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江苏省张家港高级中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案


2015~2016 学年第二学期期中考试三校联考

一、填空题: (共 70 分) 1.复数

二 年级 理科数学 试卷
命题人:唐海燕

命题学校:张家港高级中学
1 的虚部是 (1 ? i) 2

.

2.命题“ ?x ? R, 使x 2 ? x ? 1

? 0 ”的否定是
2 2 2 2 3. C2 ? C3 ? C4 ? ? ? ? ? C11 ?

.

.(用数字作答)

4.用反证法证明命题“若 x, y ? 0, 且x ? y ? 2, 则 应该是 .

1? x 1? y , 中至少有一个小于 2”时,假设的内容 y x

5. ( x ? 2 y)(x ? y) 8 的展开式中, x 2 y 7 的系数为

.(用数字作答)

6. 矩形ABCD中, 对角线 AC 与相邻两边所成角为 ? , ? , 则 cos2 ? ? cos2

? ? 1,类比到空间中的一

个正确命题:在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,对角线 AC1 与相邻三个面所成角为 ? , ? , ? ,则 有 . 7.有 5 种不同的书(每种书不少于 3 本) ,从中选购 3 本送给 3 名同学,每人各一本,共有 不同的送法。 (用数字作答) 8.观察下列等式: 种

12 ? 1 12 ? 2 2 ? ?3 12 ? 2 2 ? 3 2 ? 6 12 ? 2 2 ? 3 2 ? 4 2 ? ?10 ??? 照此规律,第 n 个等式可为

. 9. 已 知 椭 圆 短 轴 上 的 两 个 三 等 分 点 与 两 个 焦 点 构 成 一 个 正 方 形 , 则 椭 圆 的 离 心 率 为 . 10.用数学归纳法证明 "1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? (2n ? 1) ? (n ? 1)(2n ? 1)"时,由 n ? k (k ? 1) 等式成立,推 证 n ? k ? 1 ,左边应增加的项为
2 2

.

11. 设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 与圆 x ? y ? 2x ? 4 y ? 0 相交于 A,B ,则弦 AB 的垂直平分线的方程 为 .

1

12.甲,乙两人独立地破译 1 个密码,他们能破译密码的概率分别是 和 概率为 .

1 5

1 ,则这个密码能被破译的 4
.

13.设随机变量 X ~ B(2, p),Y ~ B(4, p), 若 P ( X ? 1) ?

5 , 则 P(Y ? 2) = 9

14. 从 0,1,2,3,4,5,6 这 7 个 数 字 中 选 出 4 个 不 同 的 数 字 构 成 四 位 数 , 不 大 于 3410 的 个 数 是 . 二.解答题(共 90 分) 15.(本题 14 分) 设复数 z ? m 2 ? 2m ? 3 ? (m 2 ? 3m ? 2)i ,试求实数 m ,使 (1) z 是纯虚数; (2) z 对应的点在第二象限.

16. (本题 14 分) 若 3 名女生,5 名男生排成一排拍照,问: (用数字作答) (1)3 名女生相邻的不同排法共有多少种? (2)3 名女生不相邻的不同排法共有多少种? (3)5 名男生顺序一定的不同排法有多少种?

17. (本题 14 分) 已知在 (3 x ? (1)求 n ; (2)求含 x 的项的系数; (3)求展开式中所有的有理项.
2

1 2 x
3

) n 的展开式中, 第 6 项为常数项.

2

18. (本题 16 分) 学校游园活动有这样一个游戏:甲箱子里装有 3 个白球,2 个黑球,乙箱子里装有 1 个白球,2 个黑球,这些球除了颜色外完全相同,每次游戏从这两个箱子里各随机摸出 2 个球,若摸出的白球 不少于 2 个,则获奖(每次游戏结束后将球放回原箱). (1)求在 1 次游戏中:①摸出 3 个白球的概率. ②获奖的概率 . (2)求在 3 次游戏中获奖次数 X 的分布列.(用数字作答)

19. (本题 16 分) 已知数列 ?an ? 满足 a n ?1 ?

1 2 n an ? an ? 1 ( n ? N * ) ,且 a1 ? 3 . 2 2

(1) 计算 a 2 , a3 , a 4 的值,由此猜想数列 ?an ? 的通项公式,并给出证明; (2)求证:当 n ? 2 时, an ? 4n n .
n

20. (本题 16 分)

1 1 设 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? 2ax . 3 2 ?2 ? (1)若 f ? x ? 在区间 ? , ?? ? 上单调递减,求 a 的取值范围; ?3 ? 16 (2)当 0 ? a ? 2 时, f ? x ? 在 ?1, 4? 上的最小值为 ? ,求 f ? x ? 在该区间上的最大值. 3

3

2015~2016 学年第二学期期中考试三校联考 高 二 年级 数学 试卷(答案与评分标准) 命题学校:张家港高级中学 命题人:唐海燕 1. ?

