题,利用方程的性质和实际问题 与方程的互相转化达到解决问题的目的. 例 4 如图,AB 是⊙0 的直径,点 P 在 BA 的延长线上,弦 CD⊥AB,垂足为 E,且 PC 是⊙O 的切线,若 OE:EA=1:2,PA=6,求⊙0 的半径.

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五、函数思想 例 5 (2005·梅州市)如图,Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=4,BA=5,点 P 是 AC 上的 动点(P 不与 A、C 重合) ,设 PC=x,点 P 到 AB 的距离为 y. (1)求 y 与 x 的函数关系式; (2)试讨论以 P 为圆心, 半径为 x 的圆与 AB 所在直线的位置关系, 并指出相应的 x 的取 值范围.

例 6 (2006·烟台)如图,从⊙0 外一点 A 作⊙0 的切线 AB、AC,切点分别为 B、C,且 ⊙0 直径 BD=6,连结 CD、AO. (1)求证:CD∥AO; (2)设 CD=x,AO=y,求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (3)若 AO+CD=11,求 AB 的长.

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