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高中数学竞赛辅导讲义第十讲 直线与圆的方程


第十章
一、基础知识

直线与圆的方程

1.解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法 研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系,即如果一条曲线上 的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射,则方程叫做这 条曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。如 x2+y2=1 是以原点为圆心 的单位圆的方程。 2.求曲

线方程的一般步骤:(1)建立适当的直角坐标系;(2)写出满足条 件的点的集合;(3)用坐标表示条件,列出方程;(4)化简方程并确定未 知数的取值范围; (5)证明适合方程的解的对应点都在曲线上,且曲 线上对应点都满足方程(实际应用常省略这一步) 。 3. 直线的倾斜角和斜率: 直线向上的方向与 x 轴正方向所成的小于 1800 的正角,叫做它的倾斜角。规定平行于 x 轴的直线的倾斜角为 00,倾 斜角的正切值(如果存在的话)叫做该直线的斜率。根据直线上一点 及斜率可求直线方程。 4.直线方程的几种形式: (1)一般式:Ax+By+C=0; (2)点斜式: y-y0=k(x-x0); (3)斜截式:y=kx+b; (4)截距式: ? 式:
x a y ? 1; (5)两点 b

x ? x1 y ? y1 ; (6)法线式方程:xcosθ +ysinθ =p(其中θ 为 ? x2 ? x1 y 2 ? y1
? x ? x0 ? t cos? ? (其 ? y ? y 0 ? t sin ? ?

法线倾斜角, |p|为原点到直线的距离) ; 参数式:? (7)

中θ 为该直线倾斜角) t 的几何意义是定点 P0 x0, y0) , ( 到动点 P (x, y) 的有向线段的数量(线段的长度前添加正负号,若 P0P 方向向上则取

正,否则取负) 。 5.到角与夹角:若直线 l1, l2 的斜率分别为 k1, k2,将 l1 绕它们的交点 逆时针旋转到与 l2 重合所转过的最小正角叫 l1 到 l2 的角;1 与 l2 所成的 l 角中不超过 900 的正角叫两者的夹角。若记到角为θ ,夹角为α ,则 tanθ =
k ?k k 2 ? k1 ,tanα = 2 1 . 1 ? k1 k 2 1 ? k1 k 2

6.平行与垂直:若直线 l1 与 l2 的斜率分别为 k1, k2。且两者不重合, 则 l1//l2 的充要条件是 k1=k2;l1 ? l2 的充要条件是 k1k2=-1。 7. 两点 P1(x1, y1)与 P2(x2, y2)间的距离公式: 1P2|= ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 。 |P 8.点 P(x0, y0)到直线 l: Ax+By+C=0 的距离公式: d ?
| Ax 0 ? By 0 ? C | A2 ? B 2



9.直线系的方程:若已知两直线的方程是 l1:A1x+B1y+C1=0 与 l2: A2x+B2y+C2=0 , 则 过 l1, l2 交 点 的 直 线 方 程 为 A1x+B1y+C1+ λ (A2x+B2y+C2=0;由 l1 与 l2 组成的二次曲线方程为(A1x+B1y+C1 ) (A2x+B2y+C2)=0;与 l2 平行的直线方程为 A1x+B1y+C=0( C ? C1 ). 10. 二元一次不等式表示的平面区域, 若直线 l 方程为 Ax+By+C=0. 若 B>0,则 Ax+By+C>0 表示的区域为 l 上方的部分,Ax+By+C<0 表示的 区域为 l 下方的部分。 11.解决简单的线性规划问题的一般步骤: (1)确定各变量,并以 x 和 y 表示; (2)写出线性约束条件和线性目标函数; (3)画出满足约 束条件的可行域; (4)求出最优解。 12.圆的标准方程:圆心是点(a, b),半径为 r 的圆的标准方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2,其参数方程为 ?

? x ? a ? r cos? (θ 为参数) 。 ? y ? b ? r sin ?

13 . 圆 的 一 般 方 程 : x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 。 其 圆 心 为
1 ? D E? D 2 ? E 2 ? 4 F 。若点 P(x0, y0)为圆上一点,则过点 ? ? ,? ? ,半径为 2 ? 2 2?

P 的切线方程为
? x ? x? ? y0 ? y ? x0 x ? y 0 y ? D? 0 ? 2 ? ? E? 2 ? ? F ? 0. ? ? ? ? ? ? ?



