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2014-2015选修2-1适应性练习(五)


2013-2014 学年数学选修 2-1 适应性练习(五)
一、选择题

? x ? R,使 tan x ? 1,其中正确的是( 1. 已知命题 p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (A) ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (C) ?p:



? x ? R,使 tan x ? 1

(B) ?p: ? x ? R,使 tan x ? 1 (D) ?p:

2. 抛物线 y 2 ? 4ax(a ? 0) 的焦点坐标是( ) (A) ( a , 0) (B)(- a , 0) (C) (0, a ) (D) (0, - a ) x-1 3.已知 p: ≤0,q:4x+2x-m≤0,若 p 是 q 的充分条件,则实数 m 的取值范围是( ) x (A)m>2+ 2 (B)m≤2+ 2 (C)m≥2 (D)m≥6 4. 已知△ABC 的三个顶点为 A(3,3,2) ,B(4,-3,7) ,C(0,5,1) ,则 BC 边上的 中线长为( (A)2 5.有以下命题: ) (B)3 (C)4 (D)5

①如果向量 a, b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底,那么 a, b 的关系是不共线; ② O, A, B, C 为空间四点, 且向量 OA, OB, OC 不构成空间的一个基底, 则点 O, A, B, C 一 定共面; ③已知向量 a, b, c 是空间的一个基底,则向量 a ? b, a ? b, c 也是空间的一个基底。 其中正确的命题是( ) (A)①② (B)①③ (C)②③ (D)①②③ 6. 如图:在平行六面体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M 为 A1C1 与 B1 D1 的交点。若 AB ? a , ) AD ? b , AA 1 ? c 则下列向量中与 BM 相等的向量是( 1 1 1 1 (A) ? a ? b ? c (B) a ? b ? c 2 2 2 2 1 1 1 1 (C) ? a ? b ? c (D) a ? b ? c 2 2 2 2
D1 A1 M B1 C1

D A B

C

7. 已知△ABC 的周长为 20, 且顶点 B (0, -4), C (0, 4), 则顶点 A 的轨迹方程是 2 2 y x x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (A) (B) 36 20 20 36 x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (x≠0) ? ? 1 (x≠0) (C) (D) 6 20 20 6





8. 过抛物线 y2 = 4x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1, y1)B(x2, y2)两点,如果 x1 ? x2 =6, 那么 AB = ( )
1

(A)6

(B)8

(C)9

(D)10

9. 若直线 y ? kx ? 2 与双曲线 x 2 ? y 2 ? 6 的右支交于不同的两点,那么 k 的取值范围是 ( ) (A) (?

15 15 15 ) (B) ( 0, ) , 3 3 3

(C) (?

15 ,0 ) 3

(D) (?

15 ,?1 ) 3

10.试在抛物线 y 2 ? ?4 x 上求一点 P,使其到焦点 F 的距离与到 A?? 2,1? 的距离之和最小, 则该点坐标为 (A)? ? ( )

? 1 ? ,1? ? 4 ?

(B)? ,1?

?1 ? ?4 ?

(C) ? 2,?2 2

?

?

(D) ? 2,2 2

?

?


11. 在长方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 如果 AB=BC=1, AA 1 =2, 那么 A 到直线 A 1 C 的距离为 ( (A)

2 6 3

(B)

3 6 2

(C)

2 3 3

(D)

6 3

x2 y2 ? ? 1 的左、右焦点,过 F1 且垂直于 x 轴的直线与椭圆交 a2 b2 于 A、B 两点,若△ABF2 为正三角形,则该椭圆的离心率 e 为 ( ) 2 3 1 1 (A) (B) (C) (D) 2 3 2 3 二、填空题 13.已知 A(1,-2,11) 、B(4,2,3) 、C(x,y,15)三点共线,则 x y =___________。
12.已知点 F1、F2 分别是椭圆 14.已知当抛物线型拱桥的顶点距水面 2 米时,量得水面宽 8 米。当水面升高 1 米后,水面 宽度是________米。 15. 如果椭圆

x2 y2 ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是___________。 36 9

16.①一个命题的逆命题为真,它的否命题也一定为真;②在 ?ABC 中, “ ?B ? 60? ”是 “ ?A, ?B, ?C 三个角成等差数列”的充要条件.③ ?
2 2

?x ? 1 ?x ? y ? 3 是? 的充要条件;④ ? y ? 2 ? xy ? 2

“am <bm ”是“a<b”的充分必要条件.以上说法中,判断错误的有___________.

三、解答题
17.已知命题 p :方程

x2 y2 ? ? 1 的图象是焦点在 y 轴上的双曲线;命题 q :不等 2 ? m m ?1

2 式 4 x ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 在 x ? R 上恒成立;又 p ? q 为真, ? q 为真,求实数 m 的

取值范围.
2

18.已知椭圆 C 的两焦点分别为 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6, ⑴求椭圆 C 的标准方程; ⑵已知过点(0,2)且斜率为 1 的直线交椭圆 C 于 A 、B 两点,求线段 AB 的长度。.

