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贵州省安顺市平坝第一高级中学2016届高三数学上学期第四次月考试题 理


平坝第一高级中学 2015-2016 学年度第一学期第四次月考试卷 高三(理科)数学
(本试卷分选择题与非选择题两部分,满分 150 分;考试时间 120 分钟) 第 I 卷 (选择题, 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,第小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.
2 (1)集合 P ? { x x ?

x ? 0} , Q ? {x y ? lg( x ?1)} ,则 P ? Q ?

(A) {x x ? 1 }

(B) {x x ? 1 }

(C) {x x ? ?1 }



D



{x x ? ?1 }
(2)等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S 3 = 9 , a1 = 4 ,则公差 d 等于 (A) ?1 (B) 1 (C)

5 2

(D) 4

? (3)在 ?ABC 中, AB ? 3 , AC ? 1 , B ? 30 , ?ABC 的面积为

3 ,则角 C ? 2
(D) 30 或 150
?
?

(A) 30

?

(B) 60

?

(C) 60 或 120

?

?

x2 y 2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为 (4)双曲线 4 12
(A) 2 3 (B) 2 (C) 3 (D) 1

2 (5)设定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x) ? x ? 4( x ? 0) ,则 f ( x ? 2) ? 0 的解集为

(A) (?2, 2)

(B) (?4, 4)

(C) (0, 2) ? (4, ??) (

D



(?2, 0) ? (2, ??)
(6)将函数 f ?x ? ? sin?2 x ? ? ? 的图象向左平移 称,则 ? 的一个可能取值为 (A) ?

? 个单位,所得到的函数图象关于 y 轴对 8
? 4
3? 4

?
4

(B) 0

(C)

(D)

?x ? y ? 1 ? 0 ? 2 2 (7)变量 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ,则 z ? ( x ? 1) ? y 的最小值为 ? x ? ?1 ?
1

(A) 0

(B)

1 2

(C) 2
2

(D) 2

(8)直线 l : y ? kx ? 1 与圆 O : x2 ? y 2 ? 1 相交于 A, B 两点,则“ k ? 1 ”是“ ?OAB 的 面积为

1 ”的 2
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(9)如图, ?AOB 为等腰直角三角形, OA ? 1 , OC 为斜边 AB 的高, P 为线段 OC 的 中点,则 AP ? OP ?

A
(B) ?

1 8 1 (C) ? 2
(A) ?

1 4
P

C
B
P

(D) ? 1

O

?PAB 和 ?PAD ?ABC ? ?BAD ? 90? ,BC ? 2 AD , (10) 如图, 四棱锥 P ? ABCD 中,
都是等边三角形,则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为 (A) 30
?

(B) 45 (D) 90

?

D

A
B

(C) 60

?

?

C

(11)已知抛物线 C : y ? 8x 的焦点为 F ,准线为 l , P 是 l 上一点, Q 是直线 PF 与 C
2

的一个交点,若 PF ? 3QF ,则 QF = (A)

5 2

(B)

8 3

(C) 3

(D) 6

(12)设 f ( x) ? lg x ,若函数 g ( x) ? f ( x) ? ax 在区间 (0,4) 上有三个零点,则实数 a 的 取值范围是 (A) (0, )

1 e

(B) (

lg 2 l g e , ) 2 e

(C) (

lg 2 , e) 2

(D) (0,

lg 2 ) 2

第Ⅱ卷 (非选择题, 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题 卡相应的位置上. ) (13)正项等比数列 ?an ? 中, a 2 ? 4 , a4 ? 16 ,则数列 ?an ? 的前 9
2

项和等于

. .

(14)某几何体的三视图如图所示,则它的体积为 (15)已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 ,点 M 与 C 的焦点不重合,若 M 关 16 12

于 C 的两焦点的对称点分别为 P , Q ,线段 MN 的中点在 C 上, 则 | PN | ? | QN |? .

( 16 )定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 [ a, b] 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 [ a, b] 上的“平均值函数” , x0 是它的一 b?a

个均值点,例如 y ? x 2 是 [ ?1,1] 上的平均值函数, 0 就是它的均值点.现有函数

f ( x) ? x 3 ? mx是 [ ?1,1] 上的平均值函数,则实数 m 的取值范围是



三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) (17) (本小题满分 12 分) 设 ?ABC 是锐角三角形,三个内角 A , B , C 所对的边分别记为 a , b , c ,并且

(sin A ? sin B)(sin A ? sin B) ? sin(
(Ⅰ)求角 A 的值;

?
3

? B) sin(

?
3

? B) .

(Ⅱ)若 AB ? AC ? 12 , a ? 2 7 ,求 b , c (其中 b ? c ) .

(18) (本小题满分 12 分) 已 知 首 项 都 是 1 的 两 个 数 列 {an } , {bn } (bn ? 0, n ? N ? ) 满 足

anbn?1 ? an? b ? 0. 1 n ? 2bn? bn 1
(Ⅰ)令 cn ?

an ,求证:数列 {cn } 是等差数列,并写出 {cn } 的通项公式; bn

(Ⅱ)若 bn ? 3n?1 ,求数列 {an } 的前 n 项和 Sn .