14.根轴:到两圆的切线长相等的点的轨迹为一条直线(或它的一部 分) 这条直线叫两圆的根轴。给定如下三个不同的圆: , x2+y2+Dix+Eiy+Fi=0, i=1, 2, 3. 则 它 们 两 两 的 根 轴 方 程 分 别 为 (D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0; (D2-D3)x+(E2-E3)y+(F2-F3)=0;

(D3-D1)x+(E3-E1)y+(F3-F1)=0。不难证明这三条直线交于一点或者互相 平行,这就是著名的蒙日定理。 二、方法与例题 1.坐标系的选取:建立坐标系应讲究简单、对称,以便使方程容易化 简。 例 1 在Δ ABC 中,AB=AC,∠A=900,过 A 引中线 BD 的垂线与 BC 交于点 E,求证:∠ADB=∠CDE。 [证明] 见图 10-1,以 A 为原点,AC 所在直线为 x 轴,建立直角坐标 系。设点 B,C 坐标分别为(0,2a),(2a,0),则点 D 坐标为(a, 0) 。 直线 BD 方程为 ?
x a y ?1, 2a

①直线 BC 方程为 x+y=2a,

②设直线

BD 和 AE 的斜率分别为 k1, k2,则 k1=-2。因为 BD ? AE,所以 k1k2=-1.

1 ? 1 1 ? y ? x, 所以 k 2 ? ,所以直线 AE 方程为 y ? x ,由 ? 2 解得点 E 坐标为 2 2 ? x ? y ? 2a ?
?4 2 ? ? a, a ? 。 ?3 3 ?

所以直线 DE 斜率为 k 3 ?

2 a 3 4 a?a 3

? 2. 因为 k1+k3=0.

所以∠BDC+∠EDC=1800,即∠BDA=∠EDC。 例2 半径等于某个正三角形高的圆在这个三角形的一条边上滚动。 证

明:三角形另两条边截圆所得的弧所对的圆心角为 600。 [证明] 以 A 为原点,平行于正三角形 ABC 的边 BC 的直线为 x 轴,建

立直角坐标系见图 10-2,设⊙D 的半径等于 BC 边上的高,并且在 B 能 上能下滚动到某位置时与 AB,AC 的交点分别为 E,F,设半径为 r,则 直线 AB, 的方程分别为 y ? 3x , y ? ? 3x .设⊙D 的方程为(x-m)2+y2=r2. AC ①设点 E,F 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 y1 ? 3x1 , y2 ? ? 3x2 ,分 别代入①并消去 y 得
2 ( x1 ? m) 2 ? 3x12 ? r 2 ? 0.(x2 ? m) 2 ? 3x2 ? r 2 ? 0.

所以 x1, x2 是方程 4x2-2mx+m2-r2=0 的两根。
m ? ? x1 ? x 2 ? 2 , 由韦达定理 ? ? ? ,所以 2 2 ?x x ? m ? r ? 1 2 4 ?

|EF|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(x1-x2)2+3(x1-x2)2 =4(x1+x2)2-4x1x2=m2-(m2-r2)=r2.

所以|EF|=r。所以∠EDF=600。 2.到角公式的使用。 例 3 设双曲线 xy=1 的两支为 C1, 2, C 正Δ PQR 三顶点在此双曲线上, 求证:P,Q,R 不可能在双曲线的同一支上。 [证明] 假设 P,Q,R 在同一支上,不妨设在右侧一支 C1 上,并设 P,
1 1 1 Q,R 三点的坐标分别为 ? x1 , ?, ? x2 , ?, ? x3 , ?, 且 0<x1<x2<x3. 记∠ ? ?? ?? x1 ? ? x2 ? ? x3 ? ? ? ? ?? ?? ?

RQP=θ ,它是直线 QR 到 PQ 的角,由假设知直线 QR,PQ 的斜率分别为
1 1 1 1 ? ? x x2 x x2 1 1 , k2 ? 1 ?? . k1 ? 3 ?? x1 ? x2 x1 x 2 x3 ? x 2 x 2 x3
? 1 1 ? x1 x 2 x 2 x3 x ( x1 ? x3 ) ? 2 2 ? 0. 1 x1 x 2 x3 ? 1 1? 2 x1 x 2 x3

由到角公式 tan? ?

