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浙江省嘉兴市桐乡第一中学2015届高三新高考单科综合调研(二)数学(理)


高三新高考单科综合调研(二)数学(理)试题
(本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟)

第 I 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.

1.已知全集为 R ,集合 A ? {x | e x ? 1} ,

B ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} ,则 A ( RB)= ( A. {x | x ? 0} C. {x | 0 ? x ? 1或x ? 3} 2.函数 f ( x) ? B. {x |1 ? x ? 3} D. {x | 0 ? x ? 1或x ? 3}

c



1 ? 4 ? x 2 的定义域为 ln( x ? 1)



) A. [?2, 2] C. [?2,0) B. (?1, 2]

(0, 2]

D. (?1,0)

(0, 2]

? ?? ? sin ? cos 3 2 3.若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
( ) A.

?? 2 ? ?? 2

1 2

B. ?

1 2

C. 2 4. “ ln a ? ln b ”是 “ a ? b ”的 ( ) A.充分不必要条件; C.充要条件;

D. ?2

B.必要不充分条件; D.既不充分也不必要条件.

5.平面向量 AB ? (?1,1) , n ? (1, 2) n ? (1, 2) ,且 n ? AC ? 3 ,则 n ? BC ?

第 1 页 共 14 页



) A. ?2 C. 3 B. 2 D. 4

6.已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ? ( )

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是 6 2

?

2 4 3 3 2 C. (0, ] 3

A. [ , ]

2 3 3 4 3 D. (0, ] 2

B. [ , ]

7.将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起, 使 ?ABD 为正三角形, 则三棱锥 A ? BCD 的体积为 ( A. C.
1 6

) B. D.
1 12

3 12

2 12

?x ? 1 ? 8.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若 ax ? y 的最小值是 2 ,则 a ? ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
( ) A.1 C.3 9. 已知椭圆 B.2 D.4

x2 y 2 a2 的中心为 , 右焦点为 、 右顶点为 , 直线 与x ? ? 1( a ? b ? 0) x ? F A O a 2 b2 c
| FA | 的最大值为 | OK |

轴的交点为 K ,则 ( A. )

1 2

B.

1 3

第 2 页 共 14 页

C.

1 4

D. 1

10.已知函数 f ( x) ? cos x , x ? ( ,3? ) ,若方程 f ( x) ? m 有三个不同的实数根,且三个根

?

2

从小到大依次成等比数列,则实数 m 的值可能是 ( A. ? C. ? )

1 2
2 2

B. D.

1 2
2 2

第 3 页 共 14 页

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11.函数 f ( x) ? sin x cos x ?

3 cos 2 x 的最小正周期是 2

. . .

? x ? 1, x ? 0 12.已知 f ( x) ? ? ,则不等式 x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 3 的解集是 ?? x ? 1, x ? 0
13.已知等差数列 {an } 前 n 项和为 S n ,且满足

S5 S 2 ? ? 3 ,则数列 {an } 的公差为 5 2

14.一个几何体的三视图如下图所示,其中正视图中 ?ABC 是边长为 2 的正三角形,俯视 图为正六边形,那么该几何体的侧视图的面积为 .

15.直线 l1 与 直线 l2 交于一点 P ,且 l1 的斜率为

1 , l2 的斜率为 2k ,直线 l1 、 l2 与 x 轴围成一个等腰三角 k


形,则正实数 k 的所有可能的取值为

16 .已知非零向量 a , b 满足 | a |? 1 ,且 a 与 a ? b 的夹角为 30 °,则 | b | 的取值范围 是 .

17. 已知函数 f ( x) ? 为

x2 ? a ,当 x ? N * 时, f ( x) ? f (3) 恒成立,则实数 a 的取值范围 x


第 4 页 共 14 页

三、解答题(本大题含 5 个小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 18. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ( A ? 0, ? ? 0) 的部分图像如图所示.P 、

Q 分别是图像上的一个最高点和最低点, R 为图像与 x 轴的交点,且四边形 OQRP 为
矩形. (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)将 y ? f ( x) 的图像向右平移

1 个单位长度后,得到函数 y ? g ( x) 的图像.已知 2

? ? ( , ) , g (? ) ?

