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浅谈数列求和的几种方法


浅谈数列求和的几种常用方法
子洲中学 席会灵

摘要:本文旨在讲述数列求和的意义。直接求和法,倒序相加求和法,错位相减 求和法,分组转化求和法,裂项相消求和法等一些简单的特殊数列求和的方法, 理解数列求和中蕴含的数学思想,并能利用数列求和解决一些数列问题。 关键词: 直接求和法 倒序相加求和法 消求和法 在高中数学的学习过程中,数列是高中数学的重要内

容,其相关知识在历届 高考占有相当重要的位置,其中最重要的是等差数列和等比数列求和。 数列求 和的常用方法有直接求和法,倒序相加求和法,错位相减求和法,分组转化求和 法,裂项相消求和法等,下面就简要的谈谈这些方法。 一、直接求和法 如果所给数列是等差数列或等比数列,那么它们的求和问题,可以直接利用 等差或等比数列求和公式解决。 (1)等差数列的前n项和公式: S n ? (2)等比数列的前n项和公式: ①当q=1 时, S n ? na1 ; ②当q≠1 时, S n ?
a1 1 ? q n a a qn ? 1 ? 1 . 1? q 1? q 1? q

分组求和法

错位相减求和法

裂项相

n?a1 ? a n ? ; 2

S n ? na1 ?

n?n ? 1? d 2

?

?

1 1 1 例1、求数列: , , ,? 的前n项和. 2 4 8
n 1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ? ?2? ? ? 1 ? 1? n 解:因为数列是个等比数列,所以前n项和 S n ? 1 2 1? 2 ?1 x ? 变式练习1、已知 log 3 ,求 x ? x 2 ? x 3 ? ? ? x n ? ? 的前n项和。 3 log 2

解: 由l og

x 3

n 1 ? ?1? ? ?1 ? ? ? ? 2? ? ?2? ? ? 1 ?1 1 x 2 S ? ? 1? n log ? ? log 可得 ,所以 ,所以 ? x ? n 3 3 3 1 2 2 l og 2 1? 2

二、倒序相加求和法 如果一个数列 ?a n ?中,与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可 采用把正着写和与倒着写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和 的方法称为倒序相加法。 例2: 求 1, 2,3,...,100 这样一个等差数列的和. 解:设这个等差数列的和为 S n
S100 =1+2+3+···+100,



再把项的次序反过来,可以写成
S100 =100+99+···+1,



把①,②两式等号两边分别相加,得
2 S100 =101+101+···+101+101,

因为有100 个101,所以 2 S100 =101×100=10100 即 2 S100 = 10100 所以 S100 =5050.

0 1 2 n ? 3C n ? 5C n ? ? ? ?2n ? 1?C n ? ?n ? 1?2 n . 变式练习2、求证: C n

三、分组求和法 把数列的每一项分成两项,或把数列的项重新组合,或把整个数列分成两部 分,使其转化成等差或等比数列,这一方法称为分组求和法。 例3、在数列 ?a n ?中, a1 ? 2 , a n?1 ? 4a n ? 3n ? 1 , n∈N* (1)证明:数列{ a n ? n }是等比数列;

(2)求数列 ?a n ?的前n 项和 S n . (1)证明: 由题设 a n?1 ? 4a n ? 3n ? 1 得
a n?1 ? ?n ? 1? ? 4?a n ? n ? ,n∈N*

又 a1 ? 1 ? 1 ,

所以数列{ a n ? n }是首项为1,且公比为4 的等比数列. (2)解:由(1)可知 a n ? n ? 4 n ?1 于是数列 ?a n ?的通项公式为 a n ? 4 n?1 ? n , 所以数列 ?a n ?的前n 项和
S n = 4 0 ? 1 ? 41 ? 2 ? 4 2 ? 3 ? ? 4 n?1 ? n

?

? ?

? ?

?

?

?

= ?1 ? 2 ? 3 ? ?n ? ? ?1 ? 41 ? 4 2 ? ? ? 4 n?1 ? = =
n?n ? 1? 1 ? 4 n ? 2 1? 4 n?n ? 1? 4 n ? 1 ? 2 3
n

变式练习3、 S n ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? ?? 1? ?2n ? 1? 提示:按n为奇偶数进行分组,连续两项为一组. 四、错位相减求和法 错位相减法是是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法,这种方法主 要用于求数列 ?a n ? bn ?的前n项和,其中 ?a n ?、 ?bn ?中一个是等差数列,一个是等 比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公 比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和。 例4、求 S n ?
1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? ? n (a 为常数)的和. a a a a n?n ? 1? ; 2
? ?1?

