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直线、圆锥曲线知识点


直线方程与圆方程
一、直线与方程 (1)直线的倾斜角 定义:x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角,取值范围是 0°≤α <180° 特别地,当直线与 x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为 0 度。 (2)直线的斜率 ① 定义: 倾斜角不是 90°的直线, 它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。 直线的斜率常用 k 表示。 k ? tan ? 。 即 斜率

反映直线与轴的倾斜程度。 当

? ? ?0? ,90? ?时, k ? 0 ;

当 ? ? 90? ,180? 时, k ? 0 ;

?

?

当 ? ? 90? 时, k 不存在。

②过两点的直线的斜率公式: k ?

y 2 ? y1 ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

注意: (1)当 x1 ? x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90°; (2)k 与 P1、P2 的顺序无关; (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得; (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标求斜率得到。 (3)直线方程 ①点斜式: y ? y1 ? k ( x ? x1 ) 直线斜率 k,且过点 ?x1 , y1 ? 注意: 当直线的斜率为 0°时, k=0,直线的方程是 y ? y1 。 当直线的斜率为 90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因直线上每一点的横坐标都 等于 x1 ,所以它的方程是 x ? x1 。 ②斜截式: y ? kx ? b ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b ③两点式: ④截矩式:

y ? y1 x ? x1 ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )直线两点 ?x1, y1 ? , ?x2 , y2 ? y2 ? y1 x2 ? x1

x y ? ?1 a b 其中直线 l 与 x 轴交于点 ( a,0) ,与 y 轴交于点 (0, b) ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别为 a , b 。

⑤一般式: Ax ? By ? C

? 0 (A,B 不全为 0)

对 1-5 直线方程形式注意: 1 2 ○各式的适用范围 ○特殊的方程如: 平行于 x 轴的直线: y ? b ( b 为常数) ; 平行于 y 轴的直线: x ? a ( a 为常数) ; (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线 具有共同性质的直线 (一)平行直线系 平行于已知直线 A0 x ? B0 y ? C0 ? 0( A0 , B0 是不全为 0 的常数) 的直线系:A0 x ? B0 y ? C ? 0(C 为常数) (二)过定点的直线系 (ⅰ)斜率为 k 的直线系: (ⅱ)过两条直线 l1 :

y ? y0 ? k ?x ? x0 ? ,直线过定点 ?x0 , y0 ? ;

A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的交点的直线系方程为

,其中直线 l 2 不在直线系中。 ?A1x ? B1 y ? C1 ? ? ??A2 x ? B2 y ? C2 ? ? 0 ( ? 为参数) (6)两直线平行与垂直 当 l1 : y ? k1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b2 时,

l1 // l 2 ? k1 ? k 2 , b1 ? b2

l1 ? l2 ? k1k 2 ? ?1

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。 (7)两条直线的交点 l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 l 2 : A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 相交

A x ? B1 y ? C1 ? 0 交点坐标即方程组 ? 1 的一组解。 ? A2 x ? B2 y ? C 2 ? 0 ?
方程组无解 ? l1 // l 2 ; 方程组有无数解 ? l1 与 l 2 重合

(8)两点间距离公式:设 A( x1 , y1 ),(x2 , y2) 是平面直角坐标系中的两个点, B 则 | AB |? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 (9)点到直线距离公式:一点 P?x0 , y0 ? 到直线 l1 : Ax ? By ? C

? 0 的距离 d ?

Ax0 ? By0 ? C A2 ? B 2

(10)两平行直线距离公式 在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。 二、圆的方程 1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。 2、圆的方程 (1)标准方程

?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 ?a, b ? ,半径为 r;

(2)一般方程 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2 当 D ? E ? 4F ? 0 时,方程表示圆,此时圆心为 ? ? D ,? E ? ,半径为 r ? 1 D 2 ? E 2 ? 4 F ? ? 2 2? ? 2

当D

2

? E 2 ? 4F ? 0 时,表示一个点; 当 D 2 ? E 2 ? 4F ? 0 时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法: 一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件 若利用圆的标准方程,需求出 a,b,r; 若利用一般方程,需要求出 D,E,F; 另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。 3、点与圆的位置关系: 点与圆的位置关系有圆内,圆上,圆外三种情况,通过点到圆心距离和半径大小比较来确定。 设圆半径为 r ,点到圆心距离为 d : 当 d ? r 时,点在圆外; 当 d ? r 时,点在圆上; 当 d ? r 时,点在圆内 4、直线与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:

(1) 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a?2 ? ? y ? b?2 ? r 2 ,圆心 C ?a, b ? 到 l 的距离为 d ? 则有 d ? r ? l与C相离 ;

