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2014届高考数学一轮复习 第55讲《圆的方程》热点针对训练 理


第55讲 圆的方程
1.(2012·山东省莱芜市上期期末)点 P(2, -1)为圆(x-1) +y =25 内弦 AB 的中点, 则直线 AB 的方程为( C ) A.x+y-1=0 B.2x+y-3=0 C.x-y-3=0 D.2x-y-5=0 解析:由圆的方程知圆心坐标为(1,0),圆心与 P 点的连线的斜率为-1,所以直线 AB 的斜率为 1,又过点 P(2,-1),所以直线 AB 的方程为 x-y-3=0,故选 C. 2.(2012·北京市东城区上期期末)在平面直角坐标系内, 若曲线 C: +y +2ax-4ay x2 2 2 +5a -4=0 上所有的点均在第二象限内,则实数 a 的取值范围 为( D ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(2,+∞) 2 2 2 解析:曲线 C:x +y +2ax-4ay+5a -4=0, 2 2 即(x+a) +(y-2a) =4 表示以(-a,2a)为圆心,2 为半径的圆,当 -a<-2 且 2a>0, 即 a>2 时,曲线 C 上所有的点均在第 二象限内,故选 D. → → 3.(2012·博恩第六次模拟)已知 A、 、 是圆 O: +y =1 上不同的三个点, OA·OB B C x2 2 且 → → → =0,存在实数 λ ,μ 满足 OC=λ OA+μ OB,则点(λ ,μ )与圆的位置关系是( B ) A.在单位圆外 B.在单位圆上 C.在单位圆内 D.无法确定 解析:因为点 A、B、C 在单位圆上, 2 故|OC|=1,于是有|OC| =1, → → 2 2 2 即(λ OA+μ OB) =1,展开得 λ +μ =1, 2 2 所以点(λ ,μ )在圆 x +y =1 上,故选 B. 16 2 2 4.圆心在原点且与直线 x +2y=4 相切的圆的方程是 x +y = . 5 4 4 解析:由题意,半径 R= = , 2 1+2 5 16 16 2 2 2 2 所以圆的方程为 x +y = ,故填 x +y = . 5 5 2 5.(2012·北京市海淀区一模)以抛物线 y =4x 上的点(x0,4)为圆 心, 并过此抛物线焦 2 2 点的圆的方程是 (x-4) +(y-4) =25 . 解析:抛物线的焦点为(1,0),准线为 x=-1, 2 根据点(x0,4)在抛物线上知 4 =4x0,解得 x0=4, 所以圆心为(4,4),半径为 x0+1=5, 2 2 故所求圆的方程为(x-4) +(y-4 ) =25. 2 2 6.(2012·广东高州市第一次模拟)点 P(4,-2)与圆 x +y =4 上任一点连线的中点 2 2 的轨迹方程是 (x-2) +(y+1) =1 . 解析:设圆上任一点为 Q(s,t),PQ 的中点为 A(x,y),
2 2

?x=4+s ? 2 则? -2+t ?y= 2 ?

,解得?

?s=2x-4 ? ? ?t=2y+2



将其代入圆的方程, 2 2 得(2x-4) +(2y+2) =4, 2 2 整理得(x-2) +(y+1) =1. 2 2 7.(2012·浙江省温州市 2 月适应性测试)若 x +y -4x+2my+m+6=0 与 y 轴的两交 点位于原点的同侧,则实数 m 的取值范围是 m>3 或-6<m<-2 . 2 2 2 解析:圆方程配方,得(x -2) +(y+m) =m -m-2,

1

?m -m-2>0 则?? 0-2? +? ?2< m -m-2
2 2

2

0+m?

2

>m -m-2

2



解得 m>3 或-6<m<-2. 8.已知圆心为 C 的圆经过点 A(1,1)和 B(2,-2),且圆心 C 在直线 l:x-y+1=0 上,求圆心为 C 的圆的标准方程. 解析:由已知求得 AB 的垂直平分线 l′的方程为 x-3 y-3=0.

圆心 C 的坐标是方程组? 解得?
?x=-3 ? ? ?y=-2

?x-3y-3=0 ? ? ?x-y+1=0

的解,

.
2 2

半径 r =|AC|= ? 1+3? +? 1+2? =5. 2 2 故所求圆的方程为(x+3) +(y+2) =25. 9.在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x- 3y+4=0 相切. (1)求圆 O 的方程; → → → → → (2)圆 O 与 x 轴相交于 A、 两点, B 圆内的动点 P 使|PA|,PO|,PB|成等比数列, PA·PB | | 求 的取值范围. 4 解析: (1)依题设 , O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x- 3y+4=0 的距离, r= 圆 即 1+3 =2. 2 2 所以圆 O 的方程为 x +y =4. (2)不妨设 A(x1,0),B(x2,0),x1<x2. 2 由 x =4 即得 A(-2,0),B(2,0). → → → 设 P(x,y),由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 2 2 2 2 2 2 得 ? x+2? +y · ? x-2? +y =x +y , 2 2 即 x -y =2. → → PA·PB=(-2-x,-y)· (2-x,-y) 2 2 2 =x -4+y =2(y -1). 2 2 ?x +y <4 ? 2 由于点 P 在圆 O 内,故? 2 ,由此得 y <1. 2 ? ?x -y =2 → → 所以PA·PB的取值范围为[-2,0).

2



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