?

?

?

?

19.如图,已知三棱锥 O ? ABC 的侧棱 OA,OB,OC 两两垂直, 且 OA ? 1 , OB ? OC ? 2 , E 是 OC 的中点。 (1)求异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦值; (2)求直线 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值。

20.在平面直角坐标系 x O y 中,直线 l 与抛物线 y 2 =2 x 相交于 A、B 两点。 (1)求证:命题“如果直线 l 过点 T(3,0) ,那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。

3

21.如图,棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD, PA=AD=2,BD= 2 2 . (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)求二面角 P—CD—B 余弦值的大小; (3)求点 C 到平面 PBD 的距离.

P

A

D

B

C

y

22.已知椭圆中心在原点,焦点在 y 轴上,焦距为 4, 离心率为

2 . 3

B M·

(1)求椭圆方程; (2)设椭圆在 y 轴的正半轴上的焦点为 M,又点 A 和 点 B 在椭圆上,且 M 分有向线段 AB 所成的比为 2, 求线段 AB 所在直线的方程.
A

O

x

4

高二年级理科数学选修 2-1 期末试卷 参考答案
一、选择题:
题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 B 5 C 6 A 7 B 8 B 9 D 10 A 11 C 12 D

二、填空题: 13、 2 三、解答题:
17. 解:∵方程

14、 4 2

15、

x ? 2y ? 8 ? 0

16、③④

x2 y2 ? ? 1 是焦点在 y 轴上的双曲线, 2 ? m m ?1

∴?

?2 ? m ? 0 ,即 m ? 2 .故命题 p : m ? 2 ; ??????????3 分 ?m ? 1 ? 0

∵不等式 4 x 2 ? 4(m ? 2) x ? 1 ? 0 在 x ? R 上恒成立,∴ ? ? [4(m ? 2)]2 ? 4 ? 4 ?1 ? 0 , 即 m ? 4m ? 3 ? 0 ,∴ 1 ? m ? 3 .故命题 q : 1 ? m ? 3 . ???????7 分
2

∵又 p ? q 为真, ? q 为真, ∴ p 真 q 假. ????????????9 分 即?

?m ? 2 ,此时 m ? 3 ;??12 分 ?m ? 1或m ? 3

综上所述: ?m | m ? 3?.??13 分

18、解:⑴由 F1 -2 2 , 0 、F2 2 2, 0 ,长轴长为 6 得: c ? 2

?

?

?

?

2, a ? 3 所以 b ? 1
???????????????????

2 2 ∴椭圆方程为 x ? y ? 1 9 1

5分 ⑵设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,由⑴可知椭圆方程为 ∵直线 AB 的方程为 7分 把②代入①得化简并整理得 10 x 2 ? 36 x ? 27 ? 0
5

x2 y 2 ? ? 1 ①, 9 1
???????????

y ? x?2②

∴ x1 ? x2 ? ? 18 , x1 x2 ? 27
5 10
2 又 AB ? (1 ? 12 )(18 ? 4 ? 27 ) ? 6 3 52 10 5

???????????10 分 ???????????12 分

19、解: (1)以 O 为原点, OB 、 OC 、 OA 分别为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系. 则有 A(0,0,1) 、 B(2,0,0) 、 C (0, 2,0) 、 E (0,1,0). ???????????3 分

EB ? (2,0,0) ? (0,1,0) ? (2, ?1,0), AC ? (0,2, ?1)
? ?2 2 ?? , 5 5? 5

COS< EB, AC >

???????????5 分

所以异面直线 BE 与 AC 所成角的余弦为

2 5

???????????6 分

(2)设平面 ABC 的法向量为 n1 ? ( x, y, z), 则

n1 ? AB知: n1 ? AB ? 2x ? z ? 0; n1 ? AC知: n1 ? AC ? 2 y ? z ? 0.取 n1 ? (1,1,2) ,
???8 分

则 cos ? EB, n1 ??

2 ?1 ? 0 5 6

?

30 ,???????10 分 30
30 ????12 分 30
2

故 BE 和平面 ABC 的所成角的正弦值为

20、证明: (1)解法一:设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y =2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2). 当直线 l 的钭率下存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于 A(3,

6

)



B(3,



6

)





OA ? OB ? 3 。

???????????3 分

当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为 y=k(x-3),其中 k≠0.

