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高一数学


复习回顾:
圆的标准方程的形式是怎样的?

2 ? ( y ? b) 2 ? 2 ( x ? a) r
其中圆心的坐标和半径各是什么?

?a, b ?

r

想一想,若把圆的标准方程 2 ? ( y ? b) 2 ? 2 ( x ? a) r

展开后,会得出怎样的形式?

2 ? y 2 ? 2ax ? 2by ? a 2 ? b 2 ? r 2 ? 0 x
令 ? 2a ? D,?2b ? E , a ? b ? r ? F得
2 2 2

2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 x

再想一想,是不是任何一个形如:

x

2

?

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

的方程表示的曲线都是圆?
将上式配方整理可得:

2 2 D 2 ? E 2 ? 4F D E (x? ) ? ( y ? ) ? 4 2 2

D 2 E 2 D 2 ? E 2 ? 4F (x? ) ? ( y ? ) ? 4 2 2

(1)当D ? E ? 4F ? 0时,
2 2

方程x

2

?

y
1 2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0表示以点( ? D 2 ? E 2 ? 4 F 为半径的圆。

D E , ? )为圆心, 2 2

(2)当D2 ? E 2 ? 4F ? 0时,
方程x ?
2

y

2

D E ? Dx ? Ey ? F ? 0表示点(? , ? ) 2 2
2

(3)当D ? E ? 4F ? 0时,
2

方程x ?

2

y

2

? Dx ? Ey ? F ? 0不表示任何图形.

圆的一般方程:
x2 +y
2+Dx+Ey+F=0

(D2+E2-4F>0)

圆的一般方程与标准方程的关系:

1 D 2 ? E 2 ? 4F (1)a=-D/2,b=-E/2,r= 2 (2)标准方程易于看出圆心与半径

一般方程突出形式上的特点:
x2与y2系数相同并且不等于0; 没有xy这样的二次项

[定义] : 圆的一般方程

?

x

2

?

y
2

2

? Dx ? Ey ? F ? 0

D ? E ? 4F ? 0
2 2
2

思 方程Ax ? Bxy ? Cy ? Dx ? Ey ? F ? 0 考 表示圆的充分必要条件是什么?

A ? C ? 0, B ? 0, D ? E ? 4 AF ? 0.
2 2

练习1:下列方程各表示什么图形? 原点(0,0) (1)x ? y ? 0 ________
2 2

(2)x ? y ? 2x ? 4y ? 6 ? 0____
2 2 2

(3)x ? y ? 2ax ? b ? 0________
2 2

(2)圆心为(?1, 2), 半径为 11 的圆 .
(3)当a, b不同时为0时,圆心为(?a, 0), 半径为 a 2 ? b 2的圆 .当a, b同时为0时,表示一个点。

练习2 :将下列各圆方程化为标准方程, 并求圆的半径和圆心坐标.

(1) x ? y ? 6 x ? 0,
2 2

(2) x ? y ? 2by ? 0,
2 2

(3) x ? y ? 2ax ? 2 3ay ? 3a ? 0
2 2 2

(1)圆心(-3,0),半径3.
(2)圆心(0,b),半径|b|.

(3)圆心(a, ? 3a), 半径 | a | .

练习: 求过点A(5, ?1),圆心为(8, ?3)的圆的方程,

并化一般方程。

设圆的方程为 x ? 8) ? ( y ? 3) ? r (
2 2

2

把点(5,?1)代入得r ? 13,
2

( x ? 8) ? ( y ? 3) ? 13
2 2

故圆的一般方程为x ? y ?16x ? 6 y ? 60 ? 0
2 2

若已知条件涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单.

练习: 求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程 .

设圆的方程为 ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 x
2 2

把点A,B,C的坐标代入得方程组
6 ? 6D ? F ? 0 2 8 ? 8E ? F ? 0
2

F ?0

? D ? ?6, ? ? E ? ?8, ? F ? 0. ?

所求圆的方程为:

2 ? y 2 ? 6x ? 8 y ? 0 x

若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的 一般方程用待定系数法求解.

练 (1)已知圆x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0的圆心为 -6 ___ 4 习 (?2,3), 半径为4, 则D ? ___ E ? ___ F ? -3 2 2 (2) x ? y ? 2ax ? y ? a ? 0是圆 1 a? 的充要条件是_____ 2
2 2

(3)圆x ? y ? 8x ? 10y ? F ? 0与x轴相
2 2

6 切, 则这个圆截 轴所得的弦长是___ y
(4)点A(3,5)是圆x ? y ? 4 x ? 8 y ? 80 ? 0的一
2 2

条弦的中点 则这条弦所在的直线方 , 程是 __

x ? y ?8 ? 0

例题分析
例5、如下图,已知线段AB的端点B的坐标是(4,3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程.
y

M

B

A
o x

10. [课堂小结]

(1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
? 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0 ?x ? ?D 2 ? E 2 ? 4 F ? 0 ?

(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系]

一般方程

配方 ?? ?? ?? ? ? 展开

标准方程(圆心,半径)

(3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)

(4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式:
①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.

②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解.

知a、b、r

(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开

X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F

D2+E2 -4F>0



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