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高中数学“概率”教学研究


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专题讲座
高中数学“概率”教学研究

一、整体把握高中“概率”教学内容 随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客 观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法, 同时为统计学的发展提供了理论基础. 因 此,统计与概率的基础知识已经

成为一个未来公民的必备常识. 高中数学“概率”位于必修三和选修 2-3(理科限选).主要知识如下: (一)概率知识结构图

课标要求: 必修三:

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(1)在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,进一步了解 概率的意义以及频率与概率的区别. (2)通过实例,了解两个互斥事件的概率加法公式. (3)通过实例,理解古典概型及其概率计算公式,会用列举法计算一些随机事件 所含的基本事件数及事件发生的概率. (4)了解随机数的意义,能运用模拟方法(包括计算器产生随机数来进行模拟) 估计概率,初步体会几何概型的意义. (5)通过阅读材料,了解人类认识随机现象的过程. 选修 2-3 (1) 在对具体问题的分析中, 理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念, 认识分布列对于刻画随机现象的重要性. (2)通过实例(如彩票抽奖),理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的 应用. (3)在具体情境中,了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重 复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. (4)通过实例,理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单 离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. (5)通过实际问题,借助直观(如实际问题的直方图),认识正态分布曲线的特 点及曲线所表示的意义.

(二)重点难点分析 必修三概率部分: 概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义. 高中 “概 率”,是在义务教育阶段的基础上,学习概率的某些基本性质和简单的概率模型,加深对随 机现象的理解,并学习用随机模拟的方法估计简单随机事件发生的概率.

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选修 2-3 (理科限选) 部分: 主要内容是离散型随机变量的分布列. 研究一个随机现象, 就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率, 分布列正是描述了离散型随机 变量取值的概率规律,二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型. 结合课标要求,可得如下教学的重点和难点: 重点: 从思想方法的角度:重点是对随机现象的理解,了解随机事件发生的不确定性和频率 的稳定性,从而正确理解概率的意义; 从知识技能的角度: 一是概率的统计定义; 二是古典概型以及概率的加法公式; 三是离散型随机变量的分布列,以及随机变量的数字特征——期望、方差.具体地说: 二项分布(期望、方差)和超几何分布(期望) 难点:正确理解概率的意义;几何概型;条件概率;

二、高中“概率”教与学的策略 (一)“概率的定义”的教学策略 学生在义务教育阶段已经学习过概率, (1)知道随机现象结果发生的可能性是有大小的,能对一些简单的随机现象发生的可 能性大小作出定性描述. (2)能列出随机现象所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件 发生的概率. (3)知道通过大量地重复试验,可以用频率来估计概率. 那么,学生在高中学习概率定义,与义务教育阶段的学习有何区别?重点应该强调的 是什么?主要有两点: (1)加强对随机现象的认识,
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(2)将“通过大量地重复试验,用频率来估计概率”这种直观地感性认识逐步提升到 理论的层面,学习“概率的统计定义”. 如何做到这些呢?老师首先需要提升认识: 历史上,概率源于赌博.博弈的形式多种多样,但是它们的前提是“公平”,即“机 会均等”,而这正是古典定义适用的重要条件:同等可能.16 世纪意大利数学家和赌博家 卡尔丹(1501—1576)所说的“诚实的骰子”,即道明了这一点.在卡尔丹以后约三百年的 时间里,帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面 做了重要的工作.直到 1812 年,法国数学家拉普拉斯(1749—1827)在《概率的分析理论》 中给出概率的古典定义: 事件 A 的概率等于一次试验中有利于事件 A 的可能结果数与该事件 中所有可能结果数之比. 古典定义适用的条件有二:(1)可能结果总数有限;(2)每个结果的出现有同等可 能.其中第(2)条尤其重要,它是古典概率思想产生的前提. 这就使得古典定义的方法能应用的范围很窄,同时还有一些数学上的问题(贝特朗悖 论). 1919 年,德国数学家冯.米塞斯(1883—1953)在《概率论基础研究》一书中提出了概 率的统计定义:在做大量重复试验时,随着试验次数 n 的增加,某个事件出现的频率 m/n 总是在一个固定数值 p 的附近摆动, 显示出一定的稳定性, 把这个固定的数值 p 定义为这一 事件的概率. 虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率,但是却给出了一个估计概率的方 法.而且,它不再需要“等可能”的条件,因此,从应用的角度来讲,它的适用范围更广.但 是从数学理论上讲,统计定义仍然是有问题的.有循环定义之嫌. 因为定义中出现了‘可能性’.这指的就是概率.(类似地在古典概率定义中通常出 现‘等可能性’).你可以设法避免这类词出现,但其本质的意义无法避免.事实上,概率 的统计定义的数学描述是(弱)贝努里大数律(老师们在大学都学过):

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它说的是:当试验次数

时,一个事件发生的频率

与某个常数 p 的偏差

大于任一个正常数 的可能性趋于零.之所以不能用这个式子中的常数 p 作为‘概 率’的定义,是因为在这个式子中已经有了‘概率’ .

