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集合与常用逻辑用语2


第一章

集合与常用逻辑用语

第 2 课时 集合的基本运算

1. ( 原创 ) 集合 M ={m∈Z| - 3<m<2} , N ={n∈Z| -1≤n ≤ 3} ,则 M∩N= ________. 2. (必修 1P17 第 13 题改编)A、B 是非空集合,定义 A×B={x|x∈A∪B,且 x ? A∩B}.若 A={x|y= x2-3x},B={y|y=3x},则 A×B=________. 3. (必修 1P10 第 4 题改编)已知全集 U={-2,-1,0,1,2},集合 A= ? ? 2 ? ? ?x|x= ,x、n∈Z?,则?UA=________. n-1 ? ? ? ? 4. (必修 1P14 第 8 题改编)设集合 U={1,2,3,4,5},A={1,2,3},B ={2,3,4},则?U(A∩B)=________ . 5. (必修 1P17 第 6 题改编)已知 A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+1=0,a ∈A},则 A∩B=B 时,a=________. 1. 集合的运算 (1) 交集: 由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的交 集,记作 A∩B,即 A∩B={x|x∈A 且 x∈B}. (2) 并集: 由属于 A 或属于 B 的所有元素组成的集合, 叫做集合 A 与 B 的并 集,记作 A∪B,即 A∪B={x|x∈A 或 x∈B}. (3) 全集: 如果集合 S 含有我们所研究的各个集合的全部元素,那么这个集 合就可以看作一个全集, 通常用 U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子 集. (4) 补集: 集合 A 是集合 S 的一个子集, 由 S 中所有不属于 A 的元素组成的 集合叫做 A 的补集(或余集),记作?SA,即?SA={x|x∈S,但 x ? A}. 2. 常用运算性质及一些重要结论 (1) A∩A=A,A∩ ? = ? ,A∩B=B∩A; (2) A∪A=A,A∪ ? =A,A∪B=B∪A; (3) A∩(?UA)= ? ,A∪(?UA)=U; (4) A∩B=A ?则 A ? B,A∪B=A 则 B ? A; (5) ?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB),?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB). 题型 1 集合的运算 例 1 若全集 U={1, 2, 3, 4, 5, 6}, M={2, 3}, N={1, 4}, 则(?UM)∩(?UN) =________.

变式训练 若全集 U={1,2,3,4,5,6},M∩N=N,N={1,4},试求满足条件的集 合 M 的个数.

题型 2 求参数的范围 例 2 设关于 x 的不等式 x(x-a-1)<0(a∈R)的解集为 M,不等式 x2-2x- 3≤0 的解集为 N. (1) 当 a=1 时,求集合 M; (2) 若 M∪N=N,求实数 a 的取值范围.

变式训练 已知 A={x|ax-1>0},B={x|x2-3x+2>0}. (1) 若 A∩B=A,求实数 a 的取值范围; (2) 若 A∩?RB≠ ?,求实数 a 的取值范围.

题型 3 例3

集合综合题

b 已知 f(x)=x+ -3,x∈[1,2]. x (1) 当 b=2 时,求 f(x)的值域; (2) 若 b 为正实数,f(x)的最大值为 M,最小值为 m,且满足 M-m≥4,求 b 的取值范围.

变式训练 设集合 A={x|x2-2x+2m+4=0},B={x|x<0}.若 A∩B≠ ?,求实数 m 的 取值范围.

1. 设集合 A={5,log2(a+3)},集合 B={a,b}.若 A∩B={2},则 A∪B =________. 2. 已知全集 U=(-∞,3],A=[-1,2),则?UA=____. 3. 如图,已知 U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合 A={2,3,4, 5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中 阴影部分表示的集合为________.

4. 已知集合 P = {(x , y)|x + y = 0} , Q = {(x , y)|x - y = 2} ,则 Q∩P= ________. 5. 设 P 和 Q 是两个集合,定义集合 P-Q={x|x∈P,且 x ? Q},如果 P= {x|log2x<1},Q={x||x-2|<1},那么 P-Q=________. 6. 设全集 U=M∪N={1,2,3,4,5},M∩?UN={2,4},则 N=________. 7. 设全集为 R,集合 A={x|x≤3 或 x≥6},B={x|-2<x<9}. (1) 求 A∪B,(?RA)∩B; (2) 已知 C={x|a<x<a+1},若 C ? B,求实数 a 的取值范围.

8. 设全集 I=R,已知集合 M={x|(x+3) ≤0},N={x|x2+x-6=0}. (1) 求(?IM)∩N; (2) 记集合 A=(?IM)∩N,已知集合 B={x|a-1≤x≤5-a,a∈R},若 B∪A =A,求实数 a 的取值范围.
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9. 设全集 U=R,函数 f(x)=lg(|x+1|+a-1)(a<1)的定义域为 A,集合 B={x|cosπ x=1}.若(?UA)∩B 恰好有 2 个元素,求 a 的取值集合.

1. 集合的运算结果仍然是集合.进行集合运算时应当注意: (1) 勿忘对空集情形的讨论; (2) 勿忘集合中元素的互异性; (3) 对于集合 A 的补集运算,勿忘 A 必须是全集的子集; (4) 对于含参数(或待定系数)的集合问题,勿忘对所求数值进行合理取舍. 2. 在集合运算过程中应力求做到“三化” (1) 意义化:首先明确集合的元素的意义,它是怎样的类型的对象(数集、 点集,图形等)是表示函数的定义域、值域,还是表示方程或不等式的解集? (2) 具体化:具体求出相关集合中函数的定义域、值域或方程、不等式的解 集等;不能具体求出的,也应力求将相关集合转化为最简形式. (3) 直观化:借助数轴、直角坐标平面、韦恩图等将有关集合直观地表示出 来,从而借助数形结合思想解决问题.


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