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数学高二(上)沪教版(数列的极限(三))教师版


年 课

级:高二 题

辅导科目: 数学

课时数:3

数列的极限(三)
1、 理解数列极限的概念; 2、 掌握数列极限的运算法则; 3、 掌握常用的数列极限。 4、掌握公比 q <1 时,无穷等比数列前 n 项和的极限公式即无穷等比数列各项和公式,并能 用于解决简单问题。 教学内



教学目的

【知识梳理】
1、数列极限的概念: 一般地, 在 n 无限增大的变化过程中, 如果无穷数列 ?an ? 中的 an 无限趋近于一个常数 A, 那么 A 叫做数列 ?an ? 的极限,或叫做数列 ?an ? 收敛于 A。 2、对概念的理解: (1)有穷数列一定不存在极限,无穷数列__不一定_____极限; (2)数列是否有极限与数列前面的有限项__无关_____; (3)如果一个数列有极限,那么它的极限是一个_确定_____的常数。 3 可以通过几个反面的例子来理解数列极限的概念:

? ? 又如: ?( ?1) ? ,当 n 无限增大时,数列的项始终在 1 和-1 之间摆动,因此也不能与某一个常数无限的接近;
2 如: n ,当 n 无限增大时,数列的项也无限增大,显然他们不能与某一个常数无限的接近;
n ?1

再如: ? ? ,虽然当 n 无限增大时,数列的项与-1 会逐渐接近,但这种接近不是无限接近,数列的项与-1 的距离始 终大于 1,即 ? ? (?1) ? 不能无限趋近于 0。

?1 ? ?n?

?1 ?n

? ?

4、数列极限的运算法则
lim lim lim 如果 lim n ? ? an=A, n ? ? bn=B,那么(1) n ? ? (an±bn)=A±B (2) n ? ? (an·bn)=A·B

(3) lim n ??

an A = (B≠0) bn B

极限不存在的情况是(1) lim a n ? ?? ; (2)极限值不唯一,跳跃,如 1,-1,1,-1….
n??

注意:数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 思考:如何正确运用数列极限的运算法则?

1、

lim a 与 lim b 存在是 lim
n n

(an±bn)/

n ??

n ??

n ??

lim
n ??

(an·bn)存在的__充分非必要_______条件。

3、几个重要极限 ① lim n ? ? C=C(常数列的极限就是这个常数) ②设 a>0,则特别地 lim
n ??

1 ?0 n
n n n ?? n??

n ; q ? ?1, 或 q ? 1, lim q 不存在。 ③设 q∈(-1,1),则 lim n ? ? q =0; q ? 1, lim q ? 1

若 无 穷 等 比 数 列 a1 , aq,?, aqn?1 ?, q ? 1 叫 无 穷 递 缩 等 比 数 列 , 其 所 有 项 的 和 ( 各 项 的 和 ) 为 :

s ? lim s n ?
n ??

a1 1? q

关于无穷等比数列各项和: 1、 使用条件:若公比为 q ,则 q 的范围是_____ 0 ? q ? 1 ; 2、 常见的应用:循环小数化分数;几何应用。

【典型例题讲解】
例 1、求下列极限。 (1) lim n ?? (

n3 n2 ) 2n 2 ? 1 2 n ? 1

(2) lim n ? ? [ n ( n ? 1 - n )]

(3) lim n ?? ( 解:

1 4 7 3n ? 2 + 2 + 2 +…+ ) 2 n n n n2
1 4
(2)

(4) lim n ??

a n (1 ? a) ? (1 ? a n?1 ) (a≠1) a n?1 (1 ? a) ? (1 ? a n )

(1)

1 2

(3)

3 2

(4)当|a|<1 时,原式=1;当|a|>1 时,原式=a;当 a=-1 时极限不存在 变式练习: (1) lim ?

? n3 ? 1 n 2 ? 1 ? 1 ? ? ____ ______; ? 2 n ?? 3n ? n 3n ? 4 ? 3 ?

