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河北省唐山市开滦第二中学2014-2015学年高二数学下学期期中试题 理


开滦二中 2014~2015 学年第二学期高二年级期中考试 数学试卷
说明: 1、本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷第(1)页至第(2) 页,第Ⅱ卷第(3)页至第(4)页。 2、本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 注意事项: 1、答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的准考证号、科目填涂在答题卡上。 2、每小题选出

答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。答在试卷上无效。 3、 考试结束后,监考人员将试卷答题卡和机读卡一并收回。 一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1、若 ( x2 ?1) ? ( x2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数,则实数 x 的值是( A 1 B )

?1

C

?1

D

以上都不对 ( )

2、设函数 f(x)在 x0 处可导,则 lim A. f ' ( x0 ) B. f ' (? x0 )

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 等于 ?x
C. ? f '( x0 )

D. ? f '(? x0 )

3、已知对任意实数 x ,有 f (? x) ? ? f ( x),g (? x) ? g ( x) , 且 x ? 0 时, f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ,则 x ? 0 时( A. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 C. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 )

B. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 D. f ?( x) ? 0,g ?( x) ? 0 ( )

4、函数 y ? 2 x3 ? 3x2 ?12 x ? 5 在 ?0,3? 上的最大值与最小值分别是 A.5 , -15
2

B.5 , 4

C.-4 , -15

D.5 , -16

5、抛物线 y ? x 到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为





A. 2

B.

7 2 8

C. 2 2

D. 以上答案都不对

6、若函数 f ( x) ? x ? 3bx ? 3b 在 ?0,1? 内有极小值,则(
3



1

A. 0 ? b ? 1

B. b ? 1

C. b ? 0

D. b ?

1 2


7、若曲线 y ? x4 的一条切线 l 与直线 x ? 4 y ? 8 ? 0 垂直,则 l 的方程为( A. 4 x ? y ? 3 ? 0 C. 4 x ? y ? 3 ? 0 B. x ? 4 y ? 5 ? 0 D. x ? 4 y ? 3 ? 0 )

8、曲线 y ? e x 在点 (2,e2 ) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(

A.

9 2 e 4
2

B. 2e
3

2

C. e

2

D.

e2 2

9、由曲线 y=x ,y=x 围成的封闭图形面积为( 1 A. 12 10、 1 B. 4 ) C.2+2cos1 C. 1 3 D.

) 7 12

?

1 ?1

(sin x ? 1) dx 的值为(
B.2

A.0

D.2-2cos1

11、某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门 ,一位同学从中共选 3 门, 若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 A. 30 种 B. 35 种 C. 42 种 D. 48 种

12、将标号为 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中. 若每个信封放 2 张,其中标号为 1, 2 的卡片放入同一信封, 则不同的方法共有 A. 12 种 B. 18 种 C. 36 种 D. 54 种

开滦二中 2014~2015 学年度高二年级期中考试数学试题 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 二、填空题(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中的横线上) 13、已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? 3i ,则复数

i z2 = ? z1 5



14、 观察下列数的特点 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,… 中,第 100 项是=__ ____ 15、由 1、2、3、4、5、6 组成没有重复数字且 1、3 都 不与 5 相邻的六位偶数的个数是__________ 16、 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 0 ,
2

xf '( x ) ? f ( x ) ? 0 ( x ? 0) ,则不等式 x2 x2 f ( x) ? 0 的解集是
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17、 (本题 10 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根, 求实数 m 的取值范围. 18、 (本题 12 分) 设函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3ax2 ? 3bx ? 8c 在 x ? 1 及 x ? 2 时取得极值. (1)求 a、 b 的值;

3] ,都有 f ( x) ? c2 成立,求 c 的取值范围. (2)若对于任意的 x ? [0,
19、 (本题 12 分) 将 5 个小球放到 3 个盒子中,在下列条件下,各有多少种投放方法? (1)小球不同,盒子不同,盒子不空 (2)小球不同,盒子不同,盒子可空 (3)小球相同,盒子不同,盒子不空 20、 (本题 12 分) 如图所示,在区间[0,1]上给定曲线 y ? x ,试在此区间内确定 t 的值,
2

使图中阴影部分的面积 S1 ? S2 最小.