也就是说:概率的概念笼统说并不难,但若深入到理论或哲学中去讨论,问题就有一 大堆.在数学上,概率的概念是用公理化的形式定义的. 即使是大学数学系的学生,由于他们大都不学‘测度论’,也无法完整地理解这种公 理体系的意义.概率的古典定义、统计定义有其时代背景和现实意义,不能因噎废食.这里 希望教师了解的是,在各种教科书中出现的‘概率统计定义’,‘古典概率定义’,‘几何概 率定义’都是一些描述性的说法,教师不应该过分地去揣摩,探究那里的用语,而应理解其 实质. 那么,我们在中学的教学中,应该如何把握概率的概念呢?“理解其实质”是指什么 呢? 我想主要应该理解以下几点: 1.“重复试验”.“重复试验”是指条件相同下的试验,严格说在现实中两次试验条 件完全相同是不可能的, 这里给出的是数学模型. 至于现实中哪些问题能用这个数学模型来 近似描述,这是另一个问题. 2.频率和概率的关系.频率反映了事件发生频繁的程度,从而可以用来度量事件发生 的可能性大小.但频率是随机的,是这 n 次试验中的频率.换另外 n 次试验,一般说,频率 将不同, 而概率是一个客观存在的常数. 因此, 人们用概率来度量事件发生的可能性. 不过, 在现实中,概率往往是不知道的,通常用频率来估计概率.恰如在现实中,一根木棒的长度 是一个客观的常数,但其值是未知的,我们是用测量值来估计其长度,不论仪器多么精确, 测得的数值都会有误差(即测量值是随机的),但总是稳定在木棒的真实长度值的附近. 3.概率反映的是多次试验中频率的稳定性.有人往往错误地以为,掷一个均匀硬币, 正面出现的概率等于二分之一,就应该两次试验中出现一次正面.掷一个均匀骰子,每掷六 次,各点都应该出现一次.否则就是不均匀.事实上,频率的稳定性反映的是大量试验中出 现的性质,其稳定性要在试验次数很多时才体现出来.对个别的几次试验,由于其随机性, 是无法预料的.

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4. 随着试验次数的增加, 频率趋于概率?请正确理解



的区别.正确的应该是:即使 n 非常大,出现频率偏离概率较大的情

形也是可能的,这是随机现象的特性.在概率的教学中,对一些学生容易产生误解的地方, 有人建议用试验的办法帮助学生理解,这当然是很好的.例如,在讨论抽签与抽取顺序无关 时,就可以用试验来模拟.但必须注意到频率偏离概率大的情形.例如,扔一百个均匀硬币, 一面出现 30 个,另一面出现 70 个,是不奇怪的.对此教师应有充分的认识. 5.结果的随机性不同于结果未知.比如,至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否成立, 但这个命题没有任何随机性. 6.用频率估计概率,一定要大量试验?实验次数多少合适?狄莫弗-拉普拉斯极限定 理给出了解答:

.(*)

其中



为标准正态分布的分布函数.

例如掷硬币的问题,若要保证有 95%的把握使正面向上的频率与其概率 0.5 之差落在 0.1 的范围内,那要抛掷多少次?根据(*)式,可以估计出 .

有人认为概率的统计定义没什么可讲的,学生有生活经验,很容易理解.从某一方面 看, 确实如此. 学生不难理解掷均匀硬币时, 出现正面的可能性是二分之一; 掷均匀骰子时, 出现各个点数的可能性都是六分之一,等等.(不过,从历史上看,人们认识到这一点是经 过了很长的一个时期的. 教科书上记载的那些历史上掷硬币的试验说明了这一点. 之所以会 做这么多的试验,就是因为人们在过去认识不到这种频率的稳定性.) 根据以上分析,我们可以确定这一节课的教学策略: 1)首先通过大量实例,体会随机事件发生的不确定性,归纳出随机事件的概念.
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2)然后再深入情境,体会随机事件的规律性. 通过发现随机事件的发生既有随机性,又存在着统计规律性,认识概率的意义.很 自然地提出问题:如何把握规律?

3)从已有的生活经验中提取信息,体会可以用(大量重复)试验的方法来估计概率. 紧紧抓住大量、重复这两个关键词,认识用大量重复试验的频率来估计事件的概率 这种方法. 4)通过数学实验,观察频率,再次体会随机性与规律性,形成概率的统计定义. 其中还可以结合历史上科学家们做抛掷硬币实验的例子,让学生在了解史实的同 时,进一步体会大量重复试验的必要性.

(二)古典概型的教学 需要明确的是古典概率是一类数学模型,并非是现实生活的确切描述.扔一个硬币, 可以看成只有两个结果:“正面向上”和“正面向下”.每个结果出现的可能性相同,从而 符合古典概率的模型. 但现实情况是, 硬币可能卡在一个缝中, 每一面既不向上也不向下. 另 外, 硬币是否均匀,也只能是近似的. 同一个现实对象可以用不同的模型来描述.例如物理上,地球有时被看成是一个质点 (在研究天体运动时), 有时被看成椭球(飞机的航程), 有时被看成平面(人在地面行走时). 在 这里同样如此.同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决.在古典概率的问题中,关键 是要给出正确的模型.一题多解所体现的恰是多个模型.下面举一个例子. 例 1.某人有 6 把钥匙,但忘记了打开房门的钥匙是哪一把.于是,他逐把不重复地试 开.若 6 把中只有 1 把能打开房门,则 (1)恰好第三次打开房门的概率是多少? (2)最多 3 次试开一定能打开房门的概率是多少? 解法 1:把 6 把钥匙分别编号,能打开房门的钥匙记为“k”.把用 6 把钥匙逐把试开 房门当作一次试验(即把 6 把钥匙全部试完,不论能否打开房门),于是每个基本事件就相 当于 6 把钥匙的一个全排列,所有基本事件的个数为 .这些结果是等可能的.

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种结果,故“恰好第三次打开

恰好第三次打开房门,即“k”排在第 3 位上,共有

房门(设为事件 A)”的概率为



最多 3 次试开一定能打开房门,即“k”排在前 3 位上,共有

种结果,故“最多

3 次试开一定能打开房门(设为事件 B)”的概率为



解法 2:由于本题中讨论的是恰好第三次打开房门的概率,所以,我们可以着眼于前三 次,把“从 6 把钥匙中选出 3 把,逐把试开房门”当作一次试验.于是,所有基本事件的个 数为 .这些结果是等可能的.

(1)

; (2)



解法 3:还可以着眼于 k 的位置.把“用 6 把钥匙逐把试开房门”当作一次试验(即把 6 把钥匙全部试完,不论能否打开房门),但只考虑第几次能打开房门,也就是考虑 k 排在 第几位,这样,就只有 6 个基本事件.