k 2 ? k1 ? 1 ? k1 k 2

所以θ 为钝角,与Δ PQR 为等边三角形矛盾。所以命题成立。 3.代数形式的几何意义。 例 4 求函数 f ( x) ? x 4 ? 3x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值。 [解] 因为 f ( x) ? ( x 2 ? 2) 2 ? ( x ? 3) 2 ? ( x 2 ? 1) 2 ? ( x ? 0) 2 表示动点 P(x, x2) 到两定点 A(3, 2), B(0, 1)的距离之差,见图 10-3,当 AB 延长线与抛物 线 y=x2 的交点 C 与点 P 重合时,f(x)取最大值|AB|= 10. 4.最值问题。 例 5 已 知 三 条 直 线 l1: mx-y+m=0, l2: x+my-m(m+1)=0, l3:

(m+1)x-y+m+1=0 围成Δ ABC,求 m 为何值时,Δ ABC 的面积有最大

值、最小值。 [解]记 l1, l2, l3 的方程分别为①,②,③。在①,③中取 x=-1, y=0,知 等式成立,所以 A(-1, 0)为 l1 与 l3 的交点;在②,③中取 x=0, y=m+1, 等式也成立, 所以 B(0, m+1)为 l2 与 l3 的交点。 l1, l2 斜率分别为 k1, k2, 设 若 m ? 0,则 k1?k2= m? ? ? 公式|AC|=
| ?1 ? m 2 ? m | 1? m
2

1 1? ? ? ?1 , SΔ ABC= | AC | ? | BC | ,由点到直线距离 2 ? m?

?

| m2 ? m ? 1 | m ?1
2

,|BC|=

| ?m ? 1 ? m | 1? m
2

?

1 1? m
2



所以 SΔ ABC= ?

3 1 m2 ? m ? 1 1 ? m ? 因为 2m≤m2+1, 所以 SΔ ABC≤ 。 ? ?1 ? 2 ?。 2 4 2 2 ? m ? 1? m ?1 1 2 m 1 ,所以 SΔ ABC≥ . 4 m ?1
2

又因为-m2-1≤2m,所以 ? ?
3 4

当 m=1 时, Δ ABC)max= ;当 m=-1 时, Δ ABC)min= . (S (S 5.线性规划。 例 6 设 x, y 满足不等式组 ?
?1 ? x ? y ? 4, ? y ? 2 ?| 2 x ? 3 | .

1 4

(1)求点(x, y)所在的平面区域; (2)设 a>-1,在(1)区域里,求函数 f(x,y)=y-ax 的最大值、最小值。
?1 ? x ? y ? 4, ?1 ? x ? y ? 4, ? ? [解] (1)由已知得 ? y ? 2 ? 2 x ? 3, 或 ? y ? 2 ? 3 ? 2 x, ?2 x ? 3 ? 0, ? 2 x ? 3 ? 0. ? ?

解得点(x, y)所在的平面区域如图 10-4 所示, 其中各直线方程如图所示。 AB:y=2x-5;CD:y=-2x+1;AD:x+y=1;BC:x+y=4. (2) f(x, y)是直线 l: y-ax=k 在 y 轴上的截距,直线 l 与阴影相交,因为 a>-1,所以它过顶点 C 时,f(x, y)最大,C 点坐标为(-3,7) ,于是 f(x,

y)的最大值为 3a+7. 如果-1<a≤2,则 l 通过点 A(2,-1)时,f(x, y) 最小,此时值为-2a-1;如果 a>2,则 l 通过 B(3,1)时,f(x, y)取最 小值为-3a+1. 6.参数方程的应用。 例 7 如图 10-5 所示,过原点引直线交圆 x2+(y-1)2=1 于 Q 点,在该直 线上取 P 点,使 P 到直线 y=2 的距离等于|PQ|,求 P 点的轨迹方程。 [解] 设直线 OP 的参数方程为 ?
? x ? t cos? (t 参数) 。 ? y ? t sin ?