(19)(本小题满分 12 分) 在平面四边形 ABCD 中,AB ? BD ? CD ? 1 ,AB ? BD , CD ? BD .将 ?ABD 沿 BD
3

折起,使得 平面 ABD ? 平面 BCD ,如图所示. (Ⅰ)求证: AB ? CD ; (Ⅱ)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

(20)(本小题满分 12 分)

x2 y2 ? ? 1 在第一象限的交点为 B ,O 为 16 12 y 8 6 B 坐标原点, A 为椭圆的右顶点, ?OAB 的面积为 . 3
如图,抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 与椭圆 C 2 : (Ⅰ)求抛物线 C1 的方程; (Ⅱ)过 A 点作直线 l 交 C1 于 C 、 D 两点, 求 ?OCD 面积的最小值.

C

O
D

A

x

(21)(本小题满分 12 分)
2 2 设函数 f ( x) ? ax ln x ? b( x ? 1) ( x ? 0) ,曲线 y ? f ( x) 过点 (e, e ? e ? 1) ,且在点

(1,0) 处的切线方程为 y ? 0 .
(Ⅰ)求 a , b 的值;
2 (Ⅱ)证明:当 x ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1) ; 2 (Ⅲ)若当 x ? 1 时, f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求实数 m 的取值范围.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
4

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形,延长 BA 和 CD 相交于点 P ,

PA 1 ? , PB 4

PD 1 ? . PC 2
(Ⅰ)求

AD 的值; BC

B

(Ⅱ)若 BD 为⊙ O 的直径,且 PA ? 1 ,求 BC 的长.

?O
D

A
P

C
(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 2 x? t ? ? 2 已知在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程是 ? ( t 是参数) , ?y ? 2 t ? 4 2 ? 2 ?
以原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程

? ? ? 2 cos( ? ? ) .
4
(Ⅰ)判断直线 l 与曲线 C 的位置关系; (Ⅱ)设 M 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? x ? 2 . (Ⅰ)解不等式 f ( x) ? 0 ; (Ⅱ)若存在实数 x ,使得 f ( x) ? x ? a ,求实数 a 的取值范围.

5

2015—2016 学年度第一学期第四次月考考试 高三数学(理科)参考答案 一、选择题(本题包括 12 小题,每小题只有一个选项符合题意,每小题 5 分,共 60 分。 题号 (1) 答案 D (2) A (3) B (4) A (5) C (6) C (7) D (8) C (9) ) A D ) B ) B (10 (11 (12

二、填空题: 13. 1022 三、解答题: 17.解:(Ⅰ) sin 2 A ? ( 14.

8? 3

15. 16

16. ( ?3, ? ]

3 4

3 1 3 1 cos B ? sin B) ? ( cos B ? sin B) ? sin 2 B 2 2 2 2

?

3 3 (cos 2 B ? sin 2 B ) ? , 4 4
3 ? ,? A ? . 3 2

? sin A ?

??????????

6分

(Ⅱ) AB ? AC ? b cos A ? 12 ,? bc ? 24 , 又 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? (b ? c) 2 ? 3bc ,? b ? c ? 10 ,

? b ? c ,? b ? 4 , c ? 6 .??????????
18.解: (Ⅰ)因为 anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0,bn≠0(n∈N ),所以 =2,
*

12 分

an+1 an - =2,即 cn+1-cn bn+1 bn

所以数列{cn}是以 c1=1 为首项, d=2 为公差的等差数列, 故 cn=2n-1. ????? 6分 (Ⅱ)由 bn=3 ,知 an=(2n-1)3 ,于是数列{an}的前 n 项和 Sn=1×30+3×31+5×32+?+(2n-1)×3n-1, 1 2 n-1 n 3Sn=1×3 +3×3 +?+(2n-3)×3 +(2n-1)×3 , 1 2 n-1 n n 将两式相减得-2Sn=1+2×(3 +3 +?+3 )-(2n-1)×3 =-2-(2n-2)×3 , n 所 以 Sn = (n - 1)3 + 1. ?????????? 12 分
n-1 n-1

6

19.解: (Ⅰ)证明:∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD, AB? 平面 ABD,AB⊥BD, ∴AB⊥平面 BCD. 又 CD? 平面 BCD,∴AB⊥CD. ?????????? 5 分 (Ⅱ)过点 B 在平面 BCD 内作 BE⊥BD. 由(1)知 AB⊥平面 BCD,BE? 平面 BCD,BD? 平面 BCD,∴AB⊥BE,AB⊥BD. → → → 以 B 为坐标原点,分别以BE,BD,BA的方向为 x 轴,y 轴,z 轴的正方向建立空间直角 坐标系(如图所示).

