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湖南省湘潭凤凰中学高中数学 2.2.1对数与对数运算(一)学案 新人教A版必修1


湖南省湘潭凤凰中学高中数学 2.2.1 对数与对数运算(一)学案 新人 教 A 版必修 1
学习目标: 1. 理解对数的概念; 2. 能够说明对数与指数的关系; 3. 掌握对数式与指数式的相互转化. 学习过程: 一、问题提出 1. 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿.如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿

)?到哪一年我国的人口数将达到 18 亿? 2. 假设 2006 年我国国民生产总值为 a 亿元,如果每年的平均增长率为 8% ,那么经过 多少年我 国的国民生产总值是 2006 年的 2 倍? 3. 上面两个实际问题归结为一个什么数学问题? 二、阅读教材 P62-63,解答下列问题: 1.对数的概念 (1)定义:一般地,如果 作 ,其中 a 叫做对数的 (2)对数与指数的互化关系 当 a>0,且 a≠1 时.如图所示:

,那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记 ,N 叫做 .

(3).下列指数式与对数式的互化中,不正确的一组是( A.10 =1 与 lg 1=0
1
0

)

B. 27

1 ? 3

1 1 1 ? 与 log 27 = ? 3 3 3
1

C.log39=2 与 9 2 =3 D.log55=1 与 5 =5 2、特殊对数 (1)完成下表指数式与对数式的转换. 题号 (1) (2) (3) (2)填空: 名称 常用对数 自然对数 记法 lg N ln N e =x 说明 以 10 为底的对数,并把 log10N 记为_____ 以 e(e=2.718 28?)为底的对数称为自然对数,并把 logeN 记为______
3

指数式 10 =1 000
3

对数式 log210=x

3、 对数的性质: 根据对数的概念,对数 logaN(a>0,且 a≠1)具有以下性质: 性质 说明 x x 当 a>0,且 a≠1 时,a >0,即 N=a >0, 零和_____没有对数,即 N>0 所以对数 logaN 只有在 N>0 时才有意义 0 ____的对数等于 0,即 loga1=0 因为 a =1,由对数的定义得 0=loga1 1 ______的对数等于 1,即 logaa=1 因为 a =a,由对数的定义得 1=logaa 4.知识检测: 1 下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. 1 (1) 53 ? 125 ; (2) 2?7 ? ; (3) 3a ? 27 ; (4) 10?2 ? 0.01 ; 128

1

(5) log 1 32 ? ?5 ;
2

(6)lg0.001= ?3 ;

(7)ln100=4.606.

2 求下列各式中 x 的值: 2 (1) log64 x ? ; (2) log x 8 ? ?6 ; 3

(3) lg x ? 4 ;

(4) ln e3 ? x .

3. 求下列各式的值. (1) lg 10000. ; (2) log 2

1 ; 16

(3) log9 27 (4) log 4 3 81 (5) log(2?

3)

(2 ? 3)

4. 探究 log a an ? ?

a loga N ? ?

小结:.

三、 当堂检测: 1. 若 log 2 x ? 3 ,则 x ? ( 2. log(
n ?1 ? n )

). A. 4 ).A. 1

B. 6 B. -1

C. 8 C. 2

D. 9 D. -2

( n ?1 ? n) = (

3. 对数式 loga ?2 (5 ? a) ? b 中,实数 a 的取值范围是( A. (??,5) B.(2,5) C. (2, ??) 4. 计算: log
2 ?1

). D. (2,3) ? (3,5)

(3 ? 2 2) ?

.

5. 若 log x ( 2 ? 1) ? ?1 ,则 x=________,若 log 2 8 ? y ,则 y=___________. 6.(1) log3 243 =____; (2) log 3 课后作业 :P64 1、2、3、4
54

625 =________; (3) 2log

2 32

? ______ .

2

2.2.1 对数与对数运算(二) 学习目标 1. 掌握对 数的运算性质,并能理解推导这些法则的依据和过程; 2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题.. 学习过程 复习引入: (1)对数定义:如果 a x ? N (a ? 0, a ?1) ,那么数 x 叫做
x

,记作

.