(1)

; (2)



解法 4: 仍把钥匙如前编号.我们只关注第三次(前三次)取到的钥匙.第三次取到 的钥匙显然是这 6 把钥匙之一,即,有 6 种结果.且每个结果出现的可能性都是相同的.当

第三次取到“k” 时,第三次恰好打开房门.因此,“恰好第三次打开房门”的概率为



最多 3 次试开一定能打开房门的概率为



我们希望通过这样的例子让学生很好地体会概率的古典模型、 体会概率模型的意义. 但 其中排列组合并非必要的知识. 若将问题改为:

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有 1 个黑球和 5 个白球(除颜色外它们都相同)放在一个袋中,现从中取球,取出记 录颜色后再放回.求“第 3 次取到黑球”的概率. 解:由于是有放回地抽取,所以,每次抽取都可以看做是相互独立的,故第 3 次取到

黑球的概率为



对古典概率模型的认识 在具体题目中要注意以下问题: (ⅰ)等可能性与非等可能性; (ⅱ)有序取与无序取; (ⅲ)有放回取与不放回取; (ⅳ)通过全排列的方法,更容易构造等可能事件.

(三)紧扣“等可能”,突破几何概型教学的难点 前一阵在《中学数学教学参考》上看到这样一个例子: 1.等腰 RtΔ ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M,求 AM 小于 AC 的概率 2. 等腰 RtΔ ABC 中, 过直角顶点 C 在∠ACB 内部任作一条射线 CM, 与线段 AB 交于点 M, 求 AM 小于 AC 的概率

前者的概率是

,后者的概率是

这两个看上去很相近的问题,答案为什么会不同呢?这个问题引起学生的很多的困 惑.其实,要解决它,还得回到几何概型的定义. 几何概型的定义是:对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几 何区域Ω 内随机地取一点, 该区域中每一点被取到的机会都一样; 而一个随机事件 A 的发生 则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域 D 中的点, 这里的区域可以是线段, 平面图形, 立体图形等.用这样的方法处理随机试验,称为几何概型.

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从几何概型的定义我们可以看出:解决几何概型问题的基本步骤是:(1)找出等可能 基本事件;(2)对应几何图形(所有等可能基本事件所在的区域Ω 和随机事件中等可能基 本事件所在的区域 A);(3)由区域确定测度. 第一个事件所对应的等可能基本事件应该是在线段 AB 上随机取一点, 这一点落在这个 线段上是等可能的. 第二个事件所对应的等可能基本事件应该是在直角区域内任取一条射线,显然若射线 等可能出现在直角区域内,则点 M 就不可能等可能出现在线段 AB 上. 如何确定等可能基本事件? 抓住“任意”、“随机”等词,确定等可能的基本事件空间. 贝特朗悖论: 几何概率是十九世纪末新发展起来的一门学科,使很多概率问题的解决变得简单而不 用运用微积分的知识.然而,1899 年,法国学者贝特朗提出了所谓“贝特朗悖论”,矛头 直指几何概率概念本身: 在一个圆内随机地画一条弦,它的长度大于该圆内接等边三角形边长的概率是多少? 从不同方面考虑,可得不同结果: (1) 由于对称性, 可预先指定弦的方向. 作垂直于此方向的直径, 只有交直径于 1/4 点 与 3/4 点间的弦,其长才大于内接正三角形边长.所有交点是等可能的,则所求概率为 1/2 . (2)由于对称性,可预先固定弦的一端.仅当弦与过此端点的切线的交角在 60°~ 120° 之间,其长才合乎要求.所有方向是等可能的,则所求概率为 1/3 . (3)弦被其中点位置唯一确定.只有当弦的中点落在半径缩小了一半的同心圆内,其 长才合乎要求.中点位置都是等可能的,则所求概率为 1/4. 这导致同一事件有不同概率,因此为悖论. 得到三种不同的结果,是因为在取弦时采用了不同的等可能性假设:在第一种解法中 则假定弦的中点在直径上均匀分布; 在第二种解法中假定端点在圆周上均匀分布, 而第三种

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解法中又假定弦的中点在圆内均匀分布. 这三种答案是针对三种不同的随机试验, 对于各自 的随机试验而言,它们都是正确的. 三个结果都正确!——这就是让老师和学生感到迷惑不解的原因. 这一悖论揭示了几何概率在 19 世纪刚兴盛时期存在着其逻辑基础的脆弱性, 也反映出 古典概率有着相当的局限.这也推动了 20 世纪概率论公理化工作的早日到来. 关于这个悖论有很多种讨论,在此不一一赘述.老师们只需明白的是确定“等可能基 本事件”的重要性,在解决几何概型问题时,必须找准观察角度、明确随机选择的意义、判 断好基本事件的等可能性. 如何对应几何图形? 有的问题,几何特征较为明显,能迅速找到相应的几何图形,计算其测度.但有的问 题中,找到相应的几何图形较为困难.如: 例.一家快递公司的投递员承诺在上午 9:00—10:00 之间将一份文件送到某单位. (Ⅰ)如果这家单位的接收人员在上午 9:45 离开单位,写出他在离开单位前能拿到 文件的概率; (Ⅱ)如果这家单位的接收人员将在上午 9:30—11:00 之间离开单位,那么他在离 开单位前能拿到文件的概率是多少?

解:(Ⅰ)所求事件的概率为



(Ⅱ)设 为投递员到达该单位的时间,

为接受人员离开单位的时间.

可以

看成平面中的点,试验的全部结果所构成的区域为



这是一个长方形区域,面积为



设事件

表示“接受人员在离开单位之前能拿到文件”,则事件

所构成的区域为

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面积为



这是一个几何概型,所以



即接受人员在离开单位之前能拿到文件的概率为

.