Aa ? Bb ? C A2 ? B 2



d ? r ? l与C相切 ; d ? r ? l与C相交 2 2 2 (2) 设直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r ,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之 后,令其中的判别式为 ? ,则有 ? ? 0 ? l与C相切; ? ? 0 ? l与C相离 ; ? ? 0 ? l与C相交
2

注: 如果圆心的位置在原点, 可使用公式 xx0 ? yy0 ? r 去解直线与圆相切的问题, 其中 x0 , y0 表示切点坐标, r 表示半径。 5、圆与圆的位置关系: 直线与圆的位置关系有外离,相切(外切、内切) ,相交,内含五种情况,通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d ) 之间的大小比较来确定。 2 2 2 2 2 设圆 C1 : ?x ? a1 ? ? ? y ? b1 ? ? r 2 , C2 : x ? a2 ? y ? b2 ? R 两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差) ,与圆心距(d )之间的大小比较来确定。 当 d ? R ? r 时, 两圆外离,此时有公切线四条; 当 d ? R ? r 时, 两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条; 当 R ? r ? d ? R ? r 时, 两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线; 当 d ? R ? r 时, 两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线; 当 d ? R ? r 时, 两圆内含; (特别当 d ? 0 时,为同心圆) 6、过圆上一点 ( x0 , y0 ) 的切线方程: (1) 利用圆心与切点连线与切线垂直,求出圆心与切点连线的斜率,再来求解切线斜率。 2 2 设直线 l : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) , C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 , 圆 则圆心与切点连线的斜率 k ' ? ( y0 ? b) / ( x0 ? a) , 则切点斜率 k ? ?( x0 ? a) / ( y0 ? b) 2 2 (2) 设直线 l : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,圆 C : ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后, 令其中的判别式为 ? , ? ? 0 得到 k ,代入 y ? y0 ? k ( x ? x0 )

?

?

?

? ?

?

(3)① x 2 ? y 2 ? r 2 ,圆上一点为 x0,y0) ,则过此点的切线方程为 xx0 ? yy0 ? r (课本命题). ( 2 2 2 ②圆 ?x ? a? ? ? y ? b? ? r 2 ,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r (课 本命题的推广).
2

圆锥曲线
圆锥曲线——椭圆、双曲线抛物线—定义—标准方程 一、椭圆: (1)椭圆的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做椭圆的焦点,焦点间的距离叫做焦距。 注意: 2a ?| F1 F2 | 表示椭圆; 2a ?| F1 F2 | 表示线段 F1 F2 ; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹; (2)椭圆的标准方程、图象及几何性质: 中心在原点,焦点在 x 轴上 中心在原点,焦点在 y 轴上 标准方 y2 x2 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? ? 1(a ? b ? 0) 程 a2 b a2 b2 B2 图 形 P A1 y B2 O F2 B1 A2 x P A1 y F2 O F1 B1 A2x 性质:对称性、焦点、顶点、 离率、准线、焦半径等 直线与圆锥曲线的位置关系

F1





对称轴 焦 焦 点 距

A1 ( ? a,0), A2 ( a,0) A1 ( ?b,0), A2 (b,0) B1 (0,?b), B2 (0, b) B1 (0,? a ), B2 (0, a ) x 轴, y 轴;短轴为 2b ,长轴为 2a

F1 (?c,0), F2 (c,0) | F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?

F1 (0,?c), F2 (0, c)
c2 ? a2 ? b2

离心率 通 径

c (0 ? e ? 1) a (离心率越大,椭圆越扁)

2b 2 a (过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段)

3.常用结论: x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b (1)椭圆 a 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交椭圆于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 b (2)设椭圆 a 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直线交椭圆于 P, Q 两点,

则 P, Q 的坐标分别是

| PQ |?

二、双曲线: (1)双曲线的定义:平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 | F1 F2 | )的点的轨迹。 其中:两个定点叫做双曲线的焦点,焦点间的距离叫做焦距。
1 1 注意: | PF | ? | PF2 |? 2a 与 | PF2 | ? | PF |? 2a ( 2a ?| F1 F2 | )表示双曲线的一支。

2a ?| F1 F2 | 表示两条射线; 2a ?| F1 F2 | 没有轨迹;
(2)双曲线的标准方程、图象及几何性质:

中心在原点,焦点在 x 轴上 标准方程 图 形 P F1 A1

中心在原点,焦点在 y 轴上

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
y x O A2 F2

y2 x2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a2 b2
P F2 B2 O B1 F1 x

顶 焦 焦

点 点 距

A1 (?a,0), A2 (a,0)

