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广东省普宁市第一中学2015-2016学年高二数学下学期第二次月考试题 文


普宁市第一中学 2015-2016 学年度下学第二次月考 高二文科数学
本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 注意事项: 1. 答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2. 每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮

擦 干净后,在改涂在其他答案标号。 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M={x∣x>1},集合 N={ x ∣x -2 x <0},则 M∩N 等于 A. { x∣1<x<2} B. { x∣0<x<1}
x 2

共 60 分)

C.{ x∣0<x<2} D.{ x∣x>2} 的零点分别为 x1,x2,则( )

2.设函数 f(x)=log4x﹣( ) ,g(x)=

A.x1x2=1

B.0<x1x2<1
a b

C.1<x1x2<2

D.x1x2>2
x

3.已知实数 a,b 满足 2 =3,3 =2,则函数 f(x)=a +x﹣b 的零点所在的区间是( A. (﹣2,﹣1) B. (﹣1,0) C. (0,1) D. (1,2) )



4.若某多面体的三视图(单位:cm)如图所示,则此多面体的体积是(

A.

7 3 2 3 5 3 cm B. cm C. cm 8 3 6

D.

1 3 cm 2


5.空间中,垂直于同一条直线的两条直线( A.平行 B.相交 C.异面 D.以上均有可能

6.直线 3x+4y=b 与圆 x +y ﹣2x﹣2y+1=0 相切,则 b=(

2

2


1

A.﹣2 或 12 B.2 或﹣12 C.﹣2 或﹣12

D.2 或 12 )

7.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,求直线 A1B 和平面 A1B1CD 所成的角为( A. B. C. D.

8.设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常数,i=1, 2,?,10) ,则 y1,y2,?,y10 的均值和方差分别为( A.1+a,4 B.1+a,4+a C.1,4 D.1,4+a )

9.在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E,F 分别是棱 AB,BB1 的中点,则异面直线 EF 和 BC1 所成 的角是( )

A.60° B.45° C.90° D.120° 10.若 A,B 为互斥事件,则( )

A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1 C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1 11.点 P(x,y)在直线 x+y﹣4=0 上,O 是原点,则|OP|的最小值是( A. 10 B. 2 2 C. 6 D.2 12.函数 f(x)=x ﹣x﹣2,x∈[﹣5,5],在定义域内任取一点 x0,使 f(x0)≤0 的概率是 ( A. ) B. C. D. 第 II 卷(非选择题 共 90 分)
2



注意事项:第 II 卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在“数学”答题卡指定的位置。 二.填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分。 ) 13.计算 lg 5+lg2lg5+lg2=
2



14.某研究性学习小组要进行城市空气质量调查,按地域把 48 个城市分成甲、乙、丙三组, 其中甲、乙两组的城市数分别为 8 和 24,若用分层抽样从这 48 个城市抽取 12 个进行调查, 则丙组中应抽取的城市数为 15.不等式 . .

<log381 的解集为

2

?a ? ?m, n ? N * ? m ? n? ,都有 16.对于数列 n ,若

an ? am ? t ? t为常数 ? n?m 成立,则称数列
2

?an ? 具有性质 P ?t ? .若数列 ?an ? 的通项公式为 an ? n
数 a 的取值范围是_______________.

?

a n ,且具有性质 P ?10? ,则实

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17.已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x +y +2x﹣4y﹣4=0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC, 求实数 a 的值.(10 分)
2 2

18.某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机统计了某 4 天的用电量与当天 气温. 气温(℃) 用电量(度) 14 22 12 26 8 34 6 38 )

(1)求线性回归方程; (

(2)根据(1)的回归方程估计当气温为 10℃时的用电量.

附: 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:

=



= ﹣

. (12 分)

19.如图 1,在边长为 4 的正方形 ABCD 中, E 、 F 分别为 AB 、 CD 的中点,沿 EF 将矩 形 ADFE 折起使得二面角 A ? EF ? C 的大小为 90 ? (如图 2) ,点 G 是 CD 的中点. (1)若 M 为棱 AD 上一点,且 AD ? 4MD ,求证: DE ? 平面 MFC ; (2)求二面角 E ? FG ? B 的余弦值(12 分)

????

???? ?

3

20.甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有 5 道不同的题目,其中选择题 3 道,判断题 2 道, 甲、乙两人各抽一道(不重复) . (1)甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是多少? (2)甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少?(12 分) 21.某公司是一家专做某产品国内外销售的企业, 第一批产品在上市 40 天内全部售完, 该公 司对第一批产品的销售情况进行了跟踪调查, 其调查结果如下: 图①中的折线是国内市场的 销售情况; 图②中的抛物线是国外市场的销售情况; 图③中的折线是销售利润与上市时间的 关系(国内外市场相同) ,

(1)求该公司第一批产品在国内市场的日销售量 f(t) (单位:万件) ,国外市场的日销售 量 g(t) (单位:万件)与上市时间 t(单位:天)的关系式; (2)求该公司第一批产品日销售利润 Q(t) (单位:万元)与上市时间 t(单位:天)的关 系式. (12 分)