代入已知圆的方程得 t2-t?2sinα =0. 所以 t=0 或 t=2sinα 。所以|OQ|=2|sinα |,而|OP|=t. 所以|PQ|=|t-2sinα |,而|PM|=|2-tsinα |. 所以|t-2sinα |=|2-tsinα |. 化简得 t=2 或 t=-2 或 sinα =-1. 当 t=±2 时,轨迹方程为 x2+y2=4;当 sinα =1 时,轨迹方程为 x=0. 7.与圆有关的问题。 例8 点 A,B,C 依次在直线 l 上,且 AB=ABC,过 C 作 l 的垂线,M

是这条垂线上的动点,以 A 为圆心,AB 为半径作圆,MT1 与 MT2 是这个 圆的切线,确定Δ AT1T2 垂心 的轨迹。 [解] 见图 10-6,以 A 为原点,直线 AB 为 x 轴建立坐标系,H 为 OM

与圆的交点,N 为 T1T2 与 OM 的交点,记 BC=1。 以 A 为圆心的圆方程为 x2+y2=16, 连结 OT1, 2。 OT 因为 OT2 ? MT2, 1H ? MT2, T 所以 OT2//HT1,同理 OT1//HT2,又 OT1=OT2,所以 OT1HT2 是菱形。所以

2ON=OH。 又因为 OM ? T1T2,OT1 ? MT1,所以 OT12 ? ON?OM。设点 H 坐标为(x,y) 。 点 M 坐标为(5, b),则点 N 坐标为 ? , ? ,将坐标代入 OT12 =ON?OM,再 ? ?
x y ?2 2?

由 ? 得
16 ? ? ? 16 ? 2 ?x ? ? ? y ? ? ? . 5? ? ?5?
2 2

b 5

y x

在 AB 上取点 K,使 AK= AB,所求轨迹是以 K 为圆心,AK 为半径 的圆。 例 9 已知圆 x2+y2=1 和直线 y=2x+m 相交于 A,B,且 OA,OB 与 x 轴正方向所成的角是α 和β ,见图 10-7,求证:sin(α +β )是定值。 [证明] 过 D 作 OD ? AB 于 D。 则直线 OD 的倾斜角为 所以 2? tan
? ??
2 ? ?1 ,

4 5

? ??
2

, 因为 OD ? AB,

所以 tan

? ??
2

1 ? ? 。所以 sin(? ? ? ) ? 2

4 2 ?? . 5 ?? ? ? ? 1 ? t an2 ? ? ? 2 ?

2 t an

? ??

例 10 已知⊙O 是单位圆,正方形 ABCD 的一边 AB 是⊙O 的弦,试确定 |OD|的最大值、最小值。 [解] 以单位圆的圆心为原点,AB 的中垂线为 x 轴建立直角坐标系,设 点 A,B 的坐标分别为 A(cosα ,sinα ),B(cosα ,-sinα ),由题设 |AD|=|AB|=2sinα ,这里不妨设 A 在 x 轴上方,则α ∈(0,π ).由对称 性可设点 D 在点 A 的右侧(否则将整个图形关于 y 轴作对称即可) ,从 而点 D 坐标为(cosα +2sinα ,sinα ),

所以|OD|= (cos ? ? 2 sin ? ) 2 ? sin 2 ? ? 4 sin 2 ? ? 4 sin ? cos ? ? 1
? = 2(sin 2? ? cos 2? ) ? 3 ? 3 ? 2 2 sin? 2? ? ? . ? ?
? 4?

? 因为 ? 2 2 ? 2 2 sin? 2? ? ? ? 2 2 ,所以 2 ? 1 ?| OD |? 2 ? 1. ? ?
? 4?

当 ? ? ? 时,|OD|max= 2 +1;当 ? ? ? 时,|OD|min= 2 ? 1. 例 11 当 m 变化且 m≠0 时,求证:圆(x-2m-1)2+(y-m-1)2=4m2 的圆心 在一条定直线上,并求这一系列圆的公切线的方程。 [证明] 由?
?a ? 2m ? 1, 消去 m 得 a-2b+1=0.故这些圆的圆心在直线 ?b ? m ? 1

3 8

7 8

x-2y+1=0 上 。 设 公 切 线 方 程 为 y=kx+b , 则 由 相 切 有 2|m|=
| k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b | 1? k 2

, 对 一 切

m ≠ 0

成 立 。 即

(-4k-3)m2+2(2k-1)(k+b-1)m+(k+b-1)2=0 对一切 m≠0 成立
3 ? ?k ? ? 4 , ?? 4k ? 3 ? 0, ? 所以 ? 即? 当 k 不存在时直线为 x=1。所以公切线方程 ?k ? b ? 1 ? 0, ?b ? 7 . ? 4 ?

y= ? x ? 和 x=1. 三、基础训练题 1. 已知两点 A(-3,4)和 B(3,2), 过点 P(2,-1)的直线与线段 AB 有公共点, 则该直线的倾斜角的取值范围是__________. 2.已知θ ∈[0,π ],则 y ?
3 ? cos ? 的取值范围是__________. 2 ? sin ?