3 5 2 2

3 ,求 f (? ) 的值. 3

y

P
R

O
Q

x

第 5 页 共 14 页

19. (本小题满分 14 分) 设数列 {an } 的首项 a1 ? (Ⅰ)求 a2 及 an ; (Ⅱ)求证: an S n ?

3 ,前 n 项和为 S n , 且满足 2an ?1 ? S n ? 3 (n ? N *) . 2

9 . 4

第 6 页 共 14 页

20. (本小题满分 14 分)

2 AB ,四边形 ABED 是矩形, AB ? 2 ,平面 ABED ? 2 6 平面 ABC , G 、 F 分别是 EC 、 BD 的中点, EC 与平面 ABC 所成角的正弦值为 . 3
如图, ?ABC 中, AC ? BC ? (Ⅰ)求证: GF ∥底面 ABC ; (Ⅱ)求 BD 与面 EBC 的所成角.

E

D

G B C

F A

第 7 页 共 14 页

21. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 且 bc ? 0 ). (Ⅰ)若 | f (0) |?| f (1) |?| f ( ?1) |? 1 ,试求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)令 g ( x) ? 2ax ? b ,若 g (1) ? 0 ,又 f ( x) 的图像在 x 轴上截得的弦的长度为 l ,且

0 ? l ? 2 ,试比较 b 、 c 的大小.

第 8 页 共 14 页

22. (本小题满分 15 分) 如图,已知抛物线 C : y 2 ? 4 x ,过焦点 F 斜率大于零的直线 l 交抛物线于 A 、 B 两点, 且与其准线交于点 D . (Ⅰ)若线段 AB 的长为 5 ,求直线 l 的方程; (Ⅱ)在 C 上是否存在点 M ,使得对任意直线 l ,直线 MA , MD , MB 的斜率始终成 等差数列,若存在求点 M 的坐标;若不存在,请说明理由. y

A

O

F

B

x

D

第 9 页 共 14 页

参考答案(二)

6 . A 【解题思路】结合特殊值,求解三角函数的递减区间,并验证结果.取 ? ?
4 ? f ( x) ? sin( x ? ) 3 6

4 , 3

3k? ? 3k? ? , ? ? ] (k ? Z ) , 显 然 2 4 2 ? 3k? ? 3k? 3 3 ? ( ,? ) ? [ ? , ? ? ] (k ? Z ) ,排除 B, C ;取 ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) ,其减区间 2 2 4 2 2 2 6
, 其 减 区 间 为

[

? 4k? 2? 4k? 8? 4k? 2? 4k? 8? ? , ? ] (k ? Z ) ,显然 ( , ? ) ? [ ? , ? ] (k ? Z ) ,排除 D .选 2 3 9 3 9 3 9 3 9 A. 7.D【解题思路】取 AC 的中点 O ,连接 BO , DO ,由题意,
为[
AC ? BO, AC ? DO, BO ? DO ?

2 ,因为 ?ABD 为正三角形, 2

y (3, 4) (1, 2)

? DB ? 1 , ? DO ? OB ,
1 1 1 2 2 .? 选 D . ?VA ? BCD ? VD ? ABC ? S ABC ? DO ? ? ? ? 3 3 2 2 12 8.B【解题思路】由已知得线性可行域如图所示,则 z ? ax ? y 的最小值为 2 ,若 a ? ?2 ,则 (1, 0) 为最小
值最优解,∴ a ? 2 ,若 a ? ?2 ,则 (3, 4) 为最小值最优解, 不合题意,故选 B.

O

(1, 0)

x

| FA | a ? c ac ? c 2 1 1 1 .慢 故选 C . ? 2 ? ? ? e 2 ? e ? ? (e ? ) 2 ? ? 2 | OK | 2 4 4 a a c 10. A 【解题思路】方程 f ( x) ? m 有三个不同的实数根,则 m ? (?1, 0) ,设其三个根为 ? , ? , ? ,
9. C 【解题思路】 且 ? ? ? ? ? ,则

3? 5? ? ? ? 3? ,且 ? ? ? ? 2? , ? ? ? ? 4? ,又由题意知 , 2 2 2 4? 4? 4? 1 ,则 m ? f ( ) ? cos ? 2 ? ?? ,? ? 2 ? (2? ? ? )(4? ? ? ) ,解得 ? ? ? ? ,故应选 A . 3 3 3 2

?

