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【创新方案】2015高考数学(文)一轮演练知能检测:第8章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程]


第一节

直线的倾斜角与斜率、直线的方程

[全盘巩固] 1.(2014· 秦皇岛模拟)直线 x+ 3y+1=0 的倾斜角是( ) π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 3 3 解析:选 D 由直线的方程得直线的斜率为 k=- ,设倾斜角为 α,则 tan α=- , 3 3 5π 所以 α= . 6 2.(2014·

杭州模拟)设 a∈R,则“a=4”是“直线 l1:ax+2y-3=0 与直线 l2:2x+y -a=0 平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2 1 -a 解析:选 C 当 a=0 时,易知两直线不平行;若 a≠0,两直线平行等价于 = ≠ ? a 2 -3 a=4,故 a=4 是两直线平行的充要条件. 3.如图所示,直线 l1、l2、l3 的斜率分别为 k1、k2、k3,则( )

A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2 C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2 解析:选 D 从图中观察可知:k2>0,k3>0,k1<0.又因为 l2、l3 的倾斜角 α2,α3 都是锐 角,且 α2>α3,所以 k2>k3.因此,k2>k3>k1. 4.直线 2x-my+1-3m=0,当 m 变动时,所有直线都通过定点( ) 1 1 ? ? A.? B.? ?-2,3? ?2,3? 1 1 ? ? C.? D.? ?2,-3? ?-2,-3? 解析:选 D 因为直线 2x-my+1-3m=0 可化为 2x+1-m(y+3)=0,令 y+3=0,得 1 1 ? 2x+1=0,即 y=-3,x=- ,因此直线 2x-my+1-3m=0 恒过定点? ?-2,-3?. 2 5.直线 l1:x+3y-7=0,l2:kx-y-2=0 与 x 轴的正半轴及 y 轴的正半轴所围成的四 边形有外接圆,则 k 的值为( ) A.-3 B.3 C .1 D.2 1 k 解析:选 B 依题意可知 l1⊥l2,又因为直线 l1 的斜率为- ,l2 的斜率为 k,所以- = 3 3 -1,解得 k=3. 6.(2014· 温州模拟)在同一平面直角坐标系中,直线 l1:ax+y+b=0 和直线 l2:bx+y +a=0 有可能是( )

A B C D 解析:选 B 直线 l1:ax+y+b=0 的斜率 k1=-a,在 y 轴上的截距为-b;直线 l2: bx+y+a=0 的斜率 k2=-b,在 y 轴上的截距为-a.在选项 A 中 l2 的斜率-b<0,而 l1 在 y 轴上截距-b>0,所以 A 不正确.同理可排除 C、D. 7.已知直线 l 的倾斜角 α 满足 3sin α=cos α,且它在 y 轴上的截距为 2,则直线 l 的方 程是____________. sin α 1 解析:因为直线 l 的倾斜角 α 满足 3sin α=cos α,所以 k=tan α= = .所以直线 l cos α 3 1 的方程为 y= x+2,即 x-3y+6=0. 3 答案:x-3y+6=0 8.已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值是________. x y x y xy xy 解析:依题意得 AB 的方程为 + =1.当 x>0,y>0 时,1= + ≥2 = ,即 3 4 3 4 12 3 3 xy≤3(当且仅当 x= ,y=2 时取等号),故 xy 的最大值为 3. 2 答案:3 1 ? 9.若三点 A(2,3),B(3,2),C? ?2,m?共线,则实数 m=________. 2-3 m-3 解析:kAB= =-1,kAC= , 1 3-2 -2 2 ∵A,B,C 三点共线,∴kAB=kAC, m-3 9 ∴ =-1,解得 m= . 1 2 -2 2 9 答案: 2 10.已知 A(1,-2),B(5,6),直线 l 经过 AB 的中点 M,且在两坐标轴上的截距相等, 求直线 l 的方程. 解:法一:设直线 l 在 x 轴,y 轴上的截距均为 a. 由题意得 M(3,2). 若 a=0,即 l 过点(0,0)和(3,2), 2 ∴直线 l 的方程为 y= x,即 2x-3y=0. 3 x y 若 a≠0,设直线 l 的方程为 + =1, a a ∵直线 l 过点(3,2), 3 2 ∴ + =1,解得 a=5, a a x y 此时直线 l 的方程为 + =1,即 x+y-5=0. 5 5 综上所述,直线 l 的方程为 2x-3y=0 或 x+y-5=0. 法二:易知 M(3,2),由题意知所求直线 l 的斜率 k 存在且 k≠0,则直线 l 的方程为 y-2 =k(x-3), 2 令 y=0,得 x=3- ;令 x=0,得 y=2-3k. k 2 2 ∴3- =2-3k,解得 k=-1 或 k= , k 3

