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【金版学案】2015-2016高中数学 2.2.1综合法与分析法学案 新人教A版选修2-2


2.2

直接证明与间接证明 综合法与分析法

2.2.1

1.了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法. 2.理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题.

基 础 梳 理 1.分析法和综合法是直接证明中最基本的两种证明方法,也是解决数学问题时常用的 思维方式. 2.综

合法是从已知条件出发,经过逐步的推理,最后得到待证结论. 3.分析法是从待证结论出发,一步一步寻求结论成立的充分条件,最后达到题设的已 知条件,或已被证明的事实. 想一想:(1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理? (2)分析法就是从结论推向已知,这句话对吗? (3)已知 x∈R,a=x +1,b=x,则 a,b 的大小关系是________. (4)要证明 A>B,若用作差比较法,只要证明________. (1)解析:综合法的推理过程是演绎推理,它的每一步推理都是严密的逻辑推理,得到 的结论是正确的. (2)解析:不对.分析法又叫逆推证法,但不是从结论推向已知,而是寻找使结论成立 的充分条件的过程. 2 ? 1? 3 3 2 (3)解析:因为 a-b=x -x+1=?x- ? + ≥ >0,所以 a>b. ? 2? 4 4 答案:a>b (4)解析:要证 A>B,只要证 A-B>0. 答案:A-B>0
2

1

自 测 自 评 1.用分析法证明问题是从所证命题的结论出发,寻求使这个结论成立的(A) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既非充分条件又非必要条件 2.已知直线 l,m,平面 α ,β ,且 l⊥α ,m? β ,给出下列四个命题:①若 α ∥β , 则 l⊥m;②若 l⊥m,则 α ∥β ;③若α ⊥β ,则 l⊥m;④若 l∥m,则 α ⊥β . 其中正确命题的个数是(B) A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个

解析:若 l⊥α ,m? β ,α ∥β ,则 l⊥β ,所以 l⊥m,①正确;若 l⊥α ,m? β ,l ⊥m,α 与 β 可能相交,②不正确;若 l⊥α ,m? β ,α ⊥β ,l 与 m 可能平行或异面,③ 不正确;若 l⊥α ,m? β ,l∥m,则 m⊥α ,所以 α ⊥β ,④正确. 3 3 3 3.要证 a- b< a-b成立,a,b 应满足的条件是(D) A.ab<0 且 a>b B.ab>0 且 a>b C.ab<0 且 a<b D.ab>0 且 a>b 或 ab<0 且 a<b 3 3 3 3 3 3 3 3 2 3 2 3 解析:要证 a- b< a-b,只需证( a- b) <( a-b) ,即 a-b-3 a b+3 ab <a-b, 3 2 3 2 即证 ab < a b, 只需证 ab <a b, 即 ab(b-a)<0. 只需 ab>0 且 b-a<0 或 ab<0,b-a>0.
2 2

2

基 础 巩 固 1.下列表述: ①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法;③分析法是执果索因法;④分析法是间接 证明法;⑤分析法是逆推法. 其中正确的语句有(C) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个
2

2. 分析法又称执果索因法, 若用分析法证明“设 a>b>c, 且 a+b+c=0, 求证 b -ac < 3a”索的因应是(C) A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0 D.(a-b)(a-c)<0 解析:要证明 b -ac< 3a, 只需证 b -ac<3a , 只需证(a+c) -ac<3a , 只需证-2a +ac+c <0, 即证 2a -ac-c >0, 即证(a-c)(2a+c)>0, 即证(a-c)(a-b)>0. 3.对于不重合的直线 m,l 和平面 α ,β ,要证明 α ⊥β ,需要具备的条件是(D) A.m⊥l,m∥α ,l∥β C.m∥l,m⊥α ,l⊥β B.m⊥l,α ∩β =m,l? α D.m∥l,l⊥β ,m? α
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析:A,与两相互垂直的直线平行的平面的位置关系不能确定;B,平面内的一条直线 与另一个平面的交线垂直,这两个平面的位置关系不能确定;C,这两个平面有可能平行或 重合;D,是成立的,故选 D. 4.已知关于 x 的方程 x +(k-3)x+k =0 的一根小于 1,另一根大于 1,则 k 的取值范 围是________. 解析:令 f(x)=x +(k-3)x+k ,则由题意知 f(1)<0,即 1 +(k-3)×1+k <0, 解得-2<k<1. 答案:(-2,1) 能 力 提 升
2 2 2 2 2 2

3

5.(2013·重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x -a)的两个零点分别位于区间(A) A.(a,b)和(b,c)内 B.(-∞,a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+∞)内 D.(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:因为 a<b<c,所以 f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c -a)(c-b)>0,由零点存在性定理知,选 A. 6.下面的四个不等式: 1 b a 2 2 2 2 2 2 2 ①a +b +c ≥ab+bc+ca;②a(1-a)≤ ;③ + ≥2;④(a +b )·(c +d )≥(ac+ 4 a b

bd)2.
其中恒成立的有(C) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

1 2 2 2 2 2 2 解析:∵(a +b +c )-(ab+bc+ac)= [(a-b) +(b-c) +(c-a) ]≥0,a(1-a)- 2 1 1 ? 1?2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =-a +a- =-?a- ? ≤0,(a +b )·(c +d )=a c +a d +b c +b d ≥a c +2abcd+ 4 4 ? 2?

b2d2=(ac+bd)2,
∴①②④正确.故选 C. 7. 命题“若 sin α +sin β +sin γ =0, cos α + cos β +cos γ =0”, 则 cos(α -β )=________. 解析:条件变为 sin α +sin β =-sin γ ,cos α + cos β =-cos γ ,两式平方 1 相加可推得结论 cos(α -β )=- . 2 1 答案:- 2 8 . 若 P = a + a+7 , Q = a+3 + a+4 , a ≥ 0 , 则 P 、 Q 的 大 小 关 系 是 ________________________________________________________________________. 解析:用分析法,要证 P<Q,需证 P <Q 即可. 答案:P<Q 9.已知 a、b、c∈R+,求证: 证明:要证 ≥
2 2

a2+b2+c2 a+b+c
3 3 , ≥ 3

.

a2+b2+c2 a+b+c
3

4

只需证:

a2+b2+c2 ?a+b+c?2
3
2 2

≥?

?

3
2

? , ?
2

只需证:3(a +b +c )≥a +b +c +2ab+2bc+2ca, 只需证:2(a +b +c )≥2ab+2bc+2ca, 只需证:(a-b) +(b-c) +(c-a) ≥0,而这是显然成立的, 所以
2 2 2 2 2 2

2

2

a2+b2+c2 a+b+c
3 ≥ 3

成立.

10.在△ABC 中,三个内角 A,B,C 对应的边分别为 a,b,c,且 A,B,C 成等差数列,

a,b,c 也成等差数列,求证:△ABC 为等边三角形.
π 2 2 2 证明:由 A,B,C 成等差数列知,B= ,由余弦定理知 b =a +c -ac. 3 又 a,b,c 也成等差数列,∴b= -c) =0,∴a=c,从而 A=C. π π 而 B= ,则 A=B=C= , 3 3 从而△ABC 为等边三角形.
2

a+c
2

(a+c)2 2 2 ,代入上式得 =a +c -ac,整理得 3(a 4

5


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