利用几何概型可以很好地给出随机模拟的思想.随机模拟的思想十分重要,老师应给 予充分的重视.这里就不多说了. (四)条件概率与事件独立性的教学 课标要求:了解. 条件概率: 对于任何两个事件 A 和 B, 在已知事件 A 发生的条件下, 事件 B 发生的概率叫做条件概 率,记作:P(B|A)

计算公式:

.

例 1.某科动物出生后活到 20 岁以上的概率为 0.7,活到 25 岁以上的概率为 0.56,求 现年为 20 岁的该科动物活到 25 岁的概率. 设 A 表示“活到 20 岁以上”,B 表示“活到 25 岁以上”,则有 P(A)= 0.7,

,所求的实际上是

= 0.8.

例 2.某电子元件厂有职工 180 人,男职工 100 人,女职工 80 人,男、女职工中非熟 练工人分别有 20 人和 5 人,现从该厂中任选一名职工,若已知被选出的是女职工,求她是 非熟练工人的概率.
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设 A 表示“任选一名职工为女职工”,B 表示“任选一名工人为非熟练工人”,则所求 就是“在 A 事件发生的条件下 B 事件发生的概率 P(B|A)”.

方法一: 公式法



, (

, 显然



.

方法二:缩小样本空间 P(B|A)= 5/80 = 1/16. 需要注意的是: 1. 条件概率中的事件 A、B,指的是任何两个事件 A 和 B(事件 A、B 不一定有包含关 系). 2. 分清“AB 同时发生”P(AB),还是“在 A 发生的条件下 B 发生” P(B|A) 事件的独立性

若事件 A 是否发生对事件 B 发生的概率没有影响,即 ( ),则称事件 A、B 相互独立.



此时,

事实上,





相互等价.

独立的直观概念并不难理解.现实中许多问题可以近似看成是相互独立的.例如,对 一组对象有放回地抽取;重复地投掷硬币或骰子;不同射手的射击等等.因此,在概率论的 研究中,我们给出的数学模型通常会根据其背景假设它满足独立的条件或不满足独立的条 件.而不是通过验证 是否成立来判断 A、B 是否独立.

(五)正确区分概率模型,准确解决概率问题

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概率可以进行运算,互斥事件和相互独立事件是概率加、乘两种运算在两个特殊概率 模型中的体现. 互斥事件:是指在同一个试验下,不可能同时发生的两个事件. 特例:对立事件——在同一试验下必有一个发生的互斥事件. 相互独立事件:在两个或多个独立实验下,一个事件是否发生对另一个事件发生的概 率没有影响. 特例:独立重复实验,将同一实验独立重复 n 次,研究同一事件发生 k 次的概率. 正确区分概率模型,有助于准确解决概率问题. 例 1.一个口袋中装有大小相同的 1 个红球,2 个黑球和 3 个白球,从口袋中一次摸出 一个球,摸出的球不再放回. (Ⅰ)连续摸球 2 次,求第一次摸出黑球,第二次摸出白球的概率; (Ⅱ)如果摸出红球,则停止摸球,求摸球次数不超过 2 次的概率. 解:(Ⅰ)古典概型 从袋中依次摸出 2 个球共有 6×5=30 种结果,第一次摸出黑球、第二次摸出白球有 2 ×3=6 种结果,

则所求概率



(Ⅱ)互斥事件有一个发生的概率.

第一次摸出红球的概率为

,第二次摸出红球的概率为

,则摸球次数不超过 2

次的概率为



例 2. 一位国王的铸币大臣在每箱 100 枚的硬币中各掺入了一枚劣币, 国王怀疑大臣作 弊,他用两种方法来检测.
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方法一:在 10 箱中各任意抽查一枚; 方法二:在 5 箱中各任意抽查两枚.

国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别记为



.则

(A)

(B)

(C)

(D)以上三种情况都有可能

答:B 解:每箱抽查可看做相互独立.考查不放回的抽样、重点考查二项分布的概率.

方法一:每箱不能选中劣币的概率均为

,故至少发现一枚劣币的概率为



方法二:每箱不能选中劣币的概率均为

,故至少发现一枚劣币的概率为

,因为

,显然

<



例 3.如图,由 M 到 N 的电路中有 4 个元件, 分别标为 T ,T ,T ,T ,电源能通过 T ,T ,

T 的概率都是

,电源能通过 T 的概率是 0.9,电

源能否通过各元件相互独立.已知 T ,T ,T 中至少有一个能通过电流的概率为 0.999.

(Ⅰ)求



(Ⅱ)求电流能在 M 与 N 之间通过的概率. 分析:本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率.

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解:记

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依次表示事件:电流能通过 中至少有一个能通过电流,

A 表示事件:

B 表示事件:电流能在 M 与 N 之间通过,

(Ⅰ)

相互独立,











(Ⅱ)



=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9=0.9891

1、概率计算中首先要明确随机事件是什么,正确识别概率类型. 2、会将复合事件的概率分解为若干个已知概率或易求概率的事件的“和”或“积”. (六)随机变量的分布列的教学 在必修课程概率的学习中,学生已经对随机事件发生的不确定性和频率的稳定性有了 一定的了解,结果的随机性和频率的稳定性是随机现象的两个最基本的特点,那么,怎样才 算把一个随机现象的规律研究清楚了?

