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2016年高考全国3卷文数试题(解析版)[1]


注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页. 2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效. 4. 考试结束后,将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)设集合 A ? {0, 2, 4, 6,8,10}, B ? {4,8} ,则 ?A B =
8} (A) {4, 2, 6} (B) {0, 2, 6, 10} (C) {0, 2, 4, 6, 8, 10} (D) {0,

【答案】C 【解析】 试题分析:依据补集的定义,从集合 A ? {0,2,4,6,8,10} 中去掉集合 B ? {4,8} ,剩下的四个元 素为 0,2,6,10 ,故 C A B ? {0,2,6,10} ,故应选答案 C 。 (2)若 z ? 4 ? 3i ,则

z = |z|
4 3 + i (C) 5 5 4 3 ? i (D) 5 5

(A)1 【答案】D 【解析】

(B) ?1

试题分析:因 z ? 4 ? 3i ,则其共轭复数为 z ? 4 ? 3i ,其模为 | z |?| 4 ? 3i |? 故

4 2 ? 32 ? 5 ,

z 4 3 ? ? i ,应选答案 D 。 |z| 5 5

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(3)已知向量 BA =( (A)30° (C)60° 【答案】A

?

? 1 3 3 1 , ) , BC =( , ) ,则∠ABC= 2 2 2 2

(B)45° (D)120°

(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况,绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低 气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15℃,B 点表示四月的平均最低气温约 为 5℃.下面叙述不正确的是

(A)各月的平均最低气温都在 0℃以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 【答案】D 【解析】

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试题分析:从题设中提供的信息及图中标注的数据可以看出:深色的图案是一年十二个月中 各月份的平均最低气温,稍微浅一点颜色的图案是一年十二个月中中各月份的平均最高气温, 故结合所提供的四个选项,可以确定 D 是不正确的,因为从图中可以看出:平均最高气温高 于 20 0 C 只有 7、8 两个月份,故应选答案 D 。 (5)小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字母, 第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是

8 (A) 15
【答案】C 【解析】

1 (B) 8

1 (C) 15

1 (D) 30

试题分析:前 2 位共有 3 ? 5 ? 15 种可能,其中只有 1 种是正确的密码,因此所求概率为

P?

1 .故选 C. 15

1 (6)若 tanθ = 3 ,则 cos2θ = 4 (A) 5 ?
【答案】D 【解析】 试题分析:

1 (B) 5 ?

1 (C) 5

4 (D) 5

1 1 ? (? ) 2 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 3 ? 4 .故选 D. [zxxk.com] ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? 2 2 2 1 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? (? ) 2 5 3
3 3 3 (7)已知 a ? 2 , b ? 3 , c ? 25 ,则 4 2 1

(A)b<a<c 【答案】A 【解析】

(B) a < b <c

(C) b <c<a

(D) c<a< b

试题分析: a ? 2 ? 4 , c ? 25 ? 5 ,又函数 y ? x 在 [0, ??) 上是增函数,所以

4 3

2 3

1 3

2 3

2 3

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b ? a ? c .故选 A.
(8)执行右面的程序框图,如果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6 【答案】B

1 , BC 边上的高等于 BC , 则 sin A ? 3 (9)在 ? ABC 中 ,B= 4
3 (A) 10

?

10 (B) 10

5 (C) 5

3 10 (D) 10

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【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得, S ?ABC =

1 1 1 2 a ? a ? ac sin B ? c ? a, 2 3 2 3

∴ sin C ?

2 3 2 2 2 2 sin A ? sin( ? ? A) ? sin A , cos A ? sin A ? sin A , 3 4 3 2 2 3 3 10 ,故选 D. 10

∴ tan A ? ?3 ? sin A ?