(2)指数式与对数式的互化: a ? N ? . loga N (3) a ? ______ 复习 2:幂的运算性质. (1) a m ? a n ? ; (2) (a m )n ? ; (3) (ab)n ? . 复习 3:根据对数的定义及对数与指数的关系解答: (1)设 log a 2 ? m , log a 3 ? n ,求 a m? n ; (2)设 log a M ? m , loga N ? n ,试利用 m 、 n 表示 log a( M · N ) . 二、阅读教材 P64-65,解答下列问题: 1、填空并证明(2)和(3) 如果 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0 ,则 (1) log a (MN ) ? _____ ? _____ ; M (2) loga (3) loga M n ? n _____ (n ? R) . ? _____ ? _____ ; N

2、用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1) log a

xy ; z2

(2) log a

x3 y
5

z

.

3、计算: (1) log5 25 ;

(2) log0.4 1 ; (3) log2 (48 ? 25 ) ;

(4)lg 9 100 .

7 (5) lg14 ? 2lg ? lg7 ? lg18 ; 3

(6)

lg 243 . lg 9

3

4、已知 lg2=0.3010,lg3=0.4771,求 lg6、lg12、lg 3 的值.

小结: 三、当堂检测 1. 下列等式成立的是( ) A. log2 (3 ? 5) ? log2 3 ? log 2 5

B. log2 (?10)2 ? 2log2 (?10)

C. log2 (3 ? 5) ? log2 3 ? log2 5 D. log2 (?5)3 ? ? log2 53 2. 如果 lgx=lga+3lgb-5lgc,那么( ). 3ab ab3 3 3 A.x=a+3b-c B. x ? C. x ? 5 D.x=a+b -c 5c c 3. 若 2lg ? y ? 2 x ? ? lg x ? lg y ,那么( ). A. y ? x B. y ? 2 x C. y ? 3x D. y ? 4 x ; (2) log 2 .
1 ? log 1 2 ? 2 2

4. 计算: (1) log9 3 ? log9 27 ? 5. 计算: lg
3 1 5 ? lg ? 5 2 3

.

课后作业: P68 1、2、3 上练习本: . 计算: lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 (1) ; lg1.2

(2) lg2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 .

4

2.2.1 对数与对数运算(三) 一、引入: 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿. ,年平均增长率 1℅,多少年后可以达到 18 亿?而计 算器和数学用表中只有自然对数和常用对数,怎样才能解决这个问题呢?

二、新授: 1、 探究: 根据对数的定义推导换底公式 log a b ?
log c b (a ? 0 , 且 a ? 1 ;c ? 0 , 且 c ? 1 ;b ? 0 ) . log c a

例 1.设 lg 2 ? a , lg 3 ? b ,试用 a 、 b 表示 log 512 .

2 . 运用换底公式推导下列结论. 1 n (1) logam bn ? loga b ; (2) log a b ? . logb a m

1 1 1 例 2. 设 a 、 b 、 c 为 正数,且 3a ? 4b ? 6c ,求证: ? ? . c a 2b

3、对数应用题 例 3 20 世纪 30 年代,查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度,就是使用测震仪衡量 地震能量的等级,地震能量越大,测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏 震级 M,其计算公式为: M ? lg A ? lg A0 ,其中 A 是被测地震的最大振幅, A0 是“标准地震”的 振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差). (1)假设在一次地震中,一个距离震中 100 千米的测震仪记录的地震最大振幅是 20,此时标准 地震的振幅是 0.001, 计算这次地震的震级(精确到 0.1) ; (2) 5 级地震给人的振感已比较明显, 计算 7.6 级地震最大振幅是 5 级地震最大振幅的多少倍? (精确到 1)

例 4.当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减,大约每经过 5730 年衰减为原来 的一半,这个时间称为“半衰期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死亡年数 t 之间的关系.回答下列问题: (1)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,
5

指出是我们所学过的何种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物死亡的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何种函数? (3)长沙马王墓女尸出土时碳 14 的余含量约占原始量的 76.7%,试推算古墓的年代?