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了解一个随机现象的规律,就是指了解这个随机现象中所有可能出现的结果及每个结 果的概率.为了在数学上处理,一个常用的做法就是:把每一个可能出现的结果都对应一个 数, 实际上是建立一个从实验结果的集合到实数集合的映射, 这就引出了离散型随机变量及 其分布列的概念. 超几何分布、二项分布、正态分布是几类特殊的分布,尽管这些分布无法覆盖各种各 样的随机现象,但他们描述了随机现象中最有用,最常见的情形,他们有助于我们对一般随 机现象的理解和讨论. 1.注重对具体分布模型的认识和应用 注意超几何分布的使用条件为不放回地抽取,二项分布的使用条件为 n 次独立重复实 验相当于有放回抽取. 二项分布:n 次独立重复试验中,事件 A 发生的次数ξ服从二项分布:

. 超几何分布:设有 N 个产品,其中有 M 个次品(M≤N),从中任取 n 个,令ξ 表示取到

的次品数,则

. k=0,1,2,?,min(M,n)

称随机变量ξ 服从超几何分布,其中 N,M,n 是分布的参数. 例如从全班任取 n 个人,取到女生的人数;从扑克牌中取 n 张,取到黑桃的张数;买 n 张彩票,中奖的张数,等等都可以用超几何分布描述. 正态分布,要从频率分布直方图到总体分布的过程,让学生明确总体分布的来源,从 而了解正态分布密度函数的意义. 在此基础上, 直观认识正态分布曲线的特点及曲线所表示 的意义. 了解正态曲线随着μ 和σ 变化而变化的特点. 并结合正态分布密度函数的解析式及 概率的性质,了解 3σ 原则. 应要求学生掌握这三种分布列的结构特点,为后继学习打好基础.不过从写分布列的 角度看,学生对各种分布列的特性知道与否,似乎都不太重要,因此我们在教学中遇到其它 分布列(单点分布、两点分布、超几何分布、泊松分布、帕斯卡分布等)时,用而不谈名称 就是了.下用具体问题进一步说明上述情况.

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例 1.某安全生产监督部门对 5 家小型煤矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格, 则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独 立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是 0.5, 整改后安检合格的概率是 0.8,计算(结果 精确到 0.01): (Ⅰ)恰好有两家煤矿必须整改的概率; (Ⅱ)平均有多少家煤矿必须整改; (Ⅲ)至少关闭一家煤矿的概率. 解:(I)每家煤矿必须整改的概率是 1—0.5,且每家煤矿是否整改是相互独立的,所

以恰好有两家煤矿必须整改的概率是



(II)由题设,必须整改的煤矿数 服从二项公布 ,即平均有 2.50 家煤矿必须整改.

,从而 的数学期望是

(III)某煤矿被关闭,即该煤矿第一次安检不合格,整改后经复查仍不合格,所以该 煤矿被关闭的概率是 ,从而该煤矿不被关闭的概率是 ,由

题意,每家煤矿是否被关闭是相互独立的,故至少关闭一家煤矿的概率是 .

例 2.A、B 两位同学各有五张卡片,现以投掷均匀硬币的形式进行游戏,当出现正面 朝上时 A 赢得 B 一张卡片,否则 B 赢得 A 一张卡片.规定掷硬币的次数达 9 次时,或在此前 某人已赢得所有卡片时游戏终止. 设 表示游戏终止时掷硬币的次数.

(1)求 的取值范围;(2)求 的数学期望 E .

分析:理解 的含义是解决本题的关键.

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解:(1)设正面出现的次数为 m,反面出现的次数为 n,则

,可得:

(2)

例 3.已知随机变量

,若

,则

=

(A)0.477 (B)0.628 (C)0.954 (D)0.977 答案:C 解:因为随机变量 服从正态分布 又 ,所以正态曲线关于直线 对称,

,所以

,所以

0.954,故选 C.

【选题目的】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键. 2.注重对期望、方差的现实意义的解读 在实际中,有许多决策问题,是用随机变量均值的大小来决策的.(从下面的例子可 以看到,均值常常是人们期望得到的值.均值被称为‘数学期望’.)

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例 4. 有两个公司欢迎你去面试求职, 设想它们各方面条件相同而且你去面试求职的可 能结果也一样:你得到年薪 4 万的可能性是 20%,得到年薪 3 万的可能性是 30%,得到年薪 2 万 5 千元的可能性是 40%,公司不雇用你的可能性是 10%.你先去一个公司面试,条件是, 一旦你决定在第一个公司工作,就不能再去第二个公司;如果你放弃了第一个公司的工作, 也不允许再返回.试问你该如何决策. 解:当公司 1 给你年薪 4 万时,你应该接受.因为公司 2 无论如何也不会提供比这更 多的年薪.当公司 1 不雇用你时,你别无选择,只能去公司 2 面试. 问题是当公司 1 给你 3 万和 2 万 5 千年薪时,你应该如何决策. 显然,当公司 1 给你的年薪比公司 2 给你的年薪低时,你应该去公司 2;当公司 1 给你 的年薪比公司 2 高时,你接受公司 1 的工作,不再去公司 2 求职.问题是公司 2 给你的年薪 是随机的,事前无法确定.如前所述,我们只能和公司 2 的平均年薪比较. 现在去公司 2 能得到的平均年薪是 .因此,

当公司 1 给你 3 万的年薪, 接受它; 若公司 1 给你 2.5 万元的年薪, 拒绝它, 去公司 2 面试. 这 个决策使你有 0.2 的概率得到 4 万,0.3 的概率得到 3 万,有 0.5 的概率去公司 2 面试得到 2.7 万的平均年薪.从而,这个决策的平均年薪为 (七)随机模拟试验 由于计算机具有高速度和大容量的特点,我们可以用计算机来模拟那些庞大而复杂的 试验,这种模拟称为随机模拟或数字模拟,是一种非常重要的方法. 先来看一个例子. 例 1(掷硬币问题)掷有一个均匀的硬币,正面向上的概率为 0.5,那么,把一个均匀 硬币掷 100 次,出现 50 次正面向上的概率是否接近 0.5? 万元.

