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【南方凤凰台】(江苏专用)2017版高考数学大一轮复习 第九章 立体几何初步单元小练 文


单元小练 9 立体几何初步
一、 填空题 1.已知某圆锥的轴截面为边长为2的等边三角形,那么该圆锥的体积等于 .

2.已知正四棱锥的底面边长是6,高为 7 ,那么这个正四棱锥的侧面积是



3.若一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2 ,则原梯形的面积 为 .

(第3题)

4.设α ,β 分别为两个不重合的平面,直线l 条件.

?

α , 则 “l⊥β ” 是 “α ⊥β ” 的

5.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则 线段EF的长度等于 .

(第5题)

6.已知某正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面 积为 .

7 .已知两个不重合的平面 α , β ,两条不同的直线 a , b ,若 a ? α , b ? α ,则“a∥β ,

b∥β ”是“α ∥β ”的

条件.

1

8.给出下列命题:①在正方体上任意选择4个不共面的顶点,它们可能是正四面体的4个顶 点;②底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥;③若某四棱柱有两个侧 面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱.其中正确的命题是 .(填序号)

9 .如图,在棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,点 E , F 分别是棱 BC , CC1 的中点, P 是侧面 BCC1B1内一点,若A1P∥平面AEF,则线段A1P长度的取值范围是 .

(第9题)

10.对于空间三条直线,有下列四个条件:①三条直线两两相交且不共点;②三条直线两两平 行;③三条直线共点;④有两条直线平行,第三条直线和这两条直线都相交.其中使三条直线 共面的充分条件有 .(填序号)

二、 解答题 11 .如图,已知在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,∠ABC=45°, DC=1 , AB=2,PA⊥平面ABCD,PA=1.

(第11题) (1)求证:AB∥平面PCD; (2)求证:BC⊥平面PAC;

2

12.如图,已知在平行四边形ABCD中,BC=6,正方形ADEF所在平面与平面ABCD垂直,G,H分别 是DF,BE的中点. (1)求证:GH∥平面CDE; (2)若CD=2,DB=4 2 ,求四棱锥F-ABCD的体积.

(第12题)

13.如图所示的几何体为一简单组合体,其底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,EC∥PD且PD=2EC. (1)若点N为线段PB的中点,求证:NE⊥PD; (2)若矩形ABCD的周长为10,PD=2,求该组合体体积的最大值.

(第13题)

【单元小练答案】 单元小练9 立体几何初步

1.

3π 3

1 3π 【解析】V= 3 ·π · 3 = 3 .

1 2. 48 【解析】根据题意可知侧面的高h'= 3 ? 7 =4,所以侧面积S=4× 2 ×4×6=48.
2

3

3. 4 【解析】已知直观图为等腰梯形,若上底设为x,高设为y,则S直观图

1 1 = 2 y(x+2y+x)= 2 ,而原梯形为直角梯形,其面积S= 2 ·2 2 y(x+2y+x)=2 2 × 2 =4.
4. 充分不必要 【解析】依题意,由l⊥β ,l ? α 可以推出α ⊥β ;反过来,由α ⊥β ,

l ? α 不能推出l⊥β .因此“l⊥β ”是“α ⊥β ”的充分不必要条件.

5.

2

【解析】由于在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,所以AC=2 2 .又EF∥平面AB1C,EF ?

平面ADC,平面ADC∩平面AB1C=AC,且E为AD的中点,所以EF∥AC,所以F为DC的中点,所以

1 EF= 2 AC= 2 . 81π 6. 4 9 81 2 【解析】设球的半径为R,则(4-R) +( 2 ) =R ,所以R= 4 ,所以S球=4π R = 4 π .
2 2 2

7. 必要不充分 【解析】由平面与平面平行的判定定理可知,若直线a,b是平面α 内两条相 交直线,且有“a∥β ,b∥β ”,则有“α ∥β ”;当α ∥β ,若a ? α ,b ? α ,则有 “a∥β ,b∥β ”,因此“a∥β ,b∥β ”是“α ∥β ”的必要不充分条件.

8. ① 【解析】①正确,正四面体是每个面都是等边三角形的四面体,如正方体ABCD-A1B1C1D1 中的四面体A-CB1D1;②错误,反例如图所示,底面三角形ABC为等边三角形,可令 AB=VB=VC=BC=AC,则△VBC为等边三角形,△VAB和△VCA均为等腰三角形,但不能判定其为正 三棱锥;③错误,必须是相邻的两个侧面.