?? ? ? ?

11. ? 【解题思路】 f ( x) ? sin x cos x ? 正周期 T ?

3 1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) ,所以最小 2 2 2 3

2? ?? . 2
第 10 页 共 14 页

? x ? 1, x ? 0 ? x, x ? 1 12. {x | x ? ?3} 【解题思路】由 f ( x) ? ? ,得 f ( x ? 1) ? ? , ?? x ? 1, x ? 0 ? ? x, x ? 1 所以不等式 x ? ( x ? 1) f ( x ? 1) ? 3 ?x ? 1 ? x ?1 转化为 ? 或? ,解得 x ? ?3 . ? x ? ( x ? 1) x ? 3 ? x ? ( x ? 1)(? x) ? 3 S n(n ? 1) n ?1 13. 2 【解题思路】∵ S n ? na1 ? d ,∴ n ? a1 ? d, 2 n 2 S S S S 5 ?1 2 ?1 3 ∴ 5 ? 2 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? d ) ? d ,又 5 ? 2 ? 3 ,∴ d ? 2 . 5 2 2 2 2 5 2 3 14. 【解题思路】由题意侧视图三角形的底边长为 3 ,高为 3 , 2 1 3 所以其面积为 ? 3 ? 3 ? . 2 2

15.

2 , 2 【解题思路】设直线 l1 与直线 l2 的倾斜角为 ? , ? ,因为 k ? 0 ,所以 ? , ? 均为 4 锐角,由于直线 l1 、 l2 与 x 轴围成一个等腰三角形,则有以下两种情况: (1) ? ? 2 ? 时,

tan ? ? tan 2? ,有
2 k 1? 1 k2

2 1 4k ,因为 k ? 0 ,解得 k ? ; (2) ? ? 2? 时, tan ? ? tan 2? , ? 2 4 k 1 ? 4k

有 2k ?

,因为 k ? 0 ,解得 k ? 2 .

1 16. [ , ??) 【解题思路】如图所示, AB ? a , AC ? a ? b , 2

CB ? b , ?CAB ? 30 ,由图可知,当 BC ? AC 时, 1 1 | b | 最小,此时 | b |? ,所以 | b | 的取值范围是 [ , ??) . 2 2
17.[6,12] 【解题思路】 当 a ? 0 时, f ( x) ? 不恒成立;当 a ? 0 时, f ( x) ?
2

a?b

C b

A

a

B

x ?a 在 (0, ??) 上递增, ∴当 x ? N * 时, f ( x) ? f (3) x

x2 ? a 在 (0, a ] 上递减,在 [ a , ??) 上递增,∵当 x ? N * 时, x

? ? ?2? a ?3 ?3? a ? 4 或? ,解答 6 ? a ? 12 . f ( x) ? f (3) 恒成立,∴ ? f (2) ? f (3) ? ? ? ? f (4) ? f (3)
19 . 【

第 11 页 共 14 页

解题思路】 (Ⅰ)由 2an ?1 ? S n ? 3 , 得 又 a1 ?

2a2 ? a1 ? 3 ,
3 . 4
(2 分)

3 , 2

所以 a2 ?