对称轴

B1 (0,?a), B2 (0, a) x 轴, y 轴;虚轴为 2b ,实轴为 2a
F1 (0,?c), F2 (0, c)

F1 (?c,0), F2 (c,0)
| F1F2 |? 2c(c ? 0)
e?
2 2

c ? a ? b2

离心率 渐近线 通 径

c (e ? 1) a (离心率越大,开口越大)

y??

b x a
2b 2 a

y??

a x b

(3)双曲线的渐近线: x2 y2 x2 y2 x y ? 2 ?0 ? ?0 ? 2 ?1 2 2 b b ①求双曲线 a 的渐近线,可令其右边的 1 为 0,即得 a ,因式分解得到 a b 。

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?? 2 2 b b ②与双曲线 a 共渐近线的双曲线系方程是 a ; 2 2 2 (4)等轴双曲线为 x ? y ? t ,其离心率为 2
(5)常用结论: x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b (1)双曲线 a 的两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 的直线交双曲线的同一支于 A, B 两点,则 ?ABF2 的周长=
x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b (2)设双曲线 a 左、右两个焦点为 F1 , F2 ,过 F1 且垂直于对称轴的直线交双曲线于 P, Q 两

点,则 P, Q 的坐标分别是

| PQ |?

三、抛物线: (1)抛物线的定义:平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。 其中:定点为抛物线的焦点,定直线叫做准线。 抛物线的标准方程、图象及几何性质: p ? 0 焦点在

焦点在 x 轴上 开口向右 标准方程

焦点在 x 轴上, 开口向左

y 轴上,

焦点在 y 轴上,

开口向上

开口向下

y ? 2 px
2

y ? ?2 px
2

x ? 2 py
2

x 2 ? ?2 py

图 形

l
O

y P x F

P

y

l
x P

y F O x

l
P

F

O

y O F

x

l
顶 点 对称轴 焦 点 离心率 准 线 通 径 焦半径
O(0,0)

x轴
p F ( ,0 ) 2 x?? p 2
| PF |?| x 0 | ? p 2
F (? p ,0) 2 p F (0, ) 2

y轴
p F (0,? ) 2
y? p 2

e ?1
p x? 2

y??

p 2

2p
| PF |?| y 0 | ? p 2

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 1 ? k 2 ?
四、弦长公式: 其中, A, ? 分别是联立直线方程和圆锥曲线方程,消去 y 后所得关于 x 的一元二次方程 的判别式和 x 的系数 求弦长步骤:
2

? | A|

法(一)求出或设出直线与圆锥曲线方程; (2)联立两方程,消去 y,得关于 x 的一元二次方程 Ax ? Bx ? C ? 0, 设
2

B C x1 x 2 ? A, A; (3)代入弦长公式计算。 2 法 ( 二 ) 若 是 联 立 两 方 程 , 消 去 x, 得 关 于 y 的 一 元 二 次 方 程 Ay ? By ? C ? 0, 则 相 应 的 弦 长 公 式 是 :

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由韦达定理求出

x1 ? x 2 ? ?

1 1 1 ? | AB |? 1 ? ( ) 2 | y1 ? y 2 |? 1 ? ( ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? 1 ? ( ) 2 ? k k k | A| | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?
注意(1)上面用到了关系式 注意(2)求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长,再求这边上的高(点到直线的距离) ,但若三角形被过顶点 的一条线段分成两个三角形,且线段的长度为定值,求面积一般用分割法 五、弦的中点坐标的求法 法 (一) : 求出或设出直线与圆锥曲线方程; 联立两方程, (1) (2) 消去 y,得关于 x 的一元二次方程 Ax ? Bx ? C ? 0,
2

? ? y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 ? | A|和 | A|

设 A( x1 , y1 ) ,B( x2 , y 2 ) , 由韦达定理求出 再把

x1 ? x 2 ? ?

x ? x2 B x0 ? 1 A ; 设中点 M ( x0 , y0 ) , 2 ; (3) 由中点坐标公式得

x ? x0 代入直线方程求出 y ? y0 。 M ( x0 , y0 ) ,由点在曲线上,线段的中点坐标公式,过 A、B 法(二) :用点差法,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) ,中点 x ,y 两点斜率公式,列出 5 个方程,通过相减,代入等变形,求出 0 0 。
六、求离心率的常用方法: 法一,分别求出 a,c,再代入公式 法二、建立 a,b,c 满足的关系,消去 b,再化为关于 e 的方程,最后解方程求 e (求 e 时,要注意椭圆离心率取值范 围是 0﹤e﹤1,而双曲线离心率取值范围是 e﹥1)


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