(2) lim ?

? 1 ? 1 1 1 1 ? ? ??? ? ____ ______; ? n?? 1? 4 4 ? 7 7 ?10 (3n ? 2) ? (3n ? 1) ? 3 ?
lim

例 2、已知 n?? (

3n 2 ? cn ? 1 ? 4n) =5,求常数 a、b、c 的值。 an2 ? bn
3 15 ,c= 4 4

解:a=0,b=
lim

变式练习:若 n ?? ?

? n3 ? 1 ? 1 1 ? an ? b ? ? 0 =5,求常数 a、b、的值。 a ? , b ? ? 2 3 9 ? 3n ? n ?

例 3、设无穷等比数列 ?an ? 满足 lim(a1 ? a3 ? a5 ? ? ? a2 n ?1 ) ?
n ??

8 ,求首项 a1 的取值范围。 3

解:

a1 8 ? 8? ? ,? 0 ? q 2 ? 1,? a1 ? ? 0, ? 。 2 1? q 3 ? 3?

变式练习:在等比数列中,a1>1,前项和 Sn 满足 lim Sn ?
n ??

1 ,那么 a1 的取值范围是……………………( a1
(D) (1, 2 )



(A) (1,+∞)

(B) (1,4)

(C) (1,2)

例 4、以正方形 ABCD 的四个顶点为圆心,以正方形的边长 a 为半径,在正方形内画弧,得四个交点 A1 , B1 , C1 , D1 , 再在正方形 A1B1C1D1 内用同样的方法得到又一个正方形 A2 B2C2 D2 ,这样无限的继续下去,求所有这些正方形的面 积之和(包括正方形 ABCD).

( 3 ? 1)a 2 解: (提示) a1 ? a , q ? 2 ? 3, Sn ? 2
2

变式练习:设 T1,T2,T3……为一组多边形,其作法如下: T1是边长为 1 的三角形以 Tn 的每一边中间

1 的线段为一边向外作正三角形, 然后将该 1/3 线段抹 3

去所得的多边形为 Tn+1,如图所示。令 an 表示 Tn 的周长,A(Tn)表示 Tn 的面积。 (Ⅰ)计算 T1,T2,T3 的面积 A(T1),A(T2),A(T3) (Ⅱ)求 lim (
n??

1 1 1 + …+ )的值。 a1 a 2 an
1 3 · 1· 1· sin60° = 2 4

解:(Ⅰ)A(T1)=

A(T2)=3· · · · sin60° ++A(T1)=

1 1 1 2 3 3

4 3 3 = 12 3

A(T3)=12· · · · sin60° +A(T2)=

1 1 1 2 9 9

10 3 27

(Ⅱ)由分析知 an=

4 4 1 1 4 n-1 an-1(Tn 的边数是 Tn-1 边数的 4 倍且每边是原来的 1/4)故 an=3· ( )n-1∵ = · ( ) 3 3 an 3 3

1 4 1 1 1 lim ( + +∴…+ )= 3 = n?? a a2 an 1 ? 3 3 1 4
注:本题综合考察由图像的变化中抽象出数列知识,由变化情况来分析周长、面积的变化情况,掌握其规律,将规律

与数列联系起来。求面积时,要利用面积公式及对称性,然后由数递推数列来求答。 能力点:由图像变化联系数列知识。
2 例 5、已知公比 q(0 ? q ? 1) 的无穷等比数列 an 各项的和为 9,无穷等比数列 an 各项的和为

? ?

? ?