(第8题)

4

?3 2 5 ? , ? ? 4 2 ? 9. ?

【解析】取B1C1的中点M,连接A1M,则A1M∥AE;取BB1的中点N,连接MN,则

MN∥EF,所以平面A1MN∥平面AEF.若A1P∥平面AEF,只需P∈MN,则P位于MN中点时,A1P最短;

?3 2 5 ? , ? ? 4 2 ? ? 当P位于M或N时,A1P最长.不难求得A1P的取值范围为 .

10. ①④ 【解析】易知①中的三条直线一定共面,故①正确;三棱柱的三条侧棱两两平行, 但不共面,故②错;三棱锥的三条侧棱交于一点,但不共面,故③错;④中两条直线平行可确 定一个平面,第三条直线和这两条直线相交于两点,则第三条直线也在这个平面内,故三条直 线共面,故④正确. 11. (1) 因为AB∥CD,CD ? 平面PCD, AB ? 平面PCD, 所以AB∥平面PCD. (2) 如图,在直角梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB于点E,则四边形ADCE为矩形,所以AE=DC=1, 又AB=2, 所以BE=1.

(第11题) 在Rt△BEC中,∠ABC=45°, 所以CE=BE=1,CB= 2 , 在Rt△ACE中,AC=
2 2 2

AE 2 ? CE 2 = 2 ,

所以AC +BC =AB ,所以BC⊥AC. 又PA⊥平面ABCD,BC ? 平面ABCD, 所以BC⊥PA. 又PA∩AC=A,PA,AC ? 平面PAC,所以BC⊥平面PAC.

5

12. (1) 方法一:因为EF∥AD,AD∥BC, 所以EF∥BC. 又EF=AD=BC, 所以四边形EFBC是平行四边形, 所以H为FC的中点. 又因为G是FD的中点,所以HG∥CD. 因为HG ? 平面CDE,CD ? 平面CDE, 所以GH∥平面CDE.

(第12题) 方法二:如图,连接EA,因为四边形ADEF是正方形,所以G是AE的中点. 又H是BE的中点, 所以在△EAB中,GH∥AB. 又因为AB∥CD,所以GH∥CD. 因为HG ? 平面CDE,CD ? 平面CDE, 所以GH∥平面CDE. (2) 因为平面ADEF⊥平面ABCD,平面ADEF∩平面ABCD=AD, 且FA⊥AD,所以FA⊥平面ABCD. 因为AD=BC=6,所以FA=AD=6.
2 2 2 又因为CD=2,DB=4 2 ,CD +DB =BC ,所以BD⊥CD,

所以S ? ABCD=CD·BD=8 2 ,

1 1 V 所以 FABCD = 3 S ? ABCD·FA= 3 ×8 2 ×6=16 2 .
13. (1) 如图,连接AC,BD,使AC∩BD=F,则F为BD的中点,连接NF.

6

(第13题) 因为N为线段PB的中点,

1 所以NF∥PD且NF= 2 PD. 1 又EC∥PD且EC= 2 PD,
所以NF EC,

所以四边形NFCE是平行四边形, 所以NE∥FC,即NE∥AC. 又PD⊥平面ABCD,AC ? 平面ABCD, 所以PD⊥AC. 又NE∥AC, 所以NE⊥PD. (2) 该简单组合体可看成是由三棱锥P-ABD和四棱锥B-PDCE组合而成的. 因为矩形ABCD的周长为10,设AB=x(0<x<5),则CD=x,AD=BC=5-x,

1 V 所以 PABD = 3 S
所以PD⊥BC.

1 1 1 3 · 2 ·AD·AB·PD= 3 (5-x)x. △ABD·PD=

因为PD⊥平面ABCD,BC ? 平面ABCD,

又因为BC⊥CD,PD∩CD=D, PD,CD ? 平面PDCE, 所以BC⊥平面PDCE,

1 1 1 1 1 V 所以 BPDCE = 3 · 2 ·(CE+PD)·CD·BC= 3 · 2 ·3·x·(5-x)= 2 (5-x)x,
所以简单组合体的体积为

7

5 ? 5 ? 125 5 5 ? x- ? V V 6 PABD BPDCE 6 6 V= + = x(5-x)=- x(x-5)=- ? 2 ? + 24 .
因为0<x<5,

2

5 125 所以当x= 2 时,该简单组合体的体积最大,最大值为 24 .

8



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