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2014年高考一轮复习数学教案:4.30 两角和与差、二倍角的公式(二)


2014 年高考第一轮复习数学教案集

4.3

两角和与差、二倍角的公式(二)

●知识梳理 1.在公式 S(α +β ) (α +β ) (α +β )中,当α =β 时,就可得到公式 S2α 、C2α 、T2α ,在公 、C 、T 式 S2α 、C2α 中角α 没有限制在 T2α 中,只有当α ≠

/>kπ π π + 且α ≠kπ + 时,公式才成立. 2 4 2 2 2 2 2.余弦二倍角公式有多种形式即 cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin2α .变形公 1 ? cos 2? 1 ? cos 2? ,cos2α = .它的双向应用分别起到缩角升幂和扩角降幂作用. 2 2 ●点击双基
1.下列各式中,值为 A.sin15°cos15°
1 ? cos 30? 2

式 sin2α =

1 的是 2

π B.2cos2 12 -1

C.

D.

tan 22.5? 1 ? tan 2 22.5?

解析:

tan 22.5?
2

1 ? tan 22.5? 答案:D

=

1 1 tan45°= . 2 2
6 ,则 a、b、c 的大小关系是 6 B.a<c<b

2.设 a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c= A.a<b<c C.b<c<a

D.b<a<c

解析:a= 2 sin59°,c= 2 sin60°,b= 2 sin61°,∴a<c<b. 答案:B 3.若 f(tanx)=sin2x,则 f(-1)的值是 A.-sin2 B.-1 C.

1 2

D.1

解析:f(-1)=f[tan(- 答案:B

π π ) ]=-sin =-1. 4 2 3 π ? ,且α ∈(0, ) ,则 tan =____________. 5 2 2

4.(2005 年春季上海,13)若 cosα = 解析一:由 cosα =

3 π 4 ,α ∈(0, ) ,得 sinα = 1 ? cos 2 ? = , 5 2 5

3 1? 1 ? cos? 5=1. 2 = 2 = tan = = ? ? ? 4 2 2 sin? cos 2 sin cos 2 2 2 5

?

sin

?

2 sin 2

?

3 1 ? cos ? ? 5 =1. 解析二:tan = = 3 2 ? ? cos ? 2 1? 5 1?

答案:

1 2

5.(2005 年春季北京,11)已知 sin cos2θ 的值为____________.

? ? 2 3 +cos = ,那么 sinθ 的值为____________, 3 2 2

? ? 2 3 +cos = ,得 3 2 2 4 1 1+sinθ = ,sinθ = , 3 3 1 7 cos2θ =1-2sin2θ =1-2· = . 9 9 1 7 答案: 3 9
解析:由 sin ●典例剖析

π ]呢? 2 剖析:注意 sinx+cosx 与 sinx·cosx 之间的关系,进行换元可将原函数转化成一元二次 函数来解.
【例 1】 试求函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2 的最大值和最小值,若 x∈[0, 解:令 t=sinx+cosx= 2 sin(x+ 即最大值为 3+ 2 ,最小值为 3+ 2 ,而最小值是 3. 评述:此题考查的是换元法,转化思想,在换元时要注意变量的取值范围.

π 3 )∈[- 2 , 2 ] ,则 y=t2+t+1∈[ ,3+ 2 ] , 4 4

3 π .当 x∈[0, ]时,则 t∈[1, 2 ] ,此时 y 的最大值是 4 2

3π π 1 )cos(x- )=- ,求 cos4x 的值. 4 4 4 剖析:4x 为 2x 的二倍角,2x 为 x 的二倍角.
【例 2】 已知 sin(x- 解:由已知得 sin(x- ∴cos2(x-

π π π 1 - )cos(x- )=- , 2 4 4 4

π 1 )= . 4 4 π π 7 -2x)=2cos2( -x)-1=- . 2 4 8 98 17 =- . 64 32

∴sin2x=cos(

∴cos4x=1-2sin22x=1-

【例 3】 已知α 为第二象限角,cos +cos2α 的值.

?
2

+sin

?
2

=-

5 ? ? ,求 sin -cos 和 sin2α 2 2 2

解:由 cos

?
2

2 5 1+2sin cos = , 2 2 4

+sin

?

=-

5 平方得 2

?

?

15 1 ,cosα =- . 4 4 π π ? 此时 kπ + < <kπ + . 4 2 2

即 sinα =

∵cos

?
2

2 ? ? 1 sin cos = >0, 2 2 8
∴cos ∴

+sin

?

=-

5 <0, 2

?
2

<0,sin

?
2

<0.

?
2

为第三象限角.