81 。 5

(1) 求数列 an 的首项 a1 和公比 q ; (2) 对给定的 k (k ? 1, 2,?, n) ,设 T ( k ) 是首项为 ak ,公差为 2ak ? 1的等差数列。求 T (2) 的前 10 项之和; (3) 设 bi 为数列 T ( i ) 的第 i 项, Sn ? b1 ? b2 ? ?? bn 。求 Sn ,并求正整数 m(m ? 1) ,使得 lim 于零。 (注:无穷等比数列各项和即当 n ?? 时该无穷等比数列前 n 项和的极限)
? a1 ? 1 ? q ? 9? (1) a 9 1? q 2 ? ? 5 ,解得 q ? ,代入⑴得 a1 ? 3 即 解: (Ⅰ).依题意得 ? 2 ,⑴代入⑵得 1 ? ? (3) ,⑴ ? ⑶得 1 ? q 5 1 ? q 3 a ? 1 ? 81? (2) 2 ? 5 ?1 ? q

? ?

sn 存在且不等 x ?? n m

?a 1 ? 3 ? 2, ? q? ? 3 ?

(Ⅱ).由(Ⅰ)知 a n ? a1qn ?1

T(k) ? a k ? (m ? 1)(2a k ? 1) 2 n ?1 ? 3 ? ( ) ,所以 2 2 3 ? 3 ? ( )n ?1 ? (m ? 1)[6 ? ( )n ?1 ? 1] 3 3

所以 T(2) ? 2 ? 3(m ? 1) ? 3m ? 1(m ? N? ) ,数列{ T ( 2) }是以 2 为首项,3 为公差的等差数列,记{ T ( 2) }的前 m 项和为 Sm , 所以 S10 ? 10 ? 2 ?
10(10 ? 1) ? 3 ? 155 , 2

2 2 (Ⅲ).由(Ⅱ)知 T(i) ? a i ? (m ?1)(2a i ?1) ? 3( )i ?1 ? (m ?1)[6( )i ?1 ?1] ,所以 3 3 2 bi ? (6i ? 3)( )i ?1 ? (i ? 1) ,所以 3 2 2 2 2 Sn ? [3( )0 ? 9( )1 ? 15( )2 ? ? ? (6n ? 3)( )n ?1 ] ? [(1 ? 1) ? (2 ? 1) ? 3 ? 1) ? ? ? (n ?1)] , 3 3 3 3 2 0 21 2 2 2 n ?1 令 S? , n ? 3( ) ? 9( ) ? 15( ) ? ? ? (6n ? 3)( ) 3 3 3 3 2 21 2 2 2 n ?1 所以 S? , n ? 3( ) ? 9( ) ? ? ? (6n ? 3)( ) 3 3 3 3 1 21 2 2 2 n ?1 2 2 2 所以 S? ] ? (6n ? 3)( )n ? 3 ? 18[1 ? ( )n ?1 ] ? 3(6n ? 3)( )n n ? 3 ? 6[( ) ? ( ) ? ? ? ( ) 3 3 3 3 3 3 3 2 n ?1 2 2 2 n(n ?1) 所以 S? , ? (18n ? 9)( )n , Sn ? 63 ? 54( )n ?1 ? (18n ? 9)( )n ? n ? 63 ? 54( ) 3 3 3 3 2

Sn 当 lim m ? lim n ?? n n ??

2 2 n(n ? 1) 63 ? 54( )n ?1 ? (18n ? 9)( )n ? 3 3 2 存在且不为零时, m ? 2 。 nm

【练习】

一、填空: 1、求极限: (1) lim
n ??

(?1) n n

? ___________;

(2) lim

n? ?

3n 2 ? 2n ? 1 ? ___________; n2 ?1

(3) lim

n??

2n ? 1 ? ___________; n2 ?1

(4) lim ?

? n3 n2 ? ? ? =___________; n?? n2 ? 1 n ? 1 ? ?
n

(5) lim
n ??

2n

?

1 n2 ? 1 ?

? ?2 ? ? 3n ? __________ =___________; (6) lim n ?1 n ?? ? ?2 ? ? 3n?1 n2 ? 1?

2、已知 lim 3、 lim (
n? ?

an2 ? bn ? 3 ? ?3 ,则 a ? ________, b ? ________ . n ?? 4n ? 5
1 2 3 2n ? 2 ? 2 ? ??? ? 2 ) ? __________ _ . n ?1 n ?1 n ?1 n ?1
2

4、 lim 5、 lim

n? ?