解 出现 50 次正面的概率为



我们知道,掷一个均匀硬币,‘出现正面’的概率是 0.5.有人以为,掷 100 次应该出 现 50 次正面.为什么这件事发生的概率只有 0.08,和想象相差甚远.好像均匀硬币不应该 有这样的结果.你学过了概率的统计定义,该如何解释这一结果呢? 事实上,一个事件的概率 0.5 是指,在大量重复试验中,该事件出现的频率‘稳定’ 在 0.5(即在 0.5 附近,偏离 0.5 很大的可能性极小),并非每两次试验中出现一次.那么,

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掷 100 次均匀硬币出现 50 次正面的概率, 也应该理解为, 做大量重复试验, 即多次地掷 100 次硬币,‘出现 50 次正面’的频率应‘稳定’在 0.08. 下面是一个模拟试验结果. 1.在 excel 表格中输入“=rand()”;(产生不小于 0,小于 1 的随机数) 2.用下拉列表得到 100 个随机数(相当于做 100 次试验); 3.用 countif 函数统计其中小于 0.5 的随机数(我们规定小于 0.5 的随机数代表正面 朝上);(100 次试验中正面朝上的次数) 4.用下拉列表得到 n 组试验数据; 5.将 n 组数据中正面朝上的次数复制到另一个表格中; 6.仍用 countif 函数统计各个次数的组数; 我们看到,掷 100 个均匀硬币不一定出现 50 个正面.可以出现 54 个正面,也可以出 现 46 个正面,等等.计算在上述 n 组试验中,出现 50 个正面向上的次数的的频率.和理论 上的值 0.08 比较大小. 应该看到,对一个均匀硬币来说,掷 100 次‘出现 50 次正面’的概率虽然不大,但比 正面出现其它次数,例如出现 49 次、53 次等的概率还是大的. 在上述的模拟试验中,一共掷了 100n 次硬币,只需把上表中的 n 个数据求和,即可计 算正面出现的频率,与 0.5 作比较.说明我们的硬币是均匀的. 鼓励学生尽可能运用计算器、计算机来处理数据,进行模拟活动,更好地体会统计思 想和概率的意义.

三、学生学习目标检测分析 (一)课程标准与高考对“概率”的要求 1.事件与概率 ① 了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频 率与概率的区别.
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② 了解两个互斥事件的概率加法公式.

2.古典概型 ① 理解古典概型及其概率计算公式. ② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.

3.随机数与几何概型 ① 了解随机数的意义,能运用模拟方法估计概率. ② 了解几何概型的意义.

4.(理科限选)概率 ① 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻 画随机现象的重要性. ② 理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用. ③ 了解条件概率和两个事件相互独立的概念,理解 n 次独立重复试验的模型 及二项分布,并能解决一些简单的实际问题. ④ 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念,能计算简单离散型 随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题. ⑤ 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.

总体而言,古典概型、互斥事件、相互独立事件、随机变量的分布列(理科)是考察 的重点. 但概率的意义、随机的思想,这些是很难在一张试卷中体现出来的,需要老师们紧密 结合生活,提出相关问题,渗透在平时的教学中. 作为考试的题目,应该如何选择,下面我们选择一些例题加以说明:

(二)典型题目的检测分析
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和 . 假设两人射击是否

例 1. 甲、 乙两人各射击 1 次, 击中目标的概率分别是

击中目标相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (Ⅰ)求甲射击 4 次,至少有 1 次未击中目标的概率; ... (Ⅱ)求两人各射击 4 次,甲恰好击中目标 2 次且乙恰好击中目标 3 次的概率; (Ⅲ)假设某人连续 2 次未击中目标,则中止其射击. 问:乙恰好射击 5 次后,被 ... 中止射击的概率是多少?

解: “甲第 i 次射击,击中目标” 记 为事件

, “乙第 i 次射击, 击中目标” 为事件









(Ⅰ)设“甲连续射击 4 次,至少有 1 次未击中目标”为事件 全击中目标”.由题意,射击 4 次,相当于做 4 次独立重复试验,故

,则事件

为“4 次

.

(Ⅱ)记“甲射击 4 次,恰有 2 次击中目标”为事件 中目标”为事件 ,则

,“乙射击 4 次,恰有 3 次击



.

由于甲、乙射击相互独立,故

.

(Ⅲ)记“乙恰好射击 5 次后,被中止射击”为事件



,故

.
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【选题目的】考查独立重复试验,对立事件的概率等知识的运用.层次递进,第(Ⅲ) 综合考查学生分析问题、转化问题的能力. 例 2. 某迷宫有三个通道,进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门,系 统会随机(即等可能)为你打开一个通道,若是 1 号通道,则需要 1 小时走出迷宫;若是 2 号、3 号通道,则分别需要 2 小时、3 小时返回智能门.再次到达智能门时,系统会随机打 开一个你未到过的通道,直至走完迷宫为止.令 表示走出迷宫所需的时间. ...

(Ⅰ)求 的分布列;

(Ⅱ)求 的数学期望.

解:必须要走到 1 号门才能走出, 可能的取值为 1,3,4,6

【选题目的】考察学生对于分布列的认识,题目不难,规范解答. 例 3. 某种种子每粒发芽的概率都为 0.9,现播种了 1000 粒,对于没有发芽的种子, 每粒需再补种 1 粒,补种的种子数记为 ,则 的数学期望为

(A)100 (B)200 (C)300 (D)400 【选题目的】单纯考查学生对二项分布模型的认识.
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例 4.某同学参加 3 门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为 第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为 , (



> ),且不同课程是否取得优秀

成绩相互独立.记 为该生取得优秀成绩的课程数,其分布列为

(Ⅰ)求该生至少有 门课程取得优秀成绩的概率;

(Ⅱ)求

, 的值;

(Ⅲ)求数学期望

.