? 1 1? 依题意,得 B(0,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A(0,0,1),M?0, , ?. ? 2 2?
→ → ? 1 1? → 则BC=(1,1,0),BM=?0, , ?,AD=(0,1,-1). ? 2 2? 设平面 MBC 的法向量 n=(x0,y0,z0), x0+y0=0, → ? ? ?n·BC=0, ? 则? 即?1 1 y0+ z0=0, ?n·→ BM=0, ? ? 2 ?2 取 z0=1,得平面 MBC 的一个法向量 n=(1,-1,1). 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ , → |n·AD| 6 则 sin θ = cos〈n,→ = = . AD〉 → 3 |n|·|AD|

|

|

即直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值为

6 . ?????????? 3

12 分

20. 解: (Ⅰ)因为 ?OAB 的面积为

8 6 4 6 ,所以 y B ? ,?????2 分 3 3

代入椭圆方程得 B( ,
2

4 4 6 ), 3 3
?????6 分

抛物线的方程是: y ? 8x (Ⅱ) 直线 CD 斜率不存在时, S?OCD ? 16 2 ;

直线 CD 斜率存在时,设直线 CD 方程为 y ? k ( x ? 4) ,带入抛物线,得

ky2 ? 8 y ? 32k ? 0
1 1 S?OCD ? OA y1 ? y2 ? 16 2 ? 2 ? 16 2 , 2 k

7

综上 S?OCD 最小值为 16 2 .

?????12 分

21.解:(Ⅰ) f ?( x) ? 2a ln x ? ax ? b ,

? f ?(1) ? a ? b ? 0 , f (e) ? ae2 ? b(e ?1) ? a(e2 ? e ? 1) ? e2 ? e ? 1
? a ? 1 , b ? ?1 .????????????4 分
(Ⅱ) f ( x) ? x2 ln x ? x ? 1 , 设 g ( x) ? x2 ln x ? x ? x 2 , ( x ? 1) , g ?( x) ? 2 x ln x ? x ? 1

( g ?( x))? ? 2ln x ? 0 ,? g ?( x ) 在 ?0,??? 上单调递增,

? g ?( x) ? g ?(1) ? 0 ,? g ( x) 在 ?0,??? 上单调递增,? g ( x) ? g (1) ? 0 .
? f ( x) ? ( x ? 1)2 .????????????8 分
(Ⅲ)设 h( x) ? x2 ln x ? x ? m( x ?1)2 ? 1 ,

h?( x) ? 2 x ln x ? x ? 2m( x ? 1) ? 1 ,
(Ⅱ) 中知 x2 ln x ? ( x ?1)2 ? x ?1 ? x( x ?1) ,? x ln x ? x ? 1 ,

? h?( x) ? 3( x ? 1) ? 2m( x ? 1) ,
① 当 3 ? 2m ? 0 即 m ?

3 时 , h ?( x) ? 0 , ? h( x) 在 [1, ??) 单 调 递 增 , 2

? h( x) ? h(1) ? 0 ,成立.
②当 3 ? m ? 0 即 m ?

3 时, h?( x) ? 2 x ln x ? (1 ? 2m)( x ? 1) , 2
2 m?3 2

(h?( x))? ? 2ln x ? 3 ? 2m ,令 (h?( x)) ? 0 ,得 x0 ? e

? 2 ?1,

当 x ??1, x0 ? 时, h?( x) ? h?(1) ? 0 ,? h( x) 在 ?1, x0 ? 上单调递减? h( x) ? h(1) ? 0 ,不 成立. 综上, m ?

3 .????????????12 分 2

22. (Ⅰ)由 ? PAD ? ?PCB , ?A ? ?A ,得 ?PAD 与 ?PCB 相似,

8

设 PA ? x, PD ? y 则有

x y ? ? y ? 2x , 2 y 4x
????????????5 分

所以

AD x 2 ? ? BC 2 y 4
?

(Ⅱ) ?C ? 90 , PA ? 4, PC ? 2 2,BC ? 2 2 ????????????10 分

23.解:(Ⅰ)直线 l 的普通方程为 x ? y ? 4 2 ? 0 曲线 C 的直角坐标系下的方程为 ( x ?

2 2 2 2 ) ? (y ? ) ?1 2 2

圆心 (

5 2 2 2 ? 5 ?1 ,? ) 到直线 x ? y ? 4 2 ? 0 的距离为 d ? 2 2 2

所以直线 l 与曲线 C 的位置关系为相离. ?????5 分 (Ⅱ)设 M (

2 2 ? cos ? , ? ? sin ? ) , 2 2

则 x ? y ? cos ? ? sin ? ?

? 2 sin(? ? ) ? ? ? 2, 2 ? ? .?????10 分 4 ?

24. (Ⅰ)① 当 x ? ?

1 时, ?1 ? 2 x ? x ? 2 ? x ? ?3 ,所以 x ? ?3 2 1 1 ② 当 ? ? x ? 0 时, 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? ,所以为 ? 2 3 ③ 当 x ? 0 时, x ? 1 ? 2 ? x ? 1 ,所以 x ? 1
综合①②③不等式的解集为 ? ??, ?3? ??1, ??? ?????5 分

(Ⅱ)即 2 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? a ? x ?

1 a ? x ? 1? 2 2
1 a ? 1 ? ? a ? ?3 ???????10 分 2 2

由绝对值的几何意义,只需 ?

9


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