解:当a=1时 S n ? 1 ? 2 ? 3 ? ? n ? 当 a ? 1时 Sn ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ??? n a a a a

1 1 2 3 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n?1 a a a a a a

? ?2 ?

(1)-(2)得
1 1 1 1 n ? 1? ?1 ? ? S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 a a a a a ? a?

1? 1 ?1 ? n a a = ? 1 1? a
? Sn ?

? ? ?? n a n ?1

a a n ? 1 ? n?a ? 1? a ?a ? 1?
n 2

?

?

n ? n ?1? ? ? 2 S ? ? a ?an ?1??n ?a?1? 综上所述: n ? ? an ?a?1?2

?a ?1? ?a ?1?

变式练习4、求和: S n ? 1 ? 五、裂项相消求和法

3 4 n ?1 ? 3 ??? n . 2 2 2 2

把数列的通项拆成两项之差,即数列的每一项都可按此法拆成两项之差。在 求和时一些正负项相互抵消,于是前n 项的和变成首尾若干项之和,这一求和方 法称为裂项相消求和法。 常见的拆项公式有 (1) (3)
1 1 1 ? ? n?n ? 1? n n ? 1
1 1?1 1 ? ? ? ? ? n?n ? k ? k ? n n ? k ?

(2)

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ?2n ? 1??2n ? 1? 2 ? 2n ? 1 2n ? 1 ? 1 (4) ? n ?1 ? n n ? n ?1

2 ? 9a 2 a 6 . 例5: 等比数列 ?a n ? 的各项均为正数,且 2a1 ? 3a2 ? 1, a3

(1)求数列 ?a n ?的通项公式;
?1? an a1 a2 ? log 3 ? ? log 3 (2)设 bn ? log 3 ,求数列 ? ? 的前n项和 Tn . ? bn ?
2 2 2 ? 9a 2 a 6 ,得 a3 ? 9a 4 解:(1)设数列 ?a n ?的公比为q,由 a3 ,

所以 q 2 ?

1 . 9

由条件可知 q ? 0 ,故 q ?

1 . 3

又因为 2a1 ? 3a2 ? 1 ,所以 a1 ?
1 . 3n

1 3

故数列 ?a n ?的通项公式 a n ?

an a1 a2 ? log 3 ? ? log 3 (2) bn ? log 3 = ? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? ? ?

n?n ? 1? , 2

所以

1 2 1 ? ?1 ?? ? ?2? ? ?, bn n?n ? 1? ? n n ?1?

所以 Tn =

1 1 1 1 ? ? ?? b1 b2 b3 bn

?? 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 = ? 2??1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? n n ? 1 ?? ?? 2 ? ? 2 3 ? ? 3 4 ? 2n =? n ?1
?1? 2n 所以数列 ? ? 的前n项和 Tn 为 ? n ?1 ? bn ?

变式练习5、等差数列 ?a n ?满足: a3 ? 7, a5 ? a7 ? 26 , ?a n ?的前n项和为 S n . (1)求 a n 及 S n ;(2)令 bn ?
1 a ?1
2 n

?n ? N ?,求数列 ?b ?的前n项和.
* n

总而言之,数列求和,如果是等差、等比数列的求和,可直接用求和公式求 解, 公式要做到灵活运用。 非等差等比数列的一般数列的求和, 主要有两种思路: (1)转化的思想,即将一般数列设法转化为等差或者等比数列。这一思想方 法往往通过通项分解或错位相消来完成。 (2)不能转化为等差或等比的特殊数列,往往通过裂项相消法、错位相减法、 倒序相加法等来求和,那么就要将例题中的几类一般数列的求和方法掌握熟练。 数列求和问题, 一般说来方法灵活多样, 解法往往不止一种, 很难说尽求全。 本文中所介绍的种种求和方法,主要是给出一些解题的思路和方法,若把握好解 题思路,则可以熟练掌握数列求和的一般方法。


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