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2016年新课标卷高考押题——圆锥曲线(文)


2016 年新课标 1 卷圆锥曲线(文)解答题押题预测 【历届真题】 1、 (2011 年全国 1 卷文)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 y ? x2 ? 6 x ? 1与坐标轴的交点都 在圆 C 上. (I)求圆 C 的方程; (II)若圆 C 与直线 x ? y ? a ? 0 交于 A,B 两点,且 OA ? OB, 求 a 的值. 2、 (2012 新课标文)设抛物线

C:x2=2py(p>0)的焦点为 F,准线为 l,A 为 C 上一点,已知 以 F 为圆心,FA 为半径的圆 F 交 l 于 B,D 两点. (I)若∠BFD=90°,△ABD 的面积为 4 2,求 p 的值及圆 F 的方程; (II)若 A,B,F 三点在同一直线 m 上,直线 n 与 m 平行,且 n 与 C 只有一个公共点,求 坐标原点到 m,n 距离的比值.

3、(2013 课标全国Ⅰ卷文)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时, 求|AB|. 4、 (2014 年全国 1 卷文) 已知点 P (2,2) , 圆C : x ? y ? 8y ? 0 , 过点 P 的动直线 l 与圆 C
2 2

2

2

2

2

交于 A, B 两点,线段 AB 的中点为 M , O 为坐标原点. (1)求 M 的轨迹方程; (2)当 OP ? OM 时,求 l 的方程及 ?POM 的面积

5、 (2015 年全国 1 卷文)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2) +(y-3) =1 交于 M,N 两点. (1) 求 K 的取值范围; (2) 若 OM · ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.

2

2

???? ?

????

【高考预测】

x2 y 2 1、 (2014 天津理) 设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右焦点分别为 F1 、F2 , 右顶点为 A , a b 3 上顶点为 B .已知 | AB |? | F1F2 | . 2
⑴求椭圆的离心率; ⑵设 P 为椭圆上异于其顶点的一点, 以线段 PB 为直径的圆经过点 F1 , 经过原点 O 的直线 l 与该圆相切,求直线 l 的斜率.

2、 (2013 新课标Ⅱ卷文)在平面直角坐标系 xOy 中,己知圆 P 在 x 轴上截得线段长为 2

2,

在 Y 轴上截得线段长为 2 3 . (Ⅰ)求圆心 P 的轨迹方程; (Ⅱ)若 P 点到直线 y ? x 的距离为

2 求圆 P 的方程. 2

4、 【2012 高考江西文】已知三点 O(0,0) ,A(-2,1) ,B(2,1) ,曲线 C 上任意一点 M(x,y) 满足 MA ? MB ? OM (OA ? OB) ? 2 。 (1)求曲线 C 的方程; (2)点 Q(x0,y0)(-2<x0<2)是曲线 C 上动点,曲线 C 在点 Q 处的切线为 l,点 P 的坐标是 (0,-1) ,l 与 PA,PB 分别交于点 D,E,求△QAB 与△PDE 的面积之比。

???? ????

???? ? ??? ? ??? ?

5、 【2012 福建文】 如图, 等边三角形 OAB 的边长为 8 3 , 且其三个顶点均在抛物线 E: x2=2py (p>0)上。 (1) 求抛物线 E 的方程; (2) 设动直线 l 与抛物线 E 相切于点 P,与直线 y=-1 相较于点 Q。证明以 PQ 为直径的 圆恒过 y 轴上某定点。

x2 y 2 5、 【2012 高考北京文】已知椭圆 C: 2 + 2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A (2,0) ,离心 a b
率为

2 , 直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交与不同的两点 M,N 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)当△AMN 的面积为

10 时,求 k 的值。 3

x2 y 2 ? 1? a>0 ? 的一个焦点为 F(﹣1,0) 6、已知椭圆 M: 2 ? ,左右顶点分别为 A,B.经 a 3
过点 F 的直线 l 与椭圆 M 交于 C,D 两点. (Ⅰ)求椭圆方程; (Ⅱ)当直线 l 的倾斜角为 45° 时,求线段 CD 的长; (Ⅲ)记△ ABD 与△ ABC 的面积分别为 S1 和 S2,求|S1﹣S2|的最大值.

7.已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1? a>b>0 ? 的右焦点为 F1(2,0) ,离心率为 e . a 2 b2

(1)若 e ?

2 ,求椭圆的方程; 2

(2)设 A,B 为椭圆上关于原点对称的两点,AF1 的中点为 M,BF1 的中点为 N,若原点 O 在以线段 MN 为直径的圆上. ①证明点 A 在定圆上; ②设直线 AB 的斜率为 k,若 k≥ 3 ,求 e 的取值范围.

8、如图,圆 C : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 36 ,P 是圆 C 上的任意一动点,A 点坐标为(2,0) ,线段 PA 的垂直平分线 l 与半径 CP 交于点 Q. (1)求点 Q 的轨迹 G 的方程; (2) 已知 B, D 是轨迹 G 上不同的两个任意点, M 为 BD 的中点. ① 若 M 的坐标为 M(2,1) ,求直线 BD 所在的直线方程;②若 BD 不经过原点,且不垂直于 x 轴,点 O 为轨迹 G 的中心. 求证:直线 BD 和直线 OM 的斜率之积是常数(定值).

9、 如图, 已知抛物线 E : y 2 ? x 与圆 M : ( x ? 4)2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相交于 A 、

B 、 C 、 D 四个点。
(I)求 r 得取值范围; (II)当四边形 ABCD 的面积最大时,求对角线 AC 、 BD 的交点 P 坐标。

x2 y2 10、已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 ? a>0, b>0? 的一条渐近线为 y ? 3x ,右焦点 F 到直线 a b

x?