当堂达标: 1、教材 P68.4 2、计算: log4 3 ? log9 2 ? log 1 4 32 .
2

3.我国的 GDP 年平均增长率保持为 7.3%,约多少年后我国的 GDP 在 2007 年的基础上翻两番?

作业:
1

1. 若 log7[log3(log2x) ]=0,则 x 2 =( ). A. 3 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 2 1 1 2. 已知 3a ? 5b ? m ,且 ? ? 2 ,则 m 之值为( ). a b A.15 B. 15 C.± 15 D.225 a 3. 若 3 =2,则 log38-2log36 用 a 表示为 . 4. 已知 lg2 ? 0.3010 , lg1.0718 ? 0.0301 ,则
lg 2.5 ? ; 210 ? . 5.抽气机每次抽出容器内空气的 60%,要使容器内的空气少于原来的 0.1%,则至少要抽几 次?(lg 2≈0.301 0)
1

6

§2.2.2 对数函数及其性质(1) 学习目标 1. 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对 数函数是一类重要的函数模型; 2. 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 3. 通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的性质,培养数 形结合的思想方法,学会研究函数性质的方法. 学习过程 一、问题提出 1.用清水漂洗含 1 个单位质量污垢的衣服,若每次能洗去污垢的四分之三,试写出漂洗次数 y 与残留污垢 x 的关系式. 2. y ? log 1 x (x>0)是函数吗?若是,这是什么类型的函数?
4

二、新课导学 1、 对数函数概念: 一般地, 当 a>0 且 a≠1 时, 函数________________叫做对数函数(logarithmic function),自变量是 x; 函数的定义域是____________. 2、对数函数的图象和性质 问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和方法吗? 研究方法:画出函数图象,结合图象研究函数性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 试试:同一坐标系中画出下列对数函数的图象. y ? log 2 x ; y ? log0.5 x .

(1)根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? a>1 图 象 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

0<a<1

性 质

3、 典型例题 例 1 求下列函数的定义域: (1) y ? loga x2 ; (2) y ? loga (3 ? x) ; 变式:求函数 y ? log2 (3 ? x) 的定义域. 例 2 比较大小: (1) ln 3.4, ln8.5 ; (2) log0.3 2.8, log0.3 2.7 ; 4、 动手试试 练 1. 求下列函数的定义域.

(3) log a 5.1, log a 5.9 .

7

(1) y ?

1 ; (2) y ? 3 log2 x ? 1 . log 0.2 (? x ? 6)

练 2. 比较下列各题中两个数值的大小. (1)log 2 3和 log 2 3.5 ; (2)log0.3 4和log0.2 0.7 ; (3)log0.7 1.6和 log0.7 1.8 ; (4)log 2 3和 log3 2 .

小结: 1. 对数函数的概念、图象和性质; 2. 求定义域; 3. 利用单调性比大小. 三、 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x 与 y ? log a x 的图象是(

).

1) 的值域为( 2. 函数 y ? 2 ? log 2 x ( x ≥ ). A. (2, ??) B. (??, 2) C. ? 2, ?? ?

D. ?3, ?? ?

3. 不等式的 log 4 x ? A. (2, ??) 4. 比大小: (1)log 67

1 解集是( 2

).

B. (0, 2) log

1 C. ( , ??) 2

1 D. (0, ) 2
log 2 0.8. .

7

6 ; (2)log 31.5

5. 函数 y ? log ( x-1) (3- x ) 的定义域是

四、课后作业 1. 已知下列不等式,比较正数 m、n 的大小: (1) log 3 m< log 3 n ; (2) log 0.3 m> log 0.3 n; (3) log a m> log a n (a>1)

2. 求下列函数的定义域: (1) y ? 3 log2 x ; (2) y ? log0.5 4x ? 3 .

8


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