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2016届高三文科数学试题(33)


2016 届高三文科数学试题(33)
说明:本试题共 4 页,23 小题,满分 150 分,考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己 的姓名、考生号填写在本试卷和答题卡相应位置上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他

答案标号,写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,用黑色签字笔将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 为柱体的底面积, h 为柱体的高. 3

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。
1.设集合 A ? x ? N x 2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ?? 1,1?,则 A ? B 等于 A. ? B. ? 1? C. ??1,1? D. ?? 1,0,1,2,3? ). D. 1 ? 2i )

?

?

2.已知 i 为虚数单位,则 z ? (1 ? i) ? 3 ? i ,则复数 z 等于( A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i
?

C . 1 ? 2i

3.已知命题 p, q ,则“ p ? q 是真命题”是“ p 为假命题”的( A.充要条件 C.必要而不充分条件 4.设等比数列 {a n } 的公比 q ? A.15 B.8 B.充分而不必要条件

D.既不充分也不必要条件

S 1 ,前 n 项和为 S n ,则 3 ? ( a3 2
C.7 D.5

)

5.为了得到函数 y ? 的点

1 ? 1 sin( 2x ? )的图象,可以把函数 y ? sin 2x 的图象上所有 2 3 2

? 个单位 3 ? C.向左平移 个单位 3
A.向右平移 ( )

? 个单位 6 ? D.向右平移 个单位 6
B.向左平移

6.已知双曲线的渐近线方程为 y ? ? 2 x ,焦点坐标为 (? 6 ,0), ,则双曲线方程为 ( 6 ,0)

x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 ? ?1 ? ?1 ? ?1 ? ?1 A. B. C. D. 2 4 4 2 2 8 8 2 7.曲线 y ? ln x ? 2 x 在点 (1,?2) 处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积是( )
1

A. 2

B. 1

C.

3 4

D.

1 2

8.在正方形 ABCD 中,点 E 为边 CD 的中点.若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q,则点 Q 取自△ABE 内部的概率等于( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 3 2 3 9.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了 5 次试验. 根 据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归方程

现发现表中有一个数据模糊看不清,请你推断出该数据的值为 A.69 B.68.3 C.68 D.67 10.一个空间几何体的三视图如右图,其中正视图是边长为 2 的正三角形, 俯视图是边长 分别为 1,2 的矩形,则该几何体的侧面积为( A. 2 3 ? 6 C. 3 ? 6 B. 2 3 ? 4 D. 3 ? 4 )

11.阅读如下程序框图,如果输出 i=4,那么空白的判断框中应填入的 条件是( )

A.S<8?
2

B.S<9?

C.S<10?

D.S<11?

12.已知抛物线 y ? x 上一定点 B(1,1)和两个动点 P、Q,当 P 在抛物线上运动时,BP⊥ PQ,则 Q 点的 纵坐标的取值范围是( ) A. ( ? ?, - 2] ? [2, ? ?) C. ( ? ?, - 1] ? [3, ? ?)

B. ( ? ?, 0] ? [3, ? ?) D. ( ? ?, 1] ? [4, ? ?)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个考试 考生都必须做答。第 22 题~第 23 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分)

2

13.已知平面向量 a ? (2,?1) , b ? (m,2) ,且 a // b ,则 3a ? 2b ? __________ 14.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 bsin A=3csin B,a=3,cos 2 B= .则边 b 的长度为________ 3

?3 x ? y ? 2 ? 0 ? 15.设变量 x,y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为_______ ?2 x ? y ? 8 ? 0 ?
16.设偶函数 f(x)在(0,+∞)上为减函数,且 f(2)=0,则不等式 ________. f?x?+f?-x? >0 的解集为 x

三、解答题:(解答应写出文字说明过程或演算步骤。)
17.(本小题满分 12 分) 已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,S5=35, a5 和 a7 的等差中项为 13. (1)求 an 及 Sn; (2)令 bn ?