3 a2 的距离为 。 2 c

(1)求双曲线 C 的方程; ( 2 )斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与双曲线 C 相交于 B、D 两点,已知

???? ??? ? A ?1,0 ? ,若 DF ? BF =1 ,证明:过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。
2 2 11、已知圆 N : ? x ? 2 ? ? y ? 8 和抛物线 C : y ? 2x ,如图,圆 N 的切线 l 与抛物线 C 交 2

于不同的两点 A,B。 (1)当直线 l 的斜率为 1 时,求 AB ; (2)设点 M 为点 N 关于直线 y ? x 的对称点,是否存在直线 l ,使得 MA⊥MB ?若存在, 求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由。

???? ????

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )的半焦距为 c ,原点 ? 到经过两 a 2 b2 1 点 ? c,0 ? , ? 0, b ? 的直线的距离为 c . 2 (1)求椭圆 ? 的离心率; 5 2 2 (2)如图, ?? 是圆 ? : ? x ? 2 ? ? ? y ? 1? ? 的一条直径,若椭圆 ? 经过 ? , ? 两点, 2 求椭圆 ? 的方程.
12、 (2015 陕西理)已知椭圆 ? :

13、 (2011 山东文)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示,斜率 3

为 k (k>0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的中点为 E ,射线 OE 交 椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ?3 于点 D(?3, m) . (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE , (i)求证:直线 l 过定点; (ii)试问点 B ,G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ? ABG 的 外接圆方程;若不能,请说明理由.
2

14、已知曲线 C 上动点 P ? x, y ? 到定点 F1

?

3, 0 与定直线 l1 : x ?

?

4 3 的距离之比为常数 3

3 . 2
(1)求曲线 C 的轨迹方程; (2)若过点 Q ?1, ? 引曲线 C 的弦 AB 恰好被点 Q 平分,求弦 AB 所在的直线方程; (3)以曲线 C 的左顶点 T 为圆心作圆 T: (x+2) +y =r (r>0) ,设圆 T 与曲线 C 交于点 M 与点 N,求 TM ? TN 的最小值,并求此时圆 T 的方程.
2 2 2

? 1? ? 2?

???? ??? ?

15、 (2014 广州二模理)已知定点 F ? 0,1? 和直线 l : y ? ?1 ,过点 F 且与直线 l 相切的动圆 圆心为点 M ,记点 M 的轨迹为曲线 E . (1) 求曲线 E 的方程; (2) 若点 A 的坐标为 ? 2,1? , 直线 l1 : y ? kx ? 1(k ? R,且 k ? 0) 与曲线 E 相交于 B, C 两点, 直线 AB, AC 分别交直线 l 于点 S , T . 试判断以线段 ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若 是,求这两个定点的坐标;若不是,说明理由. 16、 【2012 高考山东理】在平面直角坐标系 xOy 中, F 是抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 的焦
2

点, M 是抛物线 C 上位于第一象限内的任意一点,过 M , F , O 三点的圆的圆心为 Q ,点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为 (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ) 是否存在点 M , 使得直线 MQ 与抛物线 C 相切于点 M ?若存在, 求出点 M 的坐标; 若不存在,说明理由; (Ⅲ) 若点 M 的横坐标为 2 , 直线 l : y ? kx ? 圆 Q 有两个不同的交点 D, E ,求当

3 . 4

1 与抛物线 C 有两个不同的交点 A, B ,l 与 4

1 2 2 ? k ? 2 时, AB ? DE 的最小值. 2

2 ? x ? R? 与坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为 M. 17、已知抛物线 y ? x ? 2x ? b

(1)求实数 b 的取值范围; (2)设抛物线与 x 轴的交点从左到右分别为 A、B,与 y 轴的交点为 C,求 A、B、C 三点的 坐标; (3)设直线 l 是抛物线在点 A 处的切线,试判断直线 l 是否也是圆 M 的切线?并说明理由.

18、已知圆 M : x2 ? 8x ? y 2 ? 0 和圆 N : x2 ? 8x ? y 2 ? 12 ? 0 ,点 ( p x0 , y0 )( y0 ? 0) 是双 曲线 C:x ?
2

y2 ? 1 右支上的动点,线段 PM ,PN 分别交圆 M 于 A,交圆 N 于 B。 15

(1)证明: PA =PB ; (2)记 △PAB、△PMN 的面积为 S1 与 S2 ,求

S2 的取值范围; S1

(3)记点 A 圆 M 的切线为 l1 ,点 B 处圆 N 的切线为 l2 ,证明 l1 与 l2 的交点 Q 一定在直线

4 x ? 3 ? 0 上。
19、已知动圆过定点 A(4,0), 且在 y 轴上截得的弦 MN 的长为 8. (Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (Ⅱ) 已知点 B(-1,0), 设不垂直于 x 轴的直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 P, Q, 若 x 轴是
?PBQ 的角平分线, 证明直线 l 过定点.

20、 【2011 北京理】 已知椭圆 G :

x2 2 2 ? y 2 ? 1, 过点 (m,0) 作圆 x ? y ? 1的切线 l 交椭圆 G 4

于 A , B 两点. (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将 | AB | 表示为 m 的函数,并求 | AB | 的最大值.

21、已知抛物线 C : y ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于 A 、 B 两点,
2

点 A 关于 x 轴的对称点为 D . (Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ? ??? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9


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