2 ∴直线 l 的方程为 y-2=-(x-3)或 y-2= (x-3), 3 即 x+y-5=0 或 2x-3y=0. 11.设直线 l 的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R). (1)若直线 l 在两坐标轴上的截距相等,求 l 的方程; (2)若直线 l 不经过第二象限,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当直线过原点时,该直线在 x 轴和 y 轴上的截距均为 0.即 a=2,方程为 3x+y =0. 当直线不过原点,即 a≠2 时,截距存在且均不为 0, a-2 则 =a-2,即 a+1=1, a+1 ∴a=0,方程为 x+y+2=0. 综上所述,直线 l 的方程为 3x+y=0 或 x+y+2=0. (2)将直线 l 的方程化为 y=-(a+1)x+a-2, 若直线不过第二象限, ? ?-?a+1?≥0, 则? ∴a≤-1. ?a-2≤0, ? 即实数 a 的取值范围是(-∞,-1]. 12.如图所示,射线 OA,OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角,过点 P(1,0)作直线 AB 1 分别交 OA,OB 于 A,B 两点,当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y= x 上时,求直线 AB 的方 2 程.

解:由题意可得 kOA=tan 45° =1,kOB=tan(180° -30° )=- 所以直线 lOA:y=x,lOB:y=- 3 x. 3

3 , 3

设 A(m,m),B(- 3n,n), ?m- 3n m+n?. 所以 AB 的中点 C? ? ? 2 , 2 ? m+n 1 m- 3n ? ? 2 =2· 2 , 1 由点 C 在直线 y= x 上,且 A,P,B 三点共线得? 2 m-0 n-0 = ? ?m-1 - 3n-1, 所以 A( 3, 3). 又 P(1,0),所以 kAB=kAP= 3+ 3 3 = , 2 3-1

解得 m= 3,

3+ 3 所以 lAB:y= (x-1), 2 即直线 AB 的方程为(3+ 3)x-2y-3- 3=0. [冲击名校] 1. (2014· 太原模拟)已知数列{an}的通项公式为 an= 1 9 (n∈N*), 其前 n 项和 Sn= , 10 n?n+1?

x y 则直线 + =1 与坐标轴所围成三角形的面积为( ) n+1 n A.36 B.45 C.50 D.55 1 1 1 解析:选 B 由 an= ,可知 an= - , n n+1 n?n+1? 1? ?1 1? ?1 1? 1 ?1- 1 ? ∴Sn=? ?1-2?+?2-3?+?3-4?+?+?n n+1?=1-n+1, 9 1 9 又知 Sn= ,∴1- = ,即 n=9. 10 n+1 10 x y ∴直线方程为 + =1,且与坐标轴的交点为(10,0)和(0,9), 10 9 1 ∴直线与坐标轴所围成的三角形的面积为 ×10×9=45. 2 2.如图,平面直角坐标系内的正六边形 ABCDEF 的中心在原点,边长为 a,AB 平行于 x 轴,直线 l:y=kx+t(k 为常数)与正六边形交于 M,N 两点,记△OMN 的面积为 S,则关 于函数 S=f(t)的奇偶性的判断正确的是( )

A.一定是奇函数 B.一定是偶函数 C.既不是奇函数,也不是偶函数 D.奇偶性与 k 有关 解析:选 B 设点 M 关于原点的对称点为 M′,点 N 关于原点的对称点为 N′,易知 点 M′,N′在正六边形的边上.当直线 l 在某一个确定的位置时,对应有一个 t 值,那么 易得直线 M′N′的斜率仍为 k,对应的直线 M′N′在 y 轴上的截距为-t,显然△OMN 的 面积等于△OM′N′的面积,因此函数 S=f(t)一定是偶函数.


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