解:设事件

表示“该生第 门课程取得优秀成绩”, =1,2,3,由题意知





(Ⅰ)由于事件“该生至少有 1 门课程取得优秀成绩”与事件“ 以该生至少有 1 门课程取得优秀成绩的概率是

”是对立的,所



(Ⅱ)由题意知





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整理得







,可得





(Ⅲ)由题意知



=



=



【选题目的】考查学生对随机变量分布列的认识,却并不死板,需要学生从表中读出 相关信息.(Ⅱ)利用列方程解决概率问题,不同于直接求解,在考查概率的同时,还考查 方程的思想. 例 5. 某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研, 考察试卷中某道填空题的得分 情况.已知该题有两空,第一空答对得 3 分,答错或不答得 0 分;第二空答对得 2 分,答错 或不答得 0 分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取 1000 份试卷,其中该题的得分组成容量为 1000 的样本,统计结果如下表:

第一空得分情况 得分 人数 0 198 3 802 得分 人数

第二空得分情况 0 698 2 302

(Ⅰ) 求样本试 卷中该题

的平均分,并据此估计这个地区高三学生该题的平均分;

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(Ⅱ)这个地区的一名高三学生因故未参加考试,如果这名学生参加考试,以样本中 各种得分情况的频率(精确到 0.1)作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道 题第一空得分不低于第二空得分的概率.

(Ⅰ)据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为 3.01 分 (Ⅱ)0.94 【选题目的】是统计与概率的综合问题,第一空得分不低于第二空得分,即第一空得 3 分,或第一空、第二空均得 0 分.在用频率估计概率的思想下,考查学生将复杂问题分解为 基本概率模型的能力.

例 6.样本中共有五个个体,其值分别为 a,0,1,2,3.若该样本的平均值为 1,则 样本方差为

(A) 答案:D.

(B)

(C)

(D)2

解:由题意知

,解得

,所以样本方差为

=2,故选 D.

【选题目的】本题考查用样本的平均数、方差的计算方法,属基础题.

【互动话题】 1.如何在初中学习的基础上,提高和深化学生对概率的认识 通过设计数学试验(抛硬币、掷图钉、投骰子等)“用频率估计概率”,无论是初中 还是高中的教学都有涉及, 那这样的设计是简单重复?还是螺旋上升?高中教学的提升点在 哪里?这部分内容高中教学的重点在哪里呢?

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本话题就是围绕着这个问题的讨论展开,主要讨论以下两个问题:①高中阶段的教学 设计如何在初中教学的基础上深化学生对概率的认识?(以“用频率估计概率”的数学试验 设计为例)②高中阶段“概率”的教学,哪些内容适合设计数学试验?数学试验的类型有哪 些? 2.“概率中的随机模拟” “概率”中的哪些内容可以发挥计算机的作用促进学生的理解?本话题就是围绕这个 问题展开。 在教学和复习中,教师往往更多的是关注于几何概型题目的解答,而往往忽视了它的 一个重要的应用价值, 即它的随机模拟的思想。 利用几何概型的原理可以估计圆周率的近似 值,计算复杂图形的面积等,在教学中应注重突出随机模拟的思想。 3.“如何在概率教学中发挥学生的主动性”? 本话题从“概率章节复习题设置的一次尝试”展开,教师将出概率复习题的任务交给 了学生自己,让他们出三道概率复习题,要求从易到难三个层次,并要说明为什么选这三道 题,说明理由。学生们的表现如何呢?教师在这个过程中的作用是什么呢? 4.把握“概率”教学的重点----从“学习概率之前要不要先学排列组合”说起 不少教师对于“学习概率之前要不要先学习排列组合”心存疑惑,其实对这个问题的 思考可以从另外的角度去认识,如果概率教学的重点不在复杂的含有排列组合的概率计算 上,那么我们教学的重点是什么?本话题就是围绕这个问题的讨论展开。 5.概率与我们的生活 “生活中最重要的问题其中占大多数的实际上只是概率问题”------拉普拉斯。即概 率与数理统计在一定程度上可以预测生活中的很多事情, 说明概率在生活中无处不在, 拉普 拉斯已经把数学思想上升到生活中的哲学高度了。 在生活中,人们总是希望能够预知将来会发生什么事情,概率正是人们“预见未来, 把握现在”的愿望在数学上的体现。另一个方面,概率不仅是人们预测未来的工具,也是选 择未来的判断依据,通过过去了解未来,是人们普遍的思维方式。 本话题围绕着日常生活中人们经常探讨的“小概率事件”和“大概率事件”展开。通 过大量丰富的实例(北京市购买小汽车的比例问题、英国约克郡偶像石、华南虎事件、50
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个人中有两个人生日相同的概率等) 让学生领会如何从概率的角度来分析和解释生活中发 , 生的现象,从而认识到概率在实际生活中的重要作用。

【案例评析】 一、恰当地将数学知识的“学术形态”转化为“教育形态” 许多人之所以不喜欢学习数学,很大的程度上是因为感觉数学难、枯燥乏味.是否可 能让学习数学的过程象读小说、 听音乐一样轻松愉快、 易于接受, 同时又不丧失数学的本质? 应该说:教师的重要任务之一,就是把知识从学术形态转化为教育形态.李秋生老师 的课给了我们一个很好的示范. 本节课中,李秋生老师引用了很多生动有趣的实例:麦迪的 35 秒奇迹、杜丽奥运会再 夺金、石头——剪刀——布等,有的激动人心,百看不厌,有的耳熟能详,倍感亲切,整个 课堂生动活泼,涌动着浓浓的生命气息,散发着数学迷人的魅力;从这些事例出发,概括、 抽象出数学问题,不仅体现了数学的价值,也揭示了数学的本质. 为了让学生感受知识形成的过程,对于有的问题,我们也可以通过深入地研究教材, 追踪数学家的思维活动,将其稚化模拟,转化为可以让学生操作的活动,然后放手让学生探 索,从而达到主动建构的目的.本节课中,概率的统计定义,正是这样一种过程的体现.