(10)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实现画出的是某多面体的三视图,则该多面 体的表面积为

(A) 18 ? 36 5 (B) 54 ? 18 5 (C)90 (D)81 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意得,该几何体为一四棱柱,∴表面积为 [zxxk.com] (3 ? 3 ? 3 ? 6 ? 3 ? 3 5) ? 2 ? 54 ? 18 5 ,故选 B. (11)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1 内有一个体积为 V 的球.若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3, 则 V 的最大值是

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(A) 4 π (B) 【答案】B

9π 32π (C) 6π (D) 2 3

(12)已知 O 为坐标原点,[zxxk.com]F 是椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点,A,B a 2 b2

分别为 C 的左,右顶点.P 为 C 上一点,且 PF⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为 (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

【答案】A 【解析】 试题分析: 由题意得, A(? a, 0) , B (a, 0) ,根据对称性,不妨 P (?c,

b2 ) ,设 l : x ? my ? a , a

∴ M ( ? c,

a?c a?c a ( x ? a ) ,又∵直线 BM 经过 OE 中点, ) , E (0, ) ,∴直线 BM: y ? ? m m m( a ? c )



(a ? c)a a c 1 ? ? e ? ? ,故选 A. ( a ? c ) m 2m a 3
第 II 卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 (22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分

?2 x ? y ? 1 ? 0, ? (13)设 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 则 z=2x+3y–5 的最小值为______. ? x ? 1, ?
【答案】-10

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【解析】 试题分析: 可行域为一个三角形 ABC 及其内部, 其中 A(1,0), B(-1,-1), C (1,3) , 直线 z ? 2 x ? 3 y ? 5 过点 B 时取最小值-10 (14)函数 y=sin x– 3cos x 的图像可由函数 y=2sin x 的图像至少向右平移______个单位 长度得到. 【答案】 【解析】 试题分析: y ? 2sin( x ?

? 3

?
3

) ,所以至少向右平移

? [zxxk.com] 3

(15)已知直线 l: x ? 3 y ? 6 ? 0 与圆 x2+y2=12 交于 A、B 两点,过 A、B 分别作 l 的垂线 与 x 轴交于 C、D 两点,则|CD|= 【答案】3 【解析】 试题分析:由题意得: AB ? 2 12 ? ( ) 2 ? 2 3 ,因此 CD ? 2 3 cos (16)已知 f(x)为偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? e 切线方程式_____________________________. 【答案】 y ? 2 x. 【解析】 试题分析: x ? 0时, f ( x) ? e x ?1 ? x, f ?( x) ? e x ?1 ? 1, f ?(1) ? 2, y ? 2 ? 2(x ? 1) ? y ? 2 x. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分)
2 已知各项都为正数的数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? (2an ?1 ? 1)an ? 2an ?1 ? 0 .

.

6 2

?
6

? 3.

? x ?1

? x ,则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的

(I)求 a2 , a3 ;[zxxk.com] (II)求 ?an ? 的通项公式. 【答案】 (1)

1 1 1 (2) an ? n ?1 . , ; 2 4 2

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【解析】 试题分析:

(18) (本小题满分 12 分) 下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量(单位:亿吨)的折线图.

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注:年份代码 1–7 分别对应年份 2008–2014. (Ⅰ)由折线图看出,可用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系,请用相关系数加以说明; (Ⅱ)建立 y 关于 t 的回归方程(系数精确到 0.01) ,预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量. 附注: 参考数据:

? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1

7

7

? ( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 , 7≈2.646.

参考公式: r ?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t ) ? (y
2 i ?1 i i ?1

n

n


2

i

? y)

回归方程 y ? a ? bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:

?

?

?

? b?

? (t ? t )( y ? y )
i ?1 i i

n

? (t ? t )
i ?1 i

n

? ? ? , a =y ? bt .

2

【答案】 (1)可用线性回归模型拟合变量 y 与 t 的关系.(2)我们可以预测 2016 年我国生活 垃圾无害化处理 1.83 亿吨. 【解析】 试题分析: (1)变量 y 与 t 的相关系数

r?

? (ti ? t )( yi ? y )
i ?1

7

? (t ? t ) ? ? ( y ? y )
2 i ?1 i i ?1 i
7 7

7

7

?
2

7? ti yi ? ? ti ? ? yi
i ?1 i ?1 i ?1

7

7

7

7?
7

? (t ? t )
i ?1 i

7

2

?
7

?( y ? y)
i ?1 i

7


2



? ti ? 28 , ? yi ? 9.32 , ? ti yi ? 40.17 ,
i ?1 i ?1 i ?1

? (t ? t )
i ?1 i

2

? 2 7 ? 5.292 ,

? ( y ? y)
i ?1 i

7

2

? 0.55 ,

7 ? 40.17 ? 28 ? 9.32 ? 0.99 , 7 ? 5.292 ? 0.55 故可用线性回归模型拟合变量 y 与 t 的关系.
所以 r ?
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(2) t ? 4 , y ?
7

1 7 ? yi ,所以 7 i ?1

?? b

? t y ? 7t ? y
i ?1 i i

?t
i ?1

7

2 i

? 7t 2

1 40.17 ? 7 ? 4 ? ? 9.32 7 ? ? 0.10 , 28

? ? 1 ? 9.32 ? 0.10 ? 4 ? 0.93 , ? ? y ? bx a 7

(19) (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥地面 ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M 为线段 AD 上一 点,AM=2MD,N 为 PC 的中点. (I)证明 MN∥平面 PAB; (II)求四面体 N-BCM 的体积.