4 * (n∈N ),求数列{bn}的前 n 项和 Tn . a ?1
2 n

18.(本小题满分 12 分) 为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关,对本班 50 人进行了问卷调查得到了如下的列联 表: 喜爱打篮球 男生 女生 合计 20 10 30 不喜爱打篮球 5 15 20 合计 25 25 50

(1)为了研究喜欢打蓝球是否与性别有关,根据独立性检验,你有多大的把握认为是否喜欢打 蓝球与性别有关? (2)用分层抽样的方法在喜欢打蓝球的学生中抽6人,其中男生抽多少人? (3)在上述(2)中抽取的6人中选2人,求恰有一名女生的概率. 参考公式: K ?
2

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.10
2.706

参考数据:

P( K 2 ? k )
k

0.15
2.072

0.05
3.841

0.025
5.024

0.01
6.635

0.005
7.879

0.001
10.828

3

19.(本小题满分 12 分) 如图 , 四棱锥 P ? ABCD, 侧面 PAD 是边长为 2 的正 三角形 , 且与底面垂直 , 底面 ABCD是 ?ABC ? 60? 的菱形. P ⑴ 求证: PC ? AD ; ⑵ 求点 D 到平面 PAC 的距离.

A B C

D

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 、 F2 ,点 P(2, 2 ) 在椭圆上, a2 b2

且 PF2 与 x 轴垂直. (1)求椭圆的方程; (2)直线 l 不经过原点 O,且不平行于坐标轴, l 与 C 有两个交点 A、B,线段 AB 中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x ? ax ? 3 .
2

(1)求函数 f ( x) 的极值; (2) 若对 ?x ? (0, ??) 有 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围.

请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时标 出所选题目的题号。 A 22. (本题满分 10 分)如图,以 ?ABC 的边 BC 为直径作圆 O 交 AC 于 D ,过 A 点 作 AE ? BC 于 E , AE 交圆 O 于点 G ,交 BD 于点 F . (1)证明: ?FBE ∽ ?CAE ; (2)证明: GE ? EF ? EA .
2

G D F B . O E C

4

23.(本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ,参数 ? ? ? 0, 2? ? .已知极坐标的极 ? y ? 2sin ? ? 2

点在平面直角坐标系的原点 O 处,极轴与 x 轴的正半轴重合,且长度单位相同.直线 l 的极坐 标方程为: ? sin(? ?

?

3

) ?5.

(1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)求曲线 C 上任一点到直线 l 的距离的最大值.

5

数学(文科)参考答案
一、选择题:
题号 答案 1 B 2 C
2

3 B

4 C
2

5 B

6 A

7 D

8 C

9 C

10 D

11 B

12 C

12.解析:设 P (t , t ) , Q ( s , s ) ∵BP⊥PQ,∴ BP ? PQ ? 0 , 即 (t ? 1, t ? 1) ? ( s ? t , s ? t ) ? (t ? 1) ? ( s ? t ) ? (t ? 1) ? ( s ? t ) ? 0
2 2 2 2 2 2

即t2 ? (s ? 1 ) ?t ? s ?1? 0 ∵t∈R,∴必须有 ? ? ( s ? 1) ? 4( s ? 1) ? 0 .即 s 2 ? 2 s ? 3 ? 0 ,
2

解得 s ? ?1或s ? 3 答案:(-∞,-1 ] ∪ [ 3,+∞)

二、填空题: 13、(-2,1) 三、解答题:

14、 6

15、4

16. {x|x<-2 或 0<x<2}

17.解:(1)设等差数列{an}的公差为 d, 因为 S5=5a3=35,a5+a7=26,………………………………………………………….2 分
? ?a1+2d=7, 所以? 解得 a1=3,d=2,……………………………………………4 分 ?2a1+10d=26, ?