1 ? 22 ? 24 ? ? ? ? ? 22n ? __________ . 4n
1 ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? ? ( 2n ? 1) ? 2n ? _________ . n ?1
n ?1 1 ? ?1 1 1 =___________. ? ? ??? ? ? ?1? 3n ? ? 3 9 27 ?

n? ?

6、 lim ? ?
n ??

7、 lim

n??

1 ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? 2 n?1 . ? __________ 1 ? 3 ? 9 ? 27 ? ? ? ? ? (?3) n?1
1 1 1 1 ? ? ??? ) =___________. 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 n(n ? 2)
1 1 1 )(1 ? 2 ) ? (1 ? 2 ) =___________. 2 2 3 n

8、 lim(
n ??

9、 lim(1 ?
n ??

10、一个无穷等比数列的各项和为 9,各项平方和为 27,则 a1 ? _______ . 11、设等比数列{an}(n∈N)的公比 q=-

1 8 ,且 lim (a1+a3+a5+…+a2n-1)= ,则 a1=_________________. n ? ? 2 3

12、首项为 1,公比为 q(q>0)的等比数列前 n 项和为 Sn,则 lim

Sn ? ______ . n ?? S n ?1
n? ?

13、设数列 {an } 是公比 q ? 0 的等比数列, Sn 是它的前 n 项和,若 lim Sn ? 7 ,那么 a1 的的取值范围是__________. 14、无穷等比数列中,若任何一项都等于该项后所有项之和,则此数列的公比是_______. 15、“无穷等比数列和的极限存在”是“ 0 ?| q |? 1”的________________________条件.

【答案】 一、填空: 1、 (1)0; (2)3; (3)0; (4)-1; (5)1; (6) 2、0,-12 3、2 4、

4 3

5、-1

1 3 1 6、 7、0 4
14、

8、

3 4

9、

1 2

10、

9 2

11、2 二、选择

12、

0 ? q ?1 q ?1

1 0

13、 0 ? a1 ? 7

1 2

15、充要

16、已知数列{an}中,a1=1,2an+1=an(n=1,2,3…),则这个数列前 n 项和的极限是( A、2 B、



1 2

C、3

D、

1 3

17、已知 a、b 是互不相等的正数,则 lim A、1 18、 lim [n(1-
n??

an ? bn ?( n ?? a n ? b n
C、0

) D、-1 或 0 ) D、3

B、-1 或 1

1 1 1 1 ) (1- ) (1- )…(1- ) ]等于( 3 4 5 n?2
B、1 C、2

A、0

19、在等比数列中,a1>1,前项和 Sn 满足 lim Sn ?
n ??

1 ,那么 a1 的取值范围是( ) a1
D、 (1, 2 ) )

A、 (1,+∞)

B、 (1,4)

C、 (1,2)

20、等比数列{an}中,a1=-1,前 n 项和为 Sn,若

S10 31 ? , 则 lim S n ? ( n ?? S5 32
D、-2

A、

2 3

B、-

2 3
*

C、2

21、已知数列 log2 ? an ?1? ( n ? N )为等差数列,且 a1 ? 3, a2 ? 5 , 则 lim ?
n ??

?

?

?

? 1 1 1 ? ? ??? ? ??( a ? a a ? a a ? a 3 2 n ?1 n ? ? 2 1
B、



A、 2

3 2

C、 1

D、

1 2

22、若数列 ? a n ? 是首项为 1,公比为 a ? 的值是( A、1 【答案】 16、A 17、B 18、C 19、D ) B、2.

3 的无穷等比数列,且 ? a n ? 各项的和为 a ,则 a 2
1 . 2
21、C

C、

D、

5 . 4

20、B

22、B

三、解答题: 23、求极限: lim(
n ??