∴2kπ + ∴sin

3π 5π ? < <2kπ + ,k∈Z. 2 4 2

?
2

<cos

?
2

, <0. =- 1 ? sin? =-
3 , 2 7 ? 15 . 8

即 sin ∴sin

?
2

-cos -cos

?
2

?
2

?
2

sin2α +cos2α =2sinα cosα +1-2sin2α = 评述:由三角函数值判断 ●闯关训练 夯实基础 1.已知 f(x)= 1 ? x ,当θ ∈( A.2sinθ

?
2

的范围是关键.

3π 5π , )时,f(sin2θ )-f(-sin2θ )可化简为 2 4 B.-2cosθ C.-2sinθ D.2cosθ

解析:f(sin2θ )-f(-sin2θ )= 1 ? sin 2? - 1 ? sin 2? =|sinθ -cosθ |-|sinθ + cosθ |. ∵θ ∈(

3π 5π , ) , 2 4

2 <cosθ <0. 2 ∴cosθ -sinθ >0,cosθ +sinθ <0.

∴-1<sinθ <-

∴原式=cosθ -sinθ +cosθ +sinθ =2cosθ . 答案:D

2.(2005 年春季上海,14)在△ABC 中,若 A.直角三角形 C.钝角三角形 解析:由 又 ∴

a b c = = ,则△ABC 是 cos A cos B cos C B.等边三角形 D.等腰直角三角形

a cos A a b = ,得 = . b cos B cos A cos B

a sin A a b = ,∴ = . b sin B sin A sin B

sin A cos A = .∴sinAcosB=cosAsinB, sin B cos B sin(A-B)=0,A=B.同理 B=C. ∴△ABC 是等边三角形. 答案:B
3.若 8cos(

π π +α )cos( -α )=1,则 sin4α +cos4α =_______. 4 4 π π -α )cos( -α )=1, 4 4

解析:由已知得 8sin( ∴4sin(

π 1 -2α )=1.∴cos2α = . 2 4 1 2 1 sin 2α =1- (1-cos22α ) 2 2

sin4α +cos4α =(sin2α +cos2α )2-2sin2α cos2α =1- =1-

1 1 1 15 17 (1- )=1- × = . 2 16 2 16 32 17 32
2 cos 2 x ? sin x ? 1 2 =_______. sin x ? cos x

答案:

4.若 tanx= 2 ,则

解析:原式=

2 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2 (1 ? 2) = = = =2 2 -3. ?1 cos x ? sin x 1 ? tan x 1 ? 2

答案:2 2 -3

(sin x ? cos x ? 1 )(sin x ? cos x ? 1 ) 5.化简 . sin 2x
x x (sin x ? 1 ? 2 sin 2 ? 1 )(sin x ? 1 ? 2 sin 2 ? 1 ) 2 2 解:原式= sin 2 x

x x x x x x (2 sin cos ? 2 sin 2 )(2 sin cos ? 2 sin 2 ) 2 2 2 2 2 2 = x x 4 sin cos cos x 2 2

x x x x x (cos ? sin )( cos ? sin ) sin ? 2 2 2 2 2 = x cos cos x 2
x x x x (cos 2 ? sin 2 ) sin cos x ? sin 2 2 2= 2 =tan x . = x x 2 cos ? cos x cos ? cos x 2 2
6.(2004 年江苏,17)已知 0<α < 解:由已知 tan ∵0<α <

π π ? ? 5 ,tan +cot = ,求 sin(α - )的值. 2 3 2 2 2

?
2

+cot

?
2

=

5 4 2 = ,得 sinα = . 5 sin? 2

π 3 ,∴cosα = 1 ? sin2 ? = . 2 5 π π π )=sinα ·cos -cosα ·sin 3 3 3

从而 sin(α - =

3 1 4 1 3 × - × = (4-3 3 ). 2 10 5 2 5 培养能力

7.已知 f(x)=2asin2x-2 2 asinx+a+b 的定义域是[0, b 的值. 解:令 sinx=t,∵x∈[0,

π ] ,值域是[-5,1] ,求 a、 2

π ] ,∴t∈[0,1] , 2

f(x)=g(t)=2at2-2 2 at+a+b =2a(t-
2 2 ) +b. 2

?b ? ?5, 当 a>0 时,则 ? ?a ? b ? 1,

解之得 a=6,b=-5.
?b ? 1, 当 a<0 时,则 ? ?a ? b ? ?5,

解之得 a=-6,b=1. 8.(2004 年湖北,17)已知 6sin 2 α +sinα cosα -2cos 2 α =0,α ∈[ sin(2α +

π ,π ) ,求 2

π )的值. 3 分析: 本题考查三角函数的基本公式以及三角函数式的恒等变形等基础知识和基本运算 技能. 解法一:由已知得(3sinα +2cosα ) (2sinα -cosα )=0 ? 3sinα +2cosα =0 或 2sinα -cosα =0.