1 2

2. ?x ? R, 使x 2 ? x ? 1 ? 0 6. cos2 ? ? cos2
2 2 2

3.220

4. 假设

1? x 1? y 两者都大于或等于 2 , y x

5.-48

? ? cos2 ? ? 2
n ?1

7.125

8. 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ......? (?1)
2

n 2 ? (?1) n ?1

n(n ? 1) 2

9.

10 10

10. (2k ? 2) ? (2k ? 3)

11. 3x ? 2 y ? 7 ? 0

12.

2 5

13.

33 81

14.305

2 ? ?m ? 2 m ? 3 ? 0 15.解; (1) ? 2 得 m ? 3 …… (答案错扣 3 分)………………….7 分 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0 2 ? ?m ? 2 m ? 3 ? 0 2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0

(2) ?

得 ? 1 ? m ? 3 ……...(答案错扣 3 分)…………….14 分

5 3 3 6 3 16.(1) A3 A6 ? 14400…..9 分 (3) A8 A6 ? 4320 …4 分 (2) A5 ? 336….14 分

(没答扣 3 分) 17. (1) n ? 10
r

(3 分)

(2) Tr ?1 ? C10 (? ) x
r

1 2

10 ? 2 r 3

r?2

T3 ?

45 4

(8 分) (通项 2 分)

(3) r ? 2,5,8

1 1 1 2 5 8 T3 ? C10 (? ) 2 x 2 , T6 ? C10 (? ) 5 , T9 ? C10 (? ) 8 x ? 2 (14 分) 2 2 2
1 C32 C 2 1 ? (5 分) 2 2 C5 C3 5

18.(1)①设“在 1 次游戏中摸到 i 个白球”事件 Ai (i ? 0,1,2,3) ,则 P( A3 ) ? ②设事件为 B, P ( B ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? (2) X 可能取值:0,1,2,3 分布列 X 0 1 P

7 …..(10 分) 10
3

2

27 1000

189 1000

441 1000

343 1000

……(16 分) 19(1) a2 ? 4, a3 ? 5, a4 ? 6

……(2 分)
4

猜想: an ? n ? 2 (n ? N * ) 证明过程如下:……(4 分) 当 n ? 1, a1 ? 3 结论成立;
* 假设当 n ? k ( k ? N ) ,结论成立,即 ak ? k ? 2

则当 n ? k ? 1 时, a k ?1 ?

1 2 1 1 1 a k ? ka k ? 1 ? (k ? 2) 2 ? k (k ? 2) ? 1 ? k ? 3 ? (k ? 1) ? 2 2 2 2 2
……( 10 分)

即当 n ? k ? 1 时,结论也成立。 综上,数列的通项为 an ? n ? 2 (n ? N * ) (2) 证明:原不等式等价于 (1 ? 显然,当 n ? 2 时,等号成立; 当 n ? 2 时, (1 ?

2 n ) ? 4(n ? 2, n ? N * ) n

2 n 2 0 1 2 2 2 2 n 2 n 0 1 2 2 2 2 ) = Cn ? Cn ? Cn ( ) ? .......? C n ( ) ? Cn ? Cn ( ) ? Cn ( ) ? 5? ? 4 n n n n n n n
n

综上所述,当 n ? 2 时, an ? 4n n 成立。

……(16 分)

?2 ? 20. (1)当 x ? ? , ?? ? 时, f ' ( x) ? ? x 2 ? x ? 2a ? 0 恒成立……(2 分) ?3 ?

2a ? x 2 ? x 恒成立,得: a ? ?
∴当 a ? ?

1 9
(6 分) ( 没等号扣 2 分)

1 ?2 ? 时, f ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递减.…… 9 ?3 ?

(2)令 f ? ? x ? ? 0 ,得两根 x1 ?

1 ? 1 ? 8a 1 ? 1 ? 8a , x2 ? 2 2 ∴ f ? x ? 在 (??, x1 ),( x2 , ??) 上单调递减,在 ( x1 ,x2 ) 上单调递增.

当 0 ? a ? 2 时,有 x1 ? 1 ? x2 ? 4 ,∴ f ? x ? 在 ?1, 4? 上的最大值为 f ? x2 ? .

27 ? 6a ? 0 ,即 f ? 4? ? f ?1? , 2 40 16 ∴ f ? x ? 在 ?1, 4? 上的最小值为 f (4) ? 8a ? ?? , 3 3
又 f ? 4? ? f ?1? ? ? 得 a ? 1, x2 ? 2 ,从而 f ? x ? 在[1,4]上的最大值为 f ? 2? ?

10 . …… 3

(16 分)

5


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