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优秀 高中数学


探究(一):演绎推理的含义

思考1:所有的金属都能够导电,铀是金 属,由此可得什么结论?
铀能够导电. 思考2:太阳系的行星都以椭圆形轨道绕 太阳运行,天王星是太阳系的行星,由 此可得什么结论? 天王星以椭圆形轨道绕太阳运行.

思考3:一切奇数都不能被2整除, (2100+1)是奇数,由此可得什么结论? (2100+1)不

能被2整除. 思考4:“由于tanx是三角函数,则tanx 是周期函数”是基于哪个一般判断而得 到的? 三角函数都是周期函数.

思考5:“若∠A与∠B是两条平行直线的 同旁内角,则∠A+∠B=180°”是基于 哪个一般判断而得到的? 两条直线平行,同旁内角互补.

思考6:“函数y=2x+2-x的图象关于y 轴对称”是基于哪个一般判断而得到的?

偶函数的图象关于y轴对称.

思考7:上述推理称为演绎推理,你能 说明演绎推理的含义吗?

从一般性的原理出发,推出某个特殊情 况下的结论,它是由一般到特殊的推理. 思考8:“所有金属都能导电,由于水 不是金属,所以水不能导电” ,这个 推理是演绎推理吗?
不是,因为“水不是金属”不是一般性前提 的特例.

探究(二):演绎推理的一般模式

思考1:考察下列两个演绎推理: (1)指数函数是单调函数,因为y=2x 是指数函数,所以y=2x是单调函数; (2)负数的绝对值等于其相反数,因为 -3<0,所以|-3|=3. 一般地,演绎推理有几段内容?每段内 容分别阐述什么问题?
有“三段”内容

第一段:已知的一般原理; 第二段:所研究的特殊情况; 第三段:根据一般原理,对特殊情况做 出判断.

思考2:演绎推理的一般模式是“三段 论”,其中第一段称为“大前提”,第 二段称为“小前提”,第三段称为“结 论”,你能列举一个用“三段论”推理 的例子吗?

思考3:如何用集合的观点理解“三段 论”? S具有性质P
M

S

集合A具有性质P 集合A中的元素具有性质P,集合M是A 的子集,集合S是M的子集,则S中的元 素也具有性质P.

思考4:考察下列推理:导数为0的点是 极值点,函数y=x3在x=0处的导数为0, 所以x=0是函数y=x3的极值点.这个推 理的形式是三段论吗?推理的结论正确 吗?为什么?

推理形式是三段论,推理的结论不正 确,因为大前提是错误的.

思考5:考察下列推理:两异面直线没有 公共点,直线l1∥l2,所以直线l1与l2没有 公共点. 这个推理的形式是三段论吗? 为什么?

推理形式不是三段论,因为小前提不是 大前提的特殊情况.

思考6:合情推理与演绎推理的主要区别 是什么? (1)推理形式:合情推理是从部分到整
体,个别到一般,特殊到特殊的推理;演绎 推理是从一般到特殊的推理.
不一定正确;演绎推理在大前提、小前提和 推理形式都正确时,得到的结论一定正确.

(2)推理结论:合情推理的结论是猜想,

(3)推理作用:合情推理是发现结论的
推理;演绎推理是证明结论的推理.

理论迁移 例1 指出下列演绎推理中的大前提, 小前提和结论: (1)三角形的内角和为180°,Rt△ABC 的内角和为180°;

大前提:三角形的内角和为180°; 小前提:Rt△ABC是三角形; 结论:Rt△ABC的内角和为180°.

(2)不能被2整除的数是奇数,13是 奇数; 大前提:不能被2整除的数是奇数; 小前提:13不能被2整除; 结论:13是奇数. (3)菱形的对角线互相平分; 大前提:平行四边形的对角线互相平分 小前提:菱形是平行四边形; 结论:菱形的对角线互相平分.

(4)通项公式为an=3n+2的数列{an} 是等差数列. 大前提:通项公式为an=pn+q的数列 {an}是等差数列; 小前提:数列{an}的通项公式为 an=3n+2; 结论:数列{an}是等差数列.

例2 如图,在锐角三角形ABC中, AD⊥BC,BE⊥AC,D,E是垂足,求证: AB的中点M到点D,E的距离相等.
C D E

A

M

B

例3 证明函数f(x)=-x2+2x在 (-∞,1)内是增函数.

例题2、3作用:对于证明题,很多同 学会写证明过程,但是不一定清楚证明 的逻辑原则,因此在表述过程中,显得 随心所欲,杂乱无章,通过这两个例题, 我们应当明确证明题推理过程的书写步 骤!

小结作业 1.在演绎推理中,大前提必须是正确 的,小前提必须是大前提的特殊情况, 否则,结论不可靠. 2.演绎推理是从一般到特殊的推理, 结论具有可靠性,是数学证明的主要形 式.演绎推理的过程,就是由一个或多个 三段论组合的逻辑分析过程.

3.应用“三段论”进行推理时,若大 前提是人们熟知的定理、公理、性质等, 在解题表述中可以省略.

作业: P84 习题2.1

A组:6. B组:1.


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