所以 an=3+2(n-1)=2n+1,……………………………………………………………5 分 n?n-1? Sn=3n+ ×2=n2+2n.............................................................................................6 分 2 (2)由(1)知 an=2n+1, 所以 bn= 4 1 1 1 = = - ,..........................................................................8 分 a2 n-1 n?n+1? n n+1

1? ?1 1? ?1- 1 ? 所以 Tn=? ?1-2?+?2-3?+?+ n n+1 …………………………………………..10 分

?

?

=1-

1 n = ...................................................12 分 n+1 n+1

18.解: (1)由列联表数据求得

50(20 ?15 ? 5 ?10) 2 K ? ? 8.333 ? 7.879 ,????????????????2 分 30 ? 20 ? 25 ? 25
2

由 P(k 2 ? 7.879) ? 0.005 ? 0.5% 可知, 所以有 99.5% 的把握认为是否喜欢打蓝球是与性别有关系的.?????????3 分
6

(2)在喜欢打蓝球的学生中抽6人,则抽取男生比例为 ∴男生应该抽取 20 ?

6 1 ? ,?????????4 分 30 5

1 ? 4 人. ???????????????????????5 分 5

(3)在上述(2)抽取的 6 名学生中, 女生的有 2 人,记为 a、b, 男生 4 人,记为 1、2、3、4, 则从 6 名学生任取 2 名的所有可能为:??????6 分 (a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2)(b,3)(b, 4),(1,2), (1,3),(1,4),(2,3),(2,3),(3,4),共 15 种,???????8 分 记“6人中选2人,恰有一名女生其中恰有 1 名女生”为事件 A, 则事件 A 包含的基本事件有:???????????????????????9 分 (a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2)(b,3)(b,4), 共 8 种,.10 分 故所求的概率为 P(A) ?

8 . ???????????????????????12 分 15

19.【解析】 ⑴ 方法一:取 AD 中点 O ,连结 OP, OC , ∵底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形 ∴△ PAD ,△ ACD 均为正三角形, ???????1 分 ∴ OC ? AD , OP ? AD , 又 OC ? OP ? O , OC ? 平面 POC , OP ? 平面 POC , ?? 4 分 ∴ AD ? 平面 POC ,又 PC ? 平面 POC ,所以 PC ? AD . ?????6 分 方法二:取 PC 的中点 M,因为底面 ABCD 是 ?ABC ? 60? 的菱形. ∴△ PAD ,△ ACD 均为正三角形 ,且△ PAD ≌△ ACD ??????????? 1 分 ∴PA=AC,PD=CD ?????????????????????2 分 ∴ AM ? PC , DM ? PC , ???????4 分 又 AM ? DM ? M , AM ? 平面 AMD , DM ? 平面 AMD , ∴ PC ? 平面 AMD ,又 AD ? 平面 AMD ,所以 PC ? AD . ???????6 分 ⑵由⑴可知 PO ? AD , 又平面 PAD ? 平面 ABCD ,平面 PAD ? 平面 ABCD ? AD , PO ? 平面 PAD , ∴ PO ? 平面 ABCD ,即 PO 为三棱锥 P ? ACD 的体高. 在 Rt?POC 中, PO ? OC ? 3 , PC ? 在 ?PAC 中, PA ? AC ? 2 , PC ? 边 PC 上的高 AM ?
2 2

P

6,
M A B C O D

6,

10 , PA ? PM ? 2

7

∴ ?PAC 的面积 S?PAC ?

1 1 10 15 , PC ? AM ? ? 6 ? ? 2 2 2 2

???????8 分

设点 D 到平面 PAC 的距离为 h ,由 VD? PAC ? VP? ACD 得

1 1 1 S ?PAC ? h ? S ?ACD ? PO ,又, S△ACD ? ?2 3 ? 3 3 3 2
∴ ?

???????10 分

1 3

15 1 ?h ? ? 3? 3 , 2 3

解得 h ?