2 ? 3 2 2 ? 3 2 2 3 ? 33 2 n ? 3n ? ? ? ? ? ? ? ). 6 62 63 6n

解:原式= lim?? ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ... ? ( ) n ? ? ? ? ( ) 2 ? ( ) 3 ? ... ? ( ) n ? ? n?? 3 3 ? ?2 2 2 2 ?? ?? 3 3 = lim ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? + lim ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? ... ? ( ) n ? n?? 3 3 3 3 ? n?? ? 2 2 2 2 ? ? =

?? 1

1

1

1 ? ?1

1

1

1 ??

?1

1

1

1 ?

?1

1

1

1 ?

1 1 1 1 3 ? ? ? = 1 2 1 2 3 1? 1? 3 2

24、在等比数列 {an } 中, Sn 是数列前 n 项和,公比 q ? 0 , a1 ? 1 ,求 lim

n? ?

an . Sn

解:1)当 q ? 1 时, lim

an 1 ? lim ? 0 ; n ?? S n ?? n n

2)当 q ? 1 时, lim

an q n?1 ? q n ? lim n?? S n?? 1 ? q n n
an q ? 1 ? Sn q an ?0 n?? S n
a1 1 -qn)= ,求首项 a1 的取值范围. 1? q 2

当 q ? 1 时, lim
n ??

当 0 ? q ? 1 时, lim

25、已知等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,且有 lim (
n??

解:当 q ? 1 时, lim (
n??

a a1 1 1 -qn)= ? 1 -1= ,得 a1 ? 3 1? q 2 2 1?1
a1 a a 1 1 -qn)= 1 - lim qn= ,得 0 ?| q |? 1 , 1 = 1? q 1 ? q n?? 1? q 2 2

当 q ? 1 时, lim (
n??

1 1 1 (1 ? q) ? (0, ) ? ( ,1) 2 2 2 1 1 综上所述, a1 ? (0, ) ? ( ,1) ? ?3? 2 2 a1 ?
26、已知各项均为正数的等比数列 {an } 的首项 a1 ? 1 ,公比为 q ,前 n 项和为 S n ,若 lim
n ??

S n ?1 ? 1 ,求 q 的取值范 Sn

围。 解:当 q ? 1 时, lim
n ??

S n?1 n ?1 ? lim ? 1,满足条件; n ? ? Sn n

当 q ? 1 时, lim

S n?1 1 ? q n?1 ? lim n?? S n?? 1 ? q n n S n?1 1 ? q n?1 ? lim ? 1 ,满足条件 n?? S n?? 1 ? q n n

1) 当 0 ?| q |? 1 时, lim

2) 当 q ? ?1 时, lim

S n?1 1 ? q n?1 ? lim ? q ? q ? 1 ,不满足条件 n?? S n?? 1 ? q n n

S n?1 1 ? q n?1 3) 当 q ? 1 时, lim ? lim ? q ? q ? 1 ,不满足条件 n?? S n?? 1 ? q n n
综上所述, q ? (?1,0) ? (0,1] 27、 {an } 是无穷等比数列,且所有项和存在,解答下列问题: ① 若 a1 ? a 2 ? ? ? a n ? ? ?

1 ,求 a1 的范围; 2

② 若 a1 ? a2 ? ? ? an ? ? ? 2a1 ,求公比 q 的范围。 ①解:由条件得 lim S n ?
n ??

a 1 1 ,即 1 ? ,由 q ? (?1,1) ,得 a1 ? (0,1) 2 1? q 2

②解:由条件得 lim S n ? 2a1 ,
n??

当 a1 ? 0 时, 1) 当 0 ?| q |? 1 时, lim S n ? 2a1 ? lim
n??

1? qn ?2 n?? 1 ? q

1? qn 1 1 lim ? ? q ? ( ,1) n ?? 1 ? q 1? q 2
2) 当 q ? 1 时, lim S n ? lim na1 ? 2a1 ,满足条件
n ?? n ??

3) 当 q ? 1 时, lim S n ? 2a1 ? lim
n??