【答案】 (I)见解析; (II) 【解析】

4 5 3 。

试题分析:(1)取 PB 中点 Q,连接 AQ、NQ,

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∵N 是 PC 中点,NQ//BC,且 NQ= 又 AM ?

1 BC, 2

2 2 3 1 AD ? ? BC ? BC ,且 AM // BC , 3 3 4 2

∴ QN // AM ,且 QN ? AM . ∴ AQNM 是平行四边形. ∴ MN // AQ . 又 MN ? 平面 PAB , AQ ? 平面 PAB , ∴ MN // 平面 PAB . (2)由(1) QN // 平面 ABCD. ∴ VN ? BCM ? VQ ? BCM ? ∴ VN ? BCM ?

1 1 VP ? BCM ? VP ? BCA . 2 2

1 1 1 4 5 . ? PA ? S ?ABC ? ? 4 ? 2 5 ? 2 3 6 3

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C:y =2x 的焦点为 F,平行于 x 轴的两条直线 l1,l2 分别交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 P,Q 两点. (Ⅰ)若 F 在线段 AB 上,R 是 PQ 的中点,证明 AR∥FQ; (Ⅱ)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍,求 AB 中点的轨迹方程. 【答案】 (I)见解析; (II) y ? x ? 1
2
2

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【解析】 试题分析: (Ⅰ)连接 RF,PF,

由 AP=AF,BQ=BF 及 AP//BQ,

∴AR//FQ. (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ,

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1 1 F ( , 0) ,准线为 x ? ? , 2 2 1 1 S ?PQF ? PQ ? y1 ? y2 , 2 2
设直线 AB 与 x 轴交点为 N ,

S ?ABF ?

1 FN y1 ? y2 , 2

∵ S ?PQF ? 2 S ?ABF ,∴ 2 FN ? 1 ,∴ xN ? 1 ,即 N (1, 0) . 设 AB 中点为 M ( x, y ) ,由 ?

? y12 ? 2 x1 ? 2 得 y12 ? y2 ? 2( x1 ? x2 ) , 2 y ? 2 x ? ? 2 2



y1 ? y2 y , ? x1 ? x2 x ? 1



y 1 ? ,即 y 2 ? x ? 1 . x ?1 y
2

∴ AB 中点轨迹方程为 y ? x ? 1 . (21) (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? ln x ? x ? 1 . (I)讨论 f ( x) 的单调性; (II)证明当 x ? (1, ??) 时, 1 ?

x ?1 ? x; ln x
x

(III)设 c ? 1 ,证明当 x ? (0,1) 时, 1 ? (c ? 1) x ? c .
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【答案】 (I) 【解析】 试题分析:

;(II) (III)见解析。

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请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙O 中 的中点为 P,弦 PC,PD 分别交 AB 于 E,F 两点。

(Ⅰ)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD 的大小; (Ⅱ)若 EC 的垂直平分线与 FD 的垂直平分线交于点 G,证明 OG⊥CD。

【答案】(I)60°(II)见解析 【解析】 试题分析:
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(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ( 为参数) 。以坐标原点为极点,

x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ sin(
(I)写出 C1 的普通方程和 C2 的直角坐标方程;

)=

.

(II)设点 P 在 C1 上,点 Q 在 C2 上,求∣PQ∣的最小值及此时 P 的直角坐标. 【答案】 ( I ) x ? y ? 4 ? 0;( II ) P( , ). 【解析】 试题分析:

3 1 2 2

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(24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)=∣2x-a∣+a. (I)当 a=2 时,求不等式 f(x) ≤6 的解集; (II)设函数 g(x)=∣2x-1∣.当 x∈R 时,f(x)+ g(x) ≥3,求 a 的取值范围。

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【答案】(I) 【解析】 试题分析:

;(II) a ? 2

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