3 4

7 4

3. 三条直线 2x+3y-6=0, x-y=2, 3x+y+2=0 围成一个三角形, 当点 P(x, y) 在此三角形边上或内部运动时,2x+y 的取值范围是__________.

4.若三条直线 4x+y=4, mx+y=0, 2x-3my=4 能围成三角形,则 m 的范 围是__________. 5.若λ ∈R。直线(2+λ )x-(1+λ )y-2(3+2λ )=0 与点 P(-2,2)的距离为 d, 比较大小:d__________ 4 2 . 6.一圆经过 A(4,2), B(-1,3)两点,且在两个坐标轴上的 四个截距的和 为 14,则此圆的方程为__________. 7.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射,其反射光线所在 的 直 线 与 圆 C : x2+y2-4x-4y+7=0 相 切 , 则 光 线 l 所 在 的 方 程 为 __________. 8.D2=4F 且 E≠0 是圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0 与 x 轴相切的__________条 件. 9.方程|x|-1= 1 ? ( y ? 1) 2 表示的曲线是__________. 10.已知点 M 到点 A(1,0) ,B(a,2)及到 y 轴的距离都相等,若这 样的点 M 恰好有一个,则 a 可能值的个数为__________. 11.已知函数 S=x+y,变量 x, y 满足条件 y2-2x≤0 和 2x+y≤2,试求 S 的最大值和最小值。 12.A,B 是 x 轴正半轴上两点,OA=a,OB=b(a<b),M 是 y 轴正半轴 上的动点。 (1)求∠AMB 的最大值; (2)当∠AMB 取最大值时,求 OM 长; (3)当∠AMB 取最大值时,求过 A,B,M 三点的圆的半径。

四、高考水平训练题 1.已知Δ ABC 的顶点 A(3,4),重心 G(1,1),顶点 B 在第二象限,垂心 在原点 O,则点 B 的坐标为__________. 2.把直线 3x ? y ? 2 ? 3 ? 0 绕点(-1,2)旋转 300 得到的直线方程为 __________. 3.M 是直线 l: ?
x 4 y ? 1 上一动点,过 M 作 x 轴、y 轴的垂线,垂足分别 3

为 A, 则在线段 AB 上满足 AP ? 2PB 的点 P 的轨迹方程为__________. B, 4.以相交两圆 C1:x2+y2+4x+y+1=0 及 C2:x2+y2+2x+2y+1=0 的公共弦为 直径的圆的方程为__________. 5 . 已 知

M={(x,y)|y= 2a 2 ? x 2 ,a>0},N={(x,y)|(x-1)2+(y- 3 )2=a2,a>0}.M ? N
? ? ,a

的最大值与最小值的和是__________.

6. x2+y2+x-6y+m=0 与直线 x+2y-3=0 交于 P, 两点, 为原点, ? OQ, 圆 Q O OP 则 m=__________. 7.已知对于圆 x2+(y-1)2=1 上任意一点 P(x,y),使 x+y+m≥0 恒成立, m 范围是__________. 8.当 a 为不等于 1 的任何实数时,圆 x2-2ax+y2+2(a-2)y+2=0 均与直 线 l 相切,则直线 l 的方程为__________. 9.在Δ ABC 中,三个内角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c,若 lgsinA,lgsinB, lgsinC 成等差数列,那么直线 xsin2A+ysinA=a 与直 线 xsin2B+ysinC=c 的位置关系是__________.

