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高中数学解三角形考点专题专练


高中数学解三角形考点专题专练补课题
a b c 1. 正弦定理: = = 其中 R 是三角形外接圆的半径. 由 sin A sin B sin C=2R, 正弦定理可以变形为: (1)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (2)a= ,b = ,c = ; (3)sin A= ,sin B= ,sin C= 等形式,以解决不同的三角形 问题. 2.余弦定理:a2= ,b2= ,c2= 余弦定理可以变形为: cos A= ,cos B= ,cos C= . 1 1 1 abc 1 3. S△ABC=2absin C=2bcsin A=2acsin B= 4R =2(a+b+c)· r(R 是三角形外 接圆半径,r 是三角形内切圆的半径),并可由此计算 R,r.
1.已知 f ( x) ? cos

3x x 3x x cos ? sin sin ? 2 sin x cos x , 2 2 2 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 当 x ? ?

?? ? , ? ,求函数 f ( x) 的零点. ?2 ? ?
2

2.已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x ? 3 cos x ? (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)求 f ( x) 的单调递增区间;

1 3 ( x ? R) . 2

(3)求 f ( x) 图象的对称轴方程和对称中心的坐标. 3 已知函数 f ( x) ? A sin(ax ? ? ), ( A ? 9, ? ? 0,| ? |? (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)当 x ? [?6, ? ] 时,求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 的最大值与最小值及相应的 x 的值。

?
2

, x ? R) 的图象的一部分如下图所示。

2 3

4 已知函数 f ( x) ?

3 (sin 2 x ? cos2 x) ? 2 sin x cos x .

(Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)设 x ? [?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间. 3 3

5.已知函数 f ( x) ? 2sin x cos(

?

? x) ? 3 sin(? ? x) cos x ? sin( ? x) cos x 2 2

?

(1)求函数 y ? f ( x) 的最小正周期和最值; (2)指出 y ? f ( x) 图像经过怎样的平移变换后得到的图像关于原点对称。 6.已知函数 f ( x) ? sin ?x ? 3 sin ?x sin(?x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为?

(1)求 f ( x); (2)当 x ? [?

, ]时, 求函数f ( x) 的值域。 12 2

? ?

7.已知 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C 。 (I)求角 B 的大小; 8 已知△ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c,且 a=2, cosB= (1)若 b=4,求 sinA 的值; (2) 若△ABC 的面积 S△ ABC=4,求 b,c 的值. 9.设函数 f ( x) ?

3 . 5

3 sin x cos x ? cos2 x ? a 。

(1)写出函数 f ( x) 的最小正周期及单调递减区间; (2)当 x ? ??

3 ? ? ?? , ? 时,函数 f ( x) 的最大值与最小值的和为 ,求 a 2 ? 6 3?
2 2

10.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ? 2 3 sin x cos x ? 1 . (1)求 f ( x) 的最小正周期,并求 f ( x) 的最小值; (2)若 f (? ) ? 2 ,且 ? ? [

? ?

, ] ,求 ? 的值 4 2

11.已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x) 在区间 ? ?

? ? ?? , 上的最大值和最小值. ? 6 2? ?

12. f ( x) ? sin( x ?

) ? sin( x ? ) ? cos x ? a(a ? R, a为常数) . 6 6 ? ? (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最小正周期;(Ⅱ)若函数 f ( x) 在[- , ]上的最大值与最小值之和为 3 , 2 2
求实数 a 的值. 13.设函数 f ( x) ? (sin ? x ? cos ? x) ? 2cos ? x(? ? 0) 的最小正周期为
2 2

?

?

2? . 3

(Ⅰ)求 ? 的最小正周期. (Ⅱ)若函数 y ? g ( x) 的图像是由 y ? f ( x) 的图像向右平移 单调增区间.

? 个单位长度得到,求 y ? g ( x) 的 2

?x ? ? )(0 ? ? ? π , ? ? 0) 为偶函数,且函数 y=f(x) 14.已知函数 f(x)= 3 sin(?x ? ? ) ? cos(
图象的两相邻对称轴间的距离为 (Ⅰ)求 f(

π . 2

π )的值; 8 π 个单位后, 再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的 6

(Ⅱ) 将函数 y=f(x)的图象向右平移

4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 15.设函数 f(x)=cos(2x+

? 2 )+sin x. 3

求函数 f(x)的最大值和最小正周期. (1)

1 c 1 , f ( ) ? ? ,且 C 为锐角,求 sinA. 3 2 4 2 2 2 3.已知△ABC 三边满足 a +b =c - 3ab,则此三角形的最大内角为________.
设 A,B,C 为 ? ABC 的三个内角,若 cosB= ).

15. 已知 a, b, c 是△ABC 三边之长, 若满足等式(a+b-c)(a+b+c)=ab, 则角 C 的大小为( A.60° B.90° C.120° D.150° 在中,角 A,B,C 的对应边分别为 a,b,c,若 a ? c ? b ? 3ac ,则角 B 的值为(
2 2 2



A.

? 6
2

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3

16 函数 y ? 2cos x ? sin 2 x 的最小值是_____________________ .) 17 已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin x .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (II)求函数 f ( x) 的零点的集合。 18(2010 北京文) (15) (本小题共 13 分)

已知函数 f ( x) ? 2cos 2 x ? sin x
2

(Ⅰ)求 f ( ) 的值; (Ⅱ)求 f ( x) 的最大值和最小值

?

3

17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x
2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

18 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0
(1)求 A

(2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c

19. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2sin x
2

(I)求函数 f ( x) 的最小正周期。 (II) 求函数 f ( x) 的最大值及 f ( x) 取最大值时 x 的集合。

cos B b 20.在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos C=- . 2a+c (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 21.已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,c,且 A 2cos2 2 +cos A=0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积. 22. △ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a, b, c, asin A+csin C- 2asin C=bsin B. (1)求 B; (2)若 A=75° ,b=2,求 a,c. 23.在 △ABC 中, cos A ? ? (Ⅰ)求 sin C 的值; 24. .设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a=2bsinA (Ⅰ)求 B 的大小;
25. (本小题满分 12 分)
5 3 , cos B ? . 13 5 (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ABC 的面积.

在 ?ABC 中, A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 b cos C ? 3a cos B ? c cos B . ??? ? ??? ? (1)求 cos B 的值;(2)若 BA ? BC ? 2 , b ? 2 2 ,求 a 和 c ?

26(2012年全国新课标) ( (本小题满分 12 分) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0
(1)求 A

(2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c 。

A 27.已知 A,B,C 为△ABC 的三个内角,其所对的边分别为 a,b,c,且 2cos2 2 + cos A=0. (1)求角 A 的值; (2)若 a=2 3,b+c=4,求△ABC 的面积.


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