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高中数学教案,导数综合


第十三节

导数的综合应用

考向一

函数的最值问题 )

【基础自测 3】函数 f(x)=12x-x3 在区间[-3,3]上的最小值是( A.-9 B.-16 C.-12 D.-11

★(2012 安徽理 19)设 f (x) ? ae x ? 小值;

1 ?b (a ? 0) (I)求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最 ae x

★ (2013 安徽理 17) 设函数 f ( x) ? ax ? (1 ? a2 ) x2 , 其中 a ? 0 , 区间 I ? ?x | f ( x) ? 0? (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 I 长度的最小值。 ln x 【跟踪训练 1】(2013 年武汉八校联考)已知函数 f(x)= x -x. (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)设 m>0,求 f(x)在[m,2m]上的最大值. 挑战: [例 1] (2012 年高考江西卷文 21)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递 减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (2)若 0《a《1,设 g(x)=f(x)-f′(x),求 g(x)在[0,1]上的最大值和最小值. 考向三 不等式恒成立问题与导数 ★ (2010 安徽理 17)设 a 为实数,函数 f ? x ? ? ex ? 2x ? 2a, x ? R 。 (Ⅰ)求 f ? x ? 的单调区间与极值; (Ⅱ)求证:当 a ? ln 2 ? 1且 x ? 0 时, e x ? x 2 ? 2ax ? 1

【基础自测 5】 .(2013 年广州模拟)设函数 f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意 x∈[-1,1],都有 f(x)≥0 成立,则实数 a 的值为________

1

[例 1] (2012 年高考江西卷文 21)已知函数 f(x)=(ax2+bx+c)ex 在[0,1]上单调递 减且满足 f(0)=1,f(1)=0. (1)求 a 的取值范围; 【思维提升】变量分离方法因题而异对于具体问题两种方法,尝试解决 a 1 (2013 北京东城模拟)已知函数:f(x)=x-(a+1)ln x- x (a∈R),g(x)=2x2

[例 3]

+ex-xex. (1) 当 x∈[1,e]时,求 f(x)的最小值; 【互动探究】本例(2)条件若变为“当 a<1 时,对任意 x∈[e,e2],f(x)>e 恒成立” 求 a 的取值范围. ★★【高考答题模板及给分细则】★★ 【典例】 (2012 年高考辽宁卷 21)(12 分)设 f(x)=ln x+ x-1,证明: 3 (1)当 x>1 时,f(x)<2(x-1); 【思路导析】 构造新函数转化为单调性与最值问题来证明. 3 【规范解答】 (1)证法一 记 g(x)=ln x+ x-1-2(x-1),则当 x>1 时,g′(x) 1 1 3 =x+ -2<0.3 分 2 x 3 又 g(1)=0,所以有 g(x)<0,即 f(x)<2(x-1).6 分 【名师点评】 利用导数法证明不等式 f(x)>g(x)成立;

第一步:构造 h(x)=f(x)-g(x); 第二步:求 h′(x)并判断 h(x)的单调性; 第三步:确定 h(x)的最小值; 第四步:证明 h(x)min>0 成立,即得结论; 第五步:反思证明过程. 挑战: ★(2011 辽宁 11)函数 f ( x) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对任意 x ? R , f ?( x) ? 2 , 则 f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为 A( ?1,1) B( ?1,+ ? ) C( ? ? , ?1) D( ? ? ,+ ? )

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总结:恒成立问题转化为最值问题练习
[例 3] a 1 (2013 北京东城模拟)已知函数:f(x)=x-(a+1)ln x- x (a∈R),g(x)=2x2

+ex-xex. 【互动探究】本例(2)条件若变为“当 a<1 时,对任意 x∈[e,e2],f(x)>e 恒成立” 求 a 的取值范围. 思考:①本例(2)条件若变为“当 a<1 时,存在 x∈[e,e2],使的 f(x)>e 成立” 求 a 的取值范围. ②:本例(2)中若变为“当 a<1 时,x∈[e,e2],若 f(x)>e 有解”求 a 的取值范围. 提高: ①:当 a<1 时,若任意 x∈[e,e2], f(x)<g(x)恒成立,求 a 的取值范围. ②:当 a<1 时,若存在 x∈[e,e2],使得 f(x)<g(x)求 a 的取值范围. ③:当 a<1 时,若不等式 f(x)<g(x)有解求 a 的取值范围. 挑战 ①当 a<1 时,若任意 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立, 求 a 的取值范围. ②当 a<1 时,若存在 x1∈[e,e2],使得对任意的 x2∈[-2,0],f(x1)<g(x2)恒成立, 求 a 的取值范围.

考向二 实际生活中的优化问题与导数 [例 2] (2013 年黄冈中学检测)某商场预计从 2012 年 1 月份起的前 x 个月,顾客

1 对某商品的需求总量 p(x)(单位:件)与 x 的关系近似地满足 p(x)=2x(x+1)· (39- 2x)(其中 x∈N*,且 x≤12),该商品第 x 月的进货单价 q(x)(单位:元)与 x 的近似 关系是 150+2x?x∈N*,且1≤x≤6?, ? ? q(x)=? 160 185- x ?x∈N*,且7≤x≤12?. ? ? (1)写出 2012 年第 x 月的需求量 f(x)(单位:件)与 x 的函数关系式; (2)该商品每件的售价为 185 元,若不计其他费用且每月都能满足市场需求,试 问该商场 2012 年第几个月销售该商品的月利润最大,最大月利润为多少元?
3

【跟踪训练 2. 】 某玩具厂生产一种儿童智力玩具, 每个玩具的材料成本为 20 元, 加工费为 t 元(t 为常数,且 2≤t≤5),出厂价为 x 元(25≤x≤40).根据市场调查 知,日销售量 q(单位:个)与 ex 成反比,且当每个玩具的出厂价为 30 元时,日 销售量为 100 个. (1)求该玩具厂的日利润 y 元与每个玩具的出厂价 x 元之间的函数关系式; (2)若 t=5, 则每个玩具的出厂价 x 为多少元时, 该工厂的日利润 y 最大?并求最 大值.

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