10.设 A={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤2},B={(x,y)|x≤10,y≥2,y≤x-4} 是坐标平面 xOy 上的点集,C= ?? ?? 围成图形的面积是__________. 11.求圆 C1:x2+y2+2x+6y+9=0 与圆 C2:x2+y2-6x+2y+1=0 的公切线方 程。 12.设集合 L={直线 l 与直线 y=2x 相交,且以交点的横坐标为斜率}。 (1)点(-2,2)到 L 中的哪条直线的距离最小? (2)设 a∈R+,点 P(-2, a)到 L 中的直线的距离的最小值设为 dmin,求 dmin 的表达式。 13.已知圆 C:x2+y2-6x-8y=0 和 x 轴交于原点 O 和定点 A,点 B 是动 点,且∠OBA=900,OB 交⊙C 于 M,AB 交⊙C 于 N。求 MN 的中点 P 的轨迹。 五、联赛一试水平训练题 1.在直角坐标系中纵横坐标都是有理数的点称为有理点。若 a 为无理 数, 过点(a,0)的所有直线中, 每条直线上至少存在两个有理点的直线有 _______条。 2.等腰Δ ABC 的底边 BC 在直线 x+y=0 上,顶点 A(2,3),如果它的一 腰平行于直线 x-4y+2=0, 则另一腰 AC 所在的直线方程为__________. 3.若方程 2mx2+(8+m2)xy+4my2+(6-m)x+(3m-4)y-3=0 表示表示条互相 垂直的直线,则 m=__________. 4.直线 x+7y-5=0 分圆 x2+y2=1 所成的两部分弧长之差的绝对值是
?? x1 ? x 2 y1 ? y 2 ? ? ? ? ( x1 , y1 ) ? A, ( x 2 , y 2 ) ? B ? 所 , ? 2 ? ?? 2 ? ? ?

__________. 5.直线 y=kx-1 与曲线 y= ? 1 ? ( x ? 2) 2 有交点,则 k 的取值范围是 __________. 6 . 经 过 点 A(0,5) 且 与 直 线 x-2y=0, 2x+y=0 都 相 切 的 圆 方 程 为 __________. 7.在直角坐标平面上,同时满足条件:y≤3x, y≥ x, x+y≤100 的 整点个数是__________. 8.平面上的整点到直线 y ? x ? 的距离中的最小值是__________. 9.y=lg(10-mx2)的定义域为 R,直线 y=xsin(arctanm)+10 的倾斜角为 __________. 10. 已知 f(x)=x2-6x+5, 满足 ? 为__________. 11.已知在Δ ABC 边上作匀速运动的点 D,E,F,在 t=0 时分别从 A,B, C 出发,各以一定速度向 B,C,A 前进,当时刻 t=1 时,分别到达 B, C,A。 (1)证明:运动过程中Δ DEF 的重心不变; (2)当Δ DEF 面积取得最小值时,其值是Δ ABC 面积的多少倍? 12. 已知矩形 ABCD, C(4,4), A 在圆 O: 2+y2=9(x>0,y>0)上移动, 点 点 x 且 AB, 两边始终分别平行于 x 轴、 轴。 AD y 求矩形 ABCD 面积的最小值, 以及取得最小值时点 A 的坐标。 13.已知直线 l: y=x+b 和圆 C:x2+y2+2y=0 相交于不同两点 A,B,点
? f ( x) ? f ( y) ? 0, 的点(x,y)构成图形的面积 f ( x) ? f ( y ) ? 0 ?
5 3 4 5 1 3

P 在直线 l 上,且满足|PA|?|PB|=2,当 b 变化时,求点 P 的轨迹方程。 六、联赛二试水平训练题 1.设点 P(x,y)为曲线|5x+y|+|5x-y|=20 上任意一点,求 x2-xy+y2 的 最大值、最小值。 2. 给定矩形Ⅰ (长为 b, 宽为 a)矩形Ⅱ , (长为 c、 宽为 d)其中 a<d<c<b, , 求证:矩形Ⅰ能够放入矩形Ⅱ的充要条件是:(ac-bd)2+(ad-bc)2 ≥ (a2-b2)2. 3.在直角坐标平面内给定凸五边形 ABCDE,它的顶点都是整点,求证: 见图 10-8,A1,B1,C1,D1,E1 构成的凸五边形内部或边界上至少有一 个整点。 4.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点称为整点,试证:存在一个 同心圆的集合,使得: (1)每个整点都在此集合的某一圆周上; (2) 此集合的每个圆周上,有且只有一个整点。 5.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多条直线 l1,l2,…,ln,… 的直线族,它满足条件: (1)点(1,1)∈ln,n=1,2,3,…; (2)kn+1≥ an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率, n 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, a n=1,2,3,…; (3)knkn+1≥0, n=1,2,3,….并证明你的结论。 6.在坐标平面内,一圆交 x 轴正半径于 R,S,过原点的直线 l1,l2 都 与此圆相交,l1 交圆于 A,B,l2 交圆于 D,C,直线 AC,BD 分别交 x 轴正半轴于 P,Q,求证:
1 1 1 1 ? ? ? . | OR | | OS | | OP | | OQ |


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