1? qn ?2 n?? 1 ? q

n 趋近于无穷大时,

1? qn 无穷大,恒大于 2 1? q

4) 当 q ? ?1 时, lim S n ? 2a1 ? lim
n??

1? qn 1? qn 既可以趋近无穷大, ? 2 ,n 趋近于无穷大时, n?? 1 ? q 1? q

也可以趋近无穷小,不满足条件。 当 a1 ? 0 时, 1) 当 0 ?| q |? 1 时, lim S n ? 2a1 ? lim
n ??

1? qn ?2 n ?? 1 ? q

lim

1? qn 1 1 ? ? q ? (?1,0) ? (0, ) n?? 1 ? q 1? q 2
n ?? n ??

2) 当 q ? 1 时, lim S n ? lim na1 ? 2a1 ,满足条件

1? qn 1? qn 3) 当 q ? 1 时, lim S n ? 2a1 ? lim 无穷大,不合条件 ? 2 ,n 趋近于无穷大时, n ?? n ?? 1 ? q 1? q
4) 当 q ? ?1 时, lim S n ? 2a1 ? lim
n ??

1? qn 1? qn 既可以趋近无穷大, ? 2 ,n 趋近于无穷大时, n ?? 1 ? q 1? q
1 2

也可以趋近无穷小,不合条件

1?;当 a1 ? 0 时, q ? ( ,?? ) 综上所述,当 a1 ? 0 时, q ? (?1,0) ? (0, ) ? ?

1 2

28、已知数列{an}、{bn}都是无穷等差数列,其中 a1=3,b1=2,b2 是 a2 与 a3 的等差中项,且 lim 项

n??

an 1 = ,求{an}、{bn}的通 bn 2

解 : 设 等 差 数 列 {an} 的 公 差 为 a , {bn} 的 公 差 为 b , 则 an ? an ? (3 ? a) , bn ? bn ? (2 ? b) , 由 条 件 得

2b2 ? a2 ? a3 ? 2b ? 3a ? 2 ①
lim
n ??

an a 1 ? ? bn b 2



①,②联立得, a ? 2, b ? 4 所以 an ? 2n ? 1 , bn ? 4n ? 2

29、两个数列 ?an ? 、 ?bn ? 中, an ? 0,bn ? 0,且an,bn 2,an?1 成等差数列,且 bn , an?1,bn?1 成等比数列。
2 2

(一)

证明 ?bn ? 是等差数列;

(二)

若 a2 ? 3a1 ? 3,求 lim
2

n ??

b1 ? b2 ? … ? bn 的值。 an
① ②

(1)证明:由条件得, 2bn ? an ? an?1
2 2 2

an?1 ? bn ? bn?1 ? an?1 ? bn ? bn?1
? an ? bn?1 ? bn

2

②,③代入①,得 2bn ? bn?1 ? bn ? bn ? bn?1

? 2bn ? bn?1 ? bn
所以 ?bn ? 是等差数列 (2)由 2b1 ? a1 ? a2 ? b1 ?
2

2 ,由 a 2 ? b1 ? b2 ? b2 ?

3 2 , 2

得 bn ?

2 (n ? 1) 2
1 n(n ? 1) 2

由 a n ? bn ?1 ? bn ? a n ?

? ? 2 (n ? 1)? ? n ? 2? 2 b ? b2 ? … ? bn ? ? lim 2 (n ? 3) ? 2 lim 1 ? lim ? n ?? n ?? n ?? 2( n ? 1) an n(n ? 1) 2

30、已知 a ? R 且 lim

?

3n?1 ? 2a n 1 ? ? 1 1 ? 4 lim?1 ? ? ? ... ? (?1) n?1 ? n?1 ? ,求 a 的取值范围。 n n n?? 3 ? 2a n?? 3 ? ? 3 9

a 3 ? 2( ) n 1 3 ,当 0 ? a ? 1 ,即 0 ? a ? 3 时,左边=右边 ? 3 ,右边= lim 右边= 4 ? n ?? 1 a 3 1 ? (? ) 1 ? 2( ) n 3 3


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