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高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案:第二讲第1节第2课时圆的参数方程-含答案


数学 第 2 课时 圆的参数方程 [核心必知] 如图,设圆 O 的半径是 r,点 M 从初始位置 M0(t=0 时的位置)出发,按逆时针方向在 圆 O 上作匀速圆周运动,点 M 绕点 O 转动的角速度为 ω,以圆心 O 为原点,OM0 所在的直 线为 x 轴,建立直角坐标系. (1)在 t 时刻, M 转过的角度是 θ, 点 M 的坐标是(x, y), 那么 θ=ωt(ω 为角速度). 设|OM| x y =r,那么由三角函数定义,有 cos ω t= ,sin ω t= ,即圆心在原点 O,半径为 r 的圆的 r r ? ?x=rcos ω t, 参数方程为? (t 为参数).其中参数 t 的物理意义是:质点做匀速圆周运动的时 ?y=rsin ω t ? 刻. (2) 若取 θ 为参数,因为 θ = ωt,于是圆心在原点 O ,半径为 r 的圆的参数方程为 ?x=rcos θ , ? ? (θ 为参数).其中参数 θ 的几何意义是:OM0(M0 为 t=0 时的位置)绕点 O 逆时 ? ?y=rsin θ 针旋转到 OM 的位置时,OM0 转过的角度. [问题思考] ? ?x=Rcos θ , 1.方程? (θ 为参数,0≤θ <2π )是以坐标原点为圆心,以 R 为半径的圆的 ?y=Rsin θ ? 参数方程,能否直接由圆的普通方程转化得出? x y 提示:以坐标原点为圆心,以 R 为半径的圆的标准方程为 x2+y2=R2,即( )2+( )2=1, R R 数学 ?R=cos θ , ? ?x=Rcos θ , 令? 则? y ?y=Rsin θ . ?R=sin θ , ? 2.若圆心在点 M0(x0,y0),半径为 R,则圆的参数方程是什么? x ? ?x=x0+Rcos θ , 提示:圆的参数方程为? (0≤θ<2π) ?y=y0+Rsin θ . ? 点 M 在圆(x-r)2+y2=r2(r>0)上,O 为原点,x 轴的正半轴绕原点旋转到 OM 形成的角为 φ,以 φ 为参数.求圆的参数方程. [精讲详析] 本题考查圆的参数方程的求法,解答此题需要借助图形分析圆上点 M(x, y)的坐标与 φ 之间的关系,然后写出参数方程. 如图所示,设圆心为 O′,连接 O′M ①当 M 在 x 轴上方时,∠MO′x=2φ. ? ?x=r+rcos 2φ , ∴? ?y=rsin 2φ . ? ②当 M 在 x 轴下方时,∠MO′x=-2φ, ? ?x=r+rcos (-2φ), ∴? ?y=-rsin (-2φ). ? ?x=r+rcos 2φ , ? 即? ? ?y=rsin 2φ . 数学 π ③当 M 在 x 轴上时,对应 φ=0 或 φ=± . 2 综上得圆的参数方程为 ? π π ?x=r+rcos 2φ , (φ 为参数且- ≤φ ≤ ) ? 2 2 ?y=rsin 2φ . ? ————— ————————————— (1)由于选取的参数不同,圆有不同的参数方程.一般地,同一条曲线,可以选取不同 的变数为参数, 因此得到的参数方程也可以有不同的形式, 形式不同的参数方程表示的曲线 却可以是相同的,另外在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围. (2)确定圆的参数方程,必须根据题目所给条件,否则,就会出现错误,如本题如果把 ? ?x=r+rcos φ , 参数方程写成? φ 的意义就改变了. ?y=rsin φ . ? 1.设 y=tx(t 为参数),则圆 x2+y2-4y=0


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