由已知条件可知 cosα ≠0,所以α ≠ 于是 tanα <0,∴tanα =- sin(2α +

π π ,即α ∈( ,π ). 2 2

2 . 3

π π π )=sin2α cos +cos2α sin 3 3 3
3 (cos2α -sin2α ) 2

=sinα cosα +

=

sin? cos ? cos 2 ? ? sin 2 ?

+

cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 3 3 tan ? × = + × . 2 2 cos 2 ? ? sin 2 ? ? ? tan 2 ? ? ? tan 2 ?

将 tanα =

2 代入上式得 3

π sin(2α + )= 3

2 (? ) 1? ? ( 3 3 + × 2 2 2 1? ? ) ( 1? ? ( 3

2 2 ) 3 =- 6 + 5 3 ,即为所求. 2 2 13 26 ) 3
π , 2

解法二:由已知条件可知 cosα ≠0,则α ≠ ∴原式可化为 6tan2α +tanα -2=0, 即(3tanα +2) (2tanα -1)=0.

π 2 ,π ).∴tanα <0,∴tanα =- . 2 3 下同解法一. 探究创新 9.将一块圆心角为 120°,半径为 20 cm 的扇形铁片截成一块矩形,如图,有 2 种裁法: 让矩形一边在扇形的一半径 OA 上或让矩形一边与弦 AB 平行,请问哪种裁法能得到最大面 积的矩形,并求出这个最大值.
又∵α ∈(
B M B M

O

A

O

A





解:对图甲,设∠MOA=θ ,则 S1=200sin2θ . ∴当θ =45°时, 1)max=200 cm2. (S 对图乙,设∠MOA=α , 则 S2=
800 3 [cos(2α -60°)-cos60°]. 3 400 3 cm2. 3

当α =30°时, 2)max= (S ∵

400 3 >200,∴用乙种方法好. 3 ●思悟小结

1.化简要求:

(1)能求出值的应求出值. (2)使三角函数种数尽量少. (3)使项数尽量少. (4)尽量使分母不含三角函数. (5)尽量使被开方数不含三角函数. 2.常用方法: (1)直接应用公式. (2)切割化弦,异名化同名,异角化同角. (3)形如 cosα cos2α cos22α …cos2nα 的函数式,只需将分子、分母分别乘以 2n+1sin α ,应用二倍角正弦公式即可. ●教师下载中心 教学点睛 1.公式的熟与准,要依靠理解内涵,明确联系应用,练习尝试,不可机械记忆. 2.要重视对遇到的问题中角、函数名及其整体结构的分析,提高公式选择的恰当性,有 利于缩短运算程序,提高学习效率. 3.角的变换体现出将未知转化为已知的思想方法, 这是解决三角中关于角的变换问题常 用的数学方法之一. 拓展题例 【例 1】 若 sinα cosβ = 解:令 t=cosα sinβ ,则 ∴t=

1 ,求 cosα sinβ 的取值范围. 2 1 1 t= sin2α sin2β . 2 4

1 1 1 sin2α sin2β ∈[- , ]. 2 2 2 3 3 x x,sin x) ,b=(cos , 2 2 2

【例 2】 (2004 年东北三校高三第一次联考题)已知 a=(cos -sin

x π ) ,x∈[0, ]. 2 2 (1)求 a·b 及|a+b|;
(2)若 f(x)=a·b-2λ |a+b|的最小值是- 解: (1)a·b=cos

3 ,求λ 的值. 2

3 x 3 x xcos -sin xsin =cos2x. 2 2 2 2

|a+b|= (cos

3 x 2 3 x 2 π x ? cos ) ? sin x ? sin ) =2 cos2 x =2cosx(∵x∈[0, ] ( ). 2 2 2 2 2

(2)f(x)=cos2x-4λ cosx=2(cosx-λ )2-1-2λ 2.

π ] ,∴cosx∈[0,1]. 2 ①当λ <0,cosx=0 时,f(x)min=-1,矛盾.
∵x∈[0, ②当 0≤λ ≤1,cosx=λ 时,f(x)min=-1-2λ 2,由-1-2λ 2=- ③当λ >1,cosx=1 时,f(x)min=1-4λ ,

3 1 ,得λ = . 2 2

由 1-4λ =- 综上,λ =

3 5 ,得λ = <1,矛盾. 2 8

1 为所求. 2


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