启示:做到这一点,一是教师对数学深入理解;二是要借助人文精神的融合. 二、营造和谐的课堂氛围,教法灵活 整节课,老师始终面带微笑,用优美的语言,用自己对于生活的热情和对于数学的喜 爱去感染学生.传递给学生学习数学的积极态度. 不仅仅如此,李老师还综合运用了多种教学方式(如合作学习和探究学习),促进学 生主动建构.学生思维活跃,课堂气氛热烈.我们不仅能看到学生专注的眼神,更能看到学
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生会心的微笑,这样一种宽松和谐的教学氛围,使得学生学习的过程,成为一种愉快体验的 生命历程.学生的微笑和专注就是对于教学的最好的评价. 三、注重概念的形成过程,突出数学思维活动的学习 本节课中的概念看似基本、简单,但需要有一个将感性认识转化为理性认识的过程, 通过这一过程摆脱自发性概念的粗糙、 肤浅状态. 本节课在教学过程的设计上尤其注重概念 的形成过程. 每一个数学概念的形成和发展,其中都有丰富的经历,充满着人类探索的艰辛和智 慧. 这些思维成果不经自己头脑的消化是不可能吸收的. 学生固然不需要完全重复先前人们 的思维过程,但重新经历其中某些重要的过程是很有必要、很有帮助的. 李老师在概念的形成上可以说是浓墨重彩,每个概念的形成,都采用了“创设情境— —形成概念——深化理解”这样一种教学流程,引导学生充分经历概念的建构过程. 特别值得一提的有两点: 一是有效的问题情境. 本节课中,李老师运用多种手段创设情境,有实例、数学实验、数学交流??,既贴 近学生的生活经验,能充分激发学生的学习热情,更重要的是通过问题引领,使学生把握其 中所蕴含的数学本质,迅速切入主题,使得情境教学的效益最大化. 二是突出理性思维,学生深入参与课堂教学 高中的概率课与初中有何区别,本节课从一个侧面给了我们回答:突出理性思维,揭 示概念的内涵,体现了数学概念的严谨性. 比如概率的统计定义,就紧紧抓住“大量重复”这个条件,设计数学实验,让学生自 己发现并感受在此条件下频率所呈现出的规律性,从而得出可以用频率来估计概率这种方 法,把握这个概念的精髓. 整节课中,学生不仅通过实验参与教学,更是在教师创设的情境中,发现规律,解决 问题,在行为和思维上参与教学活动,是一种深层次参与. 四、恰当利用现代信息技术

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本节课的另一个特点就是多媒体设备的应用.数学实验中,随着学生汇报试验结果, 屏幕上就动态产生了各组试验频率及折线图, 还有后来累积频率的计算及折线图, 都是通过 Excel 电子表格的功能实现的.此处多媒体设备的使用,不仅迅速、准确地反映了学生实验 的结果,将更多的时间留给学生进行分析思考,同时还能够从数、形两方面观察试验结果, 有效的配合了学生的思维过程.

思考与活动
1.高中概率教学的重点是什么? 2.设计一份概率的检测试题。 3.用概率的知识分析下面的问题: 在买彩票时,有人说过去中奖的号码里某一数码,比如‘5’出现最多,‘5’是幸运号 码,应该买‘5’这个号码.也有人说某一数码,比如‘7’,在过去出现最少,由于每个数 出现的机会是一样的,因此,下次‘7’出现的机会就大了,应该买‘7’这个号码.那一种 说法正确呢? 4.听专家讲述,谈自己的教学故亊。包括教学案例、教学感受、教学思考等。用一自 身案例写出自己的教学思考。

参考资料
【相关资源】 1.“一节精彩的几何概型公开课”白玉有瑕(PDF) 2.“古典概型”和“几何概型”意义和区别的理解(PDF) 3.例谈超几何概率和伯努利概型的区别(PDF) 4.初中“用频率估计概率”的教学解析(PDF) 5.如何学好来自生活的概率(PDF) 6.强化数学思想提高解题能力(PDF)

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7.探寻“赌金分配问题”的历史解答(PDF) 8.概率论简史(PDF) 9.神奇的骰子(PDF)

【参考文献】 1.《统计与概率》严士健主编,张丹编著,高等教育出版社 2.《人人都来掷骰子——日常生活中的概率与统计》:(英)迈克尔·M·伍夫森编 著,清华大学出版社 3.《概率论与数理统计》张饴慈,首都师范大学出版社

课程简介
高中数学“概率”教学研究
【课程简介】 随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客 观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法, 同时为统计学的发展提供了理论基础. 因 此,统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识.学生在初中阶段,已经学习 过概率,知道: (1)知道随机现象结果发生的可能性是有大小的,能对一些简单的随机现象发生的可 能性大小作出定性描述. (2)能列出随机现象所有可能的结果,以及指定事件发生的所有可能结果,了解事件 发生的概率. (3)知道通过大量地重复试验,可以用频率来估计概率. 那么,学生在高中学习概率定义,与义务教育阶段的学习有何区别?重点应该强调的 是什么?本课程从以下三个方面对高中“概率”进行了阐述: 一、整体把握高中“概率”教学内容
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二、“概率”教与学的策略

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三、“概率”学生学习目标检测分析 本课程主要面向一线教师和教研员,部分优秀学生也可参照学习.课程第一部分从概 率的起源和高中概率的知识结构谈起, 分析高中概率教学的重难点; 第二部分则从教学的难 点和重点出发,针对教学中容易出现的问题,针对学生学习中容易出现的错误,从教学设计 到教学实施的各个环节,有针对性地给出建议;第三部分通过举例说明,目的在于帮助学员 学会根据检测目标,有针对性的设计评价和检测方案.

【学习要求】 通过本课程的学习,达到以下目标: 1.了解概率的起源,把握概率的核心概念、核心方法、核心知识。 2.明确高中“概率”教学的重点和难点,明确概率是研究随机现象规律的学科,能运 用概率知识解释生活现象,如天气预报中下雨的概率问题,彩票中的幸运号码等。并能设计 相应的教学方案把握重点、突破难点。 3.能根据课标要求有针对性的设计一套高中“概率”的检测试题。

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