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2013年全国高中数学联赛江西省预赛试题


2013 年全国高中数学联赛江西省预赛试题
一、填空题(每题 8 分)

1 、若 2013 的每个质因子都是某个正整数等差数列 ?an ? 中的项,则 a2013 的最大值
是 .

1 2 3 2 、若 a, b, c ? 0 , ? ? ? 1 ,则 a ? 2b ? 3c 的最小值为 a b c
?1

2 3 ? n ? 1? ,则 S2013 ? 3 、若 Sn ? n !? ? ? ? ? ? ? (n ? 1)! ? ? 2! 3! 4!




4 、如果一个正方体 X 与一个正四面体 Y 的表面面积(各面面积之和)相等,则其体
积之比

Vx ? Vy



5 、若椭圆中心到焦点,到长、短轴端点,以及到准线距离皆为正整数,则这四个距离
之和的最小值是 . .

6 、函数 f ( x) ? 3x ? 6 ? 3 ? x 的值域是
则这种“山寨质数”的个数是 .

, 7 、设合数 k 满足: 1 ? k ? 100 ,而 k 的数字和为质数,就称合数 k 为“山寨质数”

8 、将集合 ?1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 中的元素作全排列,使得除了最左端的一个数之外,对 ?
于其余的每个数 n ,在 n 的左边某个位置上总有一个数与 n 之差的绝对值为1 ,那么,满足 条件的排列个数为 . 二、解答题 (20 9 、 分)设直线 x ? y ? 1与抛物线 y 2 ? 2 px ( p ? 0) 相交于点 A, B ,若 O ?O , A B 求抛物线方程以及 ?OAB 的面积. (20 分)如图,四边形 ABCD 中, E , F 分 10 、 别是 AD, BC 的中点, P 是对角线 BD 上的一点; 直线 EP, PF 分别交 AB, DC 的延长线于 M , N .
M P B F N C A

E D

证明:线段 MN 被直线 EF 所平分. (20 分)在非钝角三角形 ABC 中,证明: sin A ? sin B ? sin C ? 2 . 11、 (26 分)试确定,是否存在这样的正整数数列 ? an ? ,满足: a2013 ? 2013 ,且对 12 、 每个 k ? ?2, 3,? , 2013 ,皆有 ak ? ak ?1 ? 20 或 13 ;而其各项 a1 , a2 ,? , a2013 的值恰好构 ? 成 1, 2,?, 2013 的一个排列?证明你的结论.

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