22.已知函数 (1)判断 f(x)的奇偶性并证明; (2)若 f(x)的定义域为[α ,β ](β >α >0) ,判断 f(x)在定义域上的增减性,并加 以证明; (3)若 0<m<1,使 f(x)的值域为[logmm(β ﹣1) ,logmm(α ﹣1)]的定义域区间[α , β ](β >α >0)是否存在?若存在,求出[α ,β ],若不存在,请说明理由. (12 分)
4

普宁市勤建学校 2015-2016 学年度高一下学期期中考试 高一文科数学参考答案 一.选择题 1-5 ABBAD 二、填空题 13. 1 14. 4 15. (1,2) 6-10 DBAAD 11-12 BC

+?? 16. ?36,

三、解答题 17. 【解答】 解:圆的标准方程为(x+1)2+(y﹣2)2=9,圆心 C(﹣1,2),半径 r=3, ∵AC⊥BC, ∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d= 即 d= 即|a﹣3|=3, 解得 a=0 或 a=6. = , ,

18. 【解答】解: (1)由表可得:













∴线性回归方程为:



(2)根据回归方程:当 x=10 时,y=﹣2×10+50=30; ∴估计当气温为 10℃时的用电量为 30 度.

19. 解法一(几何法) : (1)证明: 在矩形 ADFE 中, AD ? FE ? 4 , AE ? DF ? 2 , 由 AD ? 4MD 得: MD ? 1
5

????

???? ?

又由勾股定理得: DE ? 2 5 , MF ? 5 所以: sin ?ADE ?

AE 5 MD 5 , cos ?DMF ? ? ? DE 5 MF 5

所以: ?ADE +?DMF =

?
2

,即: DE ? MF

ABCD 为正方形,二面角 A ? EF ? C 为直二面角, E 、 F 为中点
所以: CF ? 面 MFC ; 所以: CF ? DE

? DE ? CF ? 故有: ? DE ? MF ,所以, DE ? 面 MFC ?CF ? MF ? F ?
解法二(坐标法) (略) (2)以 F 为坐标原点,分别以 FD,FC,FE 为 x,y,z 轴,如图所示构建空间直角坐标系,则:

E ? 0,0,4? , F ? 0,0,0? , G ?1,1,0? , B ? 0,2,4?
??? ? ??? ? ??? ? FE ? ? 0,0,4? , FG ? ?1,1,0? , FB ? ? 0,2,4?
设面 EFG 的法向量为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) ,面 BFG 的法向量为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则有:

??

?

?? ??? ? ? ??? ? ? ?m?FE ? 0 ? ? n?FB ? 0 , ? ? ???? ? ? ?? ??? ? ?m?FG ? 0 ? ? n?FG ? 0
即: ?

?4 z1 ? 0 ?2 y2 ? 4 z2 ? 0 ,? ? x1 ? y1 ? 0 ? x2 ? y2 ? 0

故可取: m ? ?1, ?1,0? , n ? ? 2, ?2,1?

??

?

?? ? m?n 2 2 cos ? m, n ?? ?? ? ? 3 m ?n

20. 【解答】 (本小题满分 12 分) 解: (1)甲、乙两人从 5 道题中不重复各抽一道,共有 5×4=20 种抽法 记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件 A, 则事件 A 含有的基本事件数为 3×2=6?(4 分)

6



, ?(6 分)

∴甲抽到选择题,乙抽到判断题的概率是

(2)记“甲、乙二人中至少有一人抽到选择题”为事件 B, 其对立事件为“甲、乙二人都抽到判断题” ,记为事件 C, 则事件 C 含有的基本事件数为 2×1=2?(8 分) ∴ ∴ , ,?(11 分) .?(12 分)

∴甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是

21. 【解答】 解: (1)依题意,f(t)= ,

g(t)=at(t﹣40) ,∴60=20a(20﹣40) ,∴a=﹣ ∴g(t)=﹣ t +6t,0≤t≤40,
2

(2)q(t)= ∴这家公司的日销售利润 Q(t)的解析式:

Q(t)=q(t)?[f(t)+g(t)]=



22. 【解答】 解: (1)由 ∵ ∴f(x)为奇函数 ?(3 分) 得 f(x)的定义域为(﹣∞,﹣3)∪(3,+∞) ,关于原点对称.

(2)∵f(x)的定义域为[α ,β ](β >α >0) ,则[α ,β ]? (3,+∞) . 设 x1,x2∈[α ,β ],则 x1<x2,且 x1,x2>3,
7

f(x1)﹣f(x2)=

=

∵(x1﹣3) (x2+3)﹣(x1+3) (x2﹣3)=6(x1﹣x2)<0, ∴(x1﹣3) (x2+3)<(x1+3) (x2﹣3) 即 ,

∴当 0<m<1 时,logm

,即 f(x1)>f(x2) ;

当 m>1 时,logm

,即 f(x1)<f(x2) , ?

故当 0<m<1 时,f(x)为减函数;m>1 时,f(x)为增函数. (7 分) (3)由(1)得,当 0<m<1 时,f(x)在[α ,β ]为递减函数, ∴若存在定义域[α ,β ](β >α >0) ,使值域为[logmm(β ﹣1) ,logmm(α ﹣1)],

则有

?(9 分)



∴α ,β 是方程 解得当 时,[α ,

的两个解?(10 分)

β ]= 当 时,方程组无解,即[α ,β ]不存在.



?(12 分)

8


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