21、 (本题 12 分) 用数学归纳法证明:

n ? N ? 时,

1 1 1 n ? ? ... ? ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1

22、 (本题 12 分)
3

已知 f ( x) ?

ax3 ? (a ? 1) x 2 ? 4 x ? 1?a ? R ? 3

(1)当 a ? ?1 时,求函数的单调区间。 (2)当 a ? R 时,讨论 函数的单调增区间。 (3)是否存在负实数 a ,使 x ? ?? 1,0?,函数有最小值-3

4

一、ACBAB 二、13、i 三、 17、解

高二期中考试数学卷答案 AADAB AB 14、14 15、108 16、 ( ?1,0) ? (1,??)

(1) f ?( x) ? 6x2 ? 6x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7, ∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ; (2)记 g ( x) ? 2x3 ? 3x 2 ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 6 x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. 则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x (??, 0) 0 (0,1) (1, ??) 1 ? g ?( x ) 0 0 ? ? g ( x) 增 极大 减 极小 增 当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . ? g (0) ? 0 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? , ? g (1) ? 0 ?m ? 3 ? 0 即? , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0 函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) .
18、解: (1) f ?( x) ? 6 x ? 6ax ? 3b ,
2

因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 及 x ? 2 取得极值,则有 f ?(1) ? 0 , f ?(2) ? 0 .

即?

?6 ? 6a ? 3b ? 0, 解得 a ? ?3 , b ? 4 . ?24 ? 12a ? 3b ? 0.
3 2

(2)由(Ⅰ)可知, f ( x) ? 2x ? 9x ? 12x ? 8c ,

f ?( x) ? 6x2 ?18x ? 12 ? 6( x ?1)( x ? 2) .
1) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (0, , 2) 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? (1 3) 时, f ?( x) ? 0 . 当 x ? (2,
所以,当 x ? 1 时, f ( x ) 取得极大值 f (1) ? 5 ? 8c ,又 f (0) ? 8c , f (3) ? 9 ? 8c .

5

则当 x ??0, 3? 时, f ( x) 的最大值为 f (3) ? 9 ? 8c . 因为对于任意的 x ??0, 3? ,有 f ( x) ? c2 恒成立, 所以

9 ? 8c ? c 2 ,解得

c ? ?1 或 c ? 9 ,

? 1) ? (9, ? ?) . 因此 c 的取值范围为 (??,
19、(1) ?

? C52C32 3? 3 ? C5 ? A3 ? 150 2 ? A2 ?

(2) 3 ? 243
5

2 (3) C4 ?6

2 3 2 2 20、由题意得 S1=t·t -?tx dx= t , 3 ?
0

S2=?1x2dx-t2(1-t)= t3-t2+ ,

?t

2 3

1 3

4 3 2 1 所以 S=S1+S2= t -t + (0≤t≤1). 3 3 1 ? 1? 2 又 S′(t)=4t -2t=4t?t- ?,令 S′(t)=0,得 t= 或 t=0. 2 ? 2? 1 1 因为当 0<t< 时,S′(t)<0;当 <t≤1 时,S′(t)>0. 2 2

? 1? ?1 ? 所以 S(t)在区间?0, ?上单调递减,在区间? ,1?上单调递增. ? 2? ?2 ?
1 1 所以,当 t= 时,Smin= . 2 4 21、

解析: ①当

时,左边

,右边

,左边=右边,所以等式成立。

②假设 时,

时等式成立,即有

,则当

, 所以当 时,等式也成立。由①,②可知,对一 切 等式都成立。

6

22、 (1) x ? ?? ?,?2?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) 递减; x ? ?? 2,2?, f ( x ) 递增; (2 )1、当 a ? 0,
2 ? x ? ?? ?,?2?, f ( x ) 递 增 ;2 、 当 a ? 0, x ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递 增 ;3 、 当 0 ? a ? 1, x ? ?? ?,2?, 或 ?a ?
2? ?2 ? ? x ? ? ,?? ?, f ( x ) 递增; 当 a ? 1, x ? ?? ?,???, f ( x ) 递增;当 a ? 1, x ? ? ? ?, ?, 或 x ? ?2,???, f ( x ) a? ?a ? ? 递增;(3)因 a ? 0, 由②分两类:

3 2 ? 1、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, x ? ?? 1,0? ? ? ? ,2 ?, f ( x ) 递增, f ( x) min ? f (?1) ? ?3 ,解得 a ? ? ? ?2, 4 a a ? ?
2、当 2 ? ?1, ? a ? ?2, 由单调性知: f ( x ) min ? f ( ) ? ?3 ,化简得: 3a 2 ? 3a ? 1 ? 0 ,解得 a a
a?

2

3 ? 3 ? 21 ? ?2, 不合要求;综上, a ? ? 为所求。 4 6

7


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