由 2an ?1 ? S n ? 3 , 2an ? S n ?1 ? 3 (n≥2)相减, 得

an ?1 1 ? , an 2



a2 1 ? , a1 2

3 1 所以数列 {an } 是以 为首项,以 为公比的等比数列. (5 分) 2 2 3 1 1 因此 an ? ? ( ) n ?1 ? 3 ? ( ) n (n ? N *) . (7 分) 2 2 2 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ) , 得 S n ? 3 ? 2an ?1 ? 3 ? 2 ? 3( ) n ?1 ? 3[1 ? ( ) n ] , . (9 分) 2 2 1 1 ( )n ? 1 ? ( )n 1 n 1 n 2 )2 ? 9 因为 an S n ? 3 ? ( ) ? 3[1 ? ( ) ] ? 9 ? ( 2 (12 分) 2 2 2 4 1 1 9 当且仅当 ( ) n ? 1 ? ( ) n 时,即 n ? 1 时,取等号.所以 an S n ? . (14 分) 2 2 4 20. 【解题思路】 (Ⅰ)连接 AE ,∵四边形 ABED 是矩形,∴对角线 AE 与 BD 互相平分,又F为BD的中点,∴F 为EA的中点,又G为EC的中点, ∴ GF / / AC , GF ? 底面 ABC , AC ? 底面 ABC , E D ∴ GF ∥底面 ABC . (5分) (Ⅱ)∵平面 ABED ? 平面 ABC , 平面 ABED ? 平面 ABC =AB, EB ? AB , F G EB ? 平面 ABED ,∴ EB ? 平面 ABC , ∴ CB 是斜线 CE 在平面 ABC 内的射影, B A 6 ∴ ?ECB 就 是 EC 与 平 面 ABC 所 成 角 . ∴ sin ?ECB ? , 3 C

第 12 页 共 14 页

cos ?ECB ?

3 3
(8 分)

∵ BC ? 2 ,∴ EC ? 6 .

2 AB , AB ? 2 , 2 ∴ AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,∴ CB ? AC . EB CB ? C ,∴ AC ? 平面 EBC .
∵ EB ? 平面 ABC ,∴ EB ? AC ,又∵ AC ? BC ? ∵ GF / / AC ,∴ GF ? 平面 EBC ,连结 GB ,则 BG 是斜线 BF 在平面 EBC 内的射影, ∴ ?FBG 就是 BD 与平面 EBC 所成角. (11 分) 在 Rt ?FBG 中, BG ?

6 BG 3 ? ? , BF ? 2 , cos ?FBG ? ,∴ ?FBG ? . 2 BF 2 6
(14 分) (2 分) (7 分) (9 分)

∴ BD 与面 EBC 的所成角为 30 . 21. 【解题思路】 (Ⅰ)由已知 | f (0) |?| f (1) |?| f (?1) |? 1 ,有

| a ? b ? c |?| a ? b ? c |? (a ? b ? c) 2 ? (a ? b ? c) 2 ,得 4b(a ? c) ? 0 .
则 a ? 1, b ? ?1 .∴ f ( x) ? x 2 ? x ? 1 或 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 . (Ⅱ) g ( x) ? 2ax ? b ,由 g (1) ? 0 且 a ? 0 ,知 2a ? b ? 0, b ? 0 且 a ? 0 , 设方程 f ( x) ? 0 的两根为 x1 , x2 ,则 x1 ? x2 ? ? ∴ | x1 ? x2 |? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ? 4 ? 4 ? 由已知 0 ?| x1 ? x2 |? 2 ,∴ 0 ?
b c ? 2 , x1 x2 ? , a a

∵ bc ? 0 ,∴ b ? 0 ,∴ a ? c ? 0 ,由 a ? 0 知, c ? 0 ,∵ | c |? 1 ,∴ c ? ?1 . (4 分)

c , a

(11 分) (13 分) (15 分)
y
A

c ? 1. a 又∵ a ? 0 , bc ? 0 ,∴ c ? 0 ,又 b ? 0 ,∴ c ? 0 ? b . 22. 【解题思路】 (Ⅰ)焦点 F (1, 0)

∵直线 l 的斜率不为 0 ,所以设 l : x ? my ? 1 ,

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 )
? x ? my ? 1 由? 2 得 y 2 ? 4my ? 4 ? 0 , ? y ? 4x y1 ? y2 ? 4m , y1 y2 ? ?4 ,
x1 ? x2 ? m( y1 ? y2 ) ? 2 ? 4m 2 ? 2 ,
O
F

B

x

D

x1 x2 ?

y12 y2 2 (?4) 2 ? ? ?1, 4 4 16

(3 分)

∴ | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 4m 2 ? 4 ? 5 , ∴ m 2 ? ∵ k ? 0 ,∴ k ? 2 , ∴直线 l 的方程为 2 x ? y ? 2 ? 0 .

1 . 4

∴直线 l 的斜率 k 2 ? 4 ,

(6 分

第 13 页 共 14 页

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