? y 2 ? 2x 1 2 1 2 2 得 ky -2y-6k=0,则 y1y2=-6. 又∵x1= y1 , x2= y2 , ? 2 2 ? y ? k ( x ? 3)

6

∴ OA ? OB =x1x2+y1y2=

1 ( y1 y 2 ) 2 ? y1 y 2 =3. 4

综上所述, 命题“......”是真命 题. ???????????8 分
2

解 法 二 : 设 直 线 l 的 方 程 为 my =x - 3 与 y 2 =2x 联 立 得 到 y -2my-6=0

OA ? OB =x1x2+y1y2
=(my1+3) (my2+3)+ y1y2=(m +1) y1y2+3m(y1+y2)+9=(m +1) × 3 ???8 分
2 2 2

(-6)+3m × 2m+9 =

(2)逆命题是: “设直线 l 交抛物线 y =2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB ? 3 ,那么该直线过 点 T(3,0).” ???????????????? ???10 分 该命题是假命题. 直 线 上. AB 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B(

1 ,1),此时 OA ? OB ? 3 =3, 2
T(3,0) 不 在 直 线 AB

的 方 程 为

y

=

2 3

(x+1), 而

????????????12 分
2

点评:由抛物线 y =2x 上的点 A(x1,y1)、B(x2,y2)满足 OA ? OB ? 3 ,可得 y1y2=-6。或

y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2, 可证得直线 AB 过点(-1,0),而不
过点(3,0)。 21、解:方法一:证:⑴在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2,ABCD 为正方形,因 此 BD⊥AC. ∵PA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面 PAC.

解: (2)由 PA⊥面 ABCD,知 AD 为 PD 在平面 ABCD 的射影,又 CD⊥AD, ∴CD⊥PD, 知∠PDA 为二面角 P—CD—B 的平面角. 又∵PA=AD,∴∠PDA=450 . (3)∵PA=AB=AD=2,∴PB=PD=BD= 2 2 ,设 C 到面 PBD 的距离为 d, P
7

z

A

1 1 ? S ?BCD ? PA ? ? S ?PBD ? d , 3 3 1 1 1 1 2 2 0 3 即 ? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? (2 2 ) ? sin 60 ? d ,得 d ? 3 2 3 2 3
由 VP? BCD ? VC ? PBD ,有 方法二:证: (1)建立如图所示的直角坐标系, 则 A(0,0,0) 、D(0,2,0) 、P(0,0,2).??????2 分 在 Rt△BAD 中,AD=2,BD= 2 2 , ∴AB=2.∴B(2,0,0) 、C(2,2,0) , ∴ AP ? (0,0,2), AC ? (2,2,0), BD ? (?2,2,0) ∵ BD ? AP ? 0, BD ? AC ? 0 ,即 BD ⊥ AP , BD ⊥ AC ,又 AP ∩ AC=A ,∴ BD ⊥平面 PAC. ????4 分 解: (2)由(1)得 PD ? (0,2,?2),CD ? (?2,0,0) . 设平面 PCD 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则 n1 ? PD ? 0, n1 ? CD ? 0 , 即?

?0 ? 2 y ? 2 z ? 0 ?x ? 0 ,∴ ? ?? 2 x ? 0 ? 0 ? 0 ?y ? z

故平面 PCD 的法向量可取为 n1 ? (0,1,1)

∵ PA ⊥ 平 面 量. 设

ABCD , ∴

AP ? (0,01) 为 平 面

ABCD

的 法 向

???????????7 分 二 面 角 P — CD — B 的 大 小 为

? , 依 题 意 可 得

cos? ?

n1 ? AP n1 ? AP

?

2 . ???????????9 分 2

(3)由(Ⅰ)得 PB ? (2,0,?2), PD ? (0,2,?2) ,设平面 PBD 的法向量为 n2 ? ( x, y, z) , 则 n2 ? PB ? 0, n2 ? PD ? 0 , 即 ?

?2 x ? 0 ? 2 z ? 0 , ∴ x=y=z , 故 可 取 为 ?0 ? 2 y ? 2 z ? 0

n2 ? (1,1,1) . ?????11 分

8



PC ? (2,2,?2)
n2 ? PC n2 ? 2 3 3
e?





C





PBD









d?

???????14 分

22.解: (1) c ? 2 ,

c 2 ? a 3 ,a ? 3,b ? 5 .

x2 y2 ? ?1 9 所以,所求椭圆方程为 5
(2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) , 由题意可知直线 AB 的斜率存在,设过 A,B 的直线方程为 y ? kx ? 2

? y ? kx ? 2 ? 2 9 x ? 5 y 2 ? 45 得 (9 ? 5k 2 ) x 2 ? 20kx ? 25 ? 0 则由 ?
?20k ? x1 ? x2 ? ? x2 ? ? ? 9 ? 5k 2 ? ? x ? x ? ?2 x 2 ? ?25 2 ? 1 2 9 ? 5k 2 , 故 ?
由 M 分有向线段 AB 所成的比为 2,得 x1 ? ?2 x2 ,??8 分

2(
消 x2 得

20 k 2 25 ) ? 2 9 ? 5k 9 ? 5k 2

k2 ?
解得

1 3 k ?? 3, 3

y??
所以,

3 x?2 3

9


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