2 15 , 5
???????12 分

∴点 D 到平面 PAC 的距离为 20.(本小题满分 12 分)

2 15 . 5

解:(1)有已知: F1 (?2,0), F2 (2,0) , c ? 2 ,???1 分 则 2a ? PF1 ? PF2 ?
2 2

(2 ? 2) 2 ? ( 2 ? 0) 2 ? 2 ? 4 2 ,???3 分
2

∴ a ? 2 2 ,b ? a ? c ? 4, 故椭圆方程为

???4 分 ???5 分

x2 y 2 ? ?1 8 4

(2)设直线 l : y ? kx ? b(k ? 0, b ? 0), A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,???6 分 把 y ? kx ? b 代入 故 x0 ?

x2 y 2 2 2 2 ? ? 1 得 (2k ? 1) x ? 4kbx ? 2b ? 8 ? 0 8 4
???10 分

???8 分

x1 ? x 2 ? 2kb b ? 2 , y 0 ? kx0 ? b ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

于是,直线 OM 的斜率 k OM ?

y0 1 1 ? ? ,即 k OM ? k ? ? 2 x0 2k
???12 分

所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值.

21.解: (1)导函数 f ?( x) ? 1 ? ln x ,令 f ?( x) ? 1 ? ln x ? 0 ,得 x ? 当0 ? x ? 当x?

1 ,....2 分 e

1 时, f ?( x) ? 1 ? ln x ? 0 , f ( x) 单调递减; e

1 时, f ?( x) ? 1 ? ln x ? 0 , f ( x) 单调递增, e 1 1 1 f ( x) 在 x ? 处取得极小值,且极小值为 f ( ) ? ? . e e e

.............6 分

(2)对 ?x ? (0, ??) 有 2 f ( x) ? g ( x) 恒成立,等价于 2 ln x ? x ?

3 ? a 恒成立. x

8

3 2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ,则 h?( x) ? ? 1 ? 2 ? ,.............8 分 x x x x2 2 3 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,得 x ? 1或x ? ?3 (舍去). 令 h?( x) ? ? 1 ? 2 ? x x x2 3 当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x ) ? 2 ln x ? x ? 单调递减; x 3 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x ) ? 2 ln x ? x ? 单调递增 x
令 h( x ) ? 2 ln x ? x ? h(x)的最小值为 h(1)=4 所以 a≤4. 22. 证明: (1)∵ AE ? BC , ∴ ?BEF ? ?AEC ? 90? ∵ BC 为直径,∴ ?BDC ? 90? ∴ ?FBE ? ?ACE ? 90? , ?CAE ? ?ACE ? 90? ∴ ???? 2 分 ...............12 分

?FBE ? ?CAE

???? 4 分 ???? 5 分

∴ ?FBE ? ?CAE ; (2)由(Ⅰ)得

EF BE ? , ∴ BE ? EC ? EF ? EA ???? 7 分 EC AE 连接 BG 和 CG ,∵ BC 是直径,∴ ?BGC ? 90? ,而 AE ? BC ,
由射影定理得, GE ? BE ? EC
2

???? 9 分 ???? 10 分

∴ GE ? EF ? EA .
2

23.解:(1) 因为曲线 C 的参数方程为 ?

? x ? 2 cos ? ,参数 ? ? [0, 2? ] , ? y ? 2sin ? ? 2
????????3 分

所以曲线 C 的直角坐标方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 (2)∵ ? sin(? ?

?
3

)?5



1 3 ? sin ? ? ? cos ? ? 5 ,即 ? sin ? ? 3? cos ? ? 10 2 2
???????????6 分

∴直线 l 的直角坐标方程为 3 x ? y ? 10 ? 0

由(1) 知曲线 C 的方程为 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 4 ,是 (0, 2) 为圆心,半径为 2 的圆. 圆心到直线的距离 d ?

| ?2 ? 10 | ( 3) ? 1
2 2

? 4,

9

圆与直线 l 相离,???????????????????9 分 所以圆 C 上任一点到直线 l 的距离的最大值为 4 ? 2 ? 6 ????????10 分

10


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