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2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第3讲 两角和与差及二倍角公式习题 理 新人教A版


第四章 三角函数、解三角形 第 3 讲 两角和与差及二倍角公式习题 理 新人教 A 版
基础巩固题组 (建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(1+tan 17°)(1+tan 28°)的值是( A.-1 B.0 ) C.1 D.2

解析 原式=1+tan 17°+tan 28°+tan 17°·tan 28° =1+tan 45°(1-tan

17°·tan 28°)+tan 17°·tan 28° =1+1=2. 答案 D 1 3 2tan 14° 2.(2016· 河 南 六 市 联 考 ) 设 a = cos 2 ° - sin 2 ° , b = ,c= 2 2 2 1-tan 14° 1-cos 50° ,则有( 2 A.a<c<b B.a<b<c ) C.b<c<a D.c<a<b

解析 由题意可知,a=sin 28°,b=tan 28°,c=sin 25°, ∴c<a<b. 答案 D 6 ?π ? 3.(2016·温州测试)已知 sin x+ 3 cos x= ,则 cos? -x?=( 5 ?6 ? 3 A.- 5 B. 3 5 4 C.- 5 D. 4 5 )

3 ?1 ? 解析 sin x+ 3 cos x=2? sin x+ cos x? 2 ?2 ? =2?sin 答案 B 3π ? ? cos?α - ? 10 ? π ? 4.(2015·重庆卷)若 tan α =2tan ,则 =( 5 π? ? α - sin? ? 5? ? A.1 .2 C.3 .4

? ?

π π ?π ? 6 ?π ? 3 sin x+cos cos x? =2cos? -x?= ,∴cos? -x?= . ? 6 6 ? ?6 ? 5 ?6 ? 5

)

1

3π ? 3π ? π? ? ?π ? cos?α - ? sin? +α - ? sin?α + ? 10 ? 10 ? 5? ? ?2 ? 解析 = = π π π ? ? ? ? ? ? sin?α - ? sin?α - ? sin?α - ? 5? 5? 5? ? ? ? tan α +1 π π π tan sin α cos +cos α sin 5 5 5 2+1 = = = =3. π π tan α 2-1 sin α ·cos -cos α sin -1 5 5 π tan 5 答案 C π? ? 5.(2016·柳州、北海、钦州三市模拟)若 sin?α - ?=-cos 2α ,则 sin 2α 的值可以为 4? ? ( ) B. 1 2

1 A.- 或 1 2 C. 3 4 法一 由已知得

3 D.- 4 2 2 2 2 (sin α -cos α )=sin α -cos α ,∴sin α +cos α = 2 2

解析

1 或 sin α -cos α =0,解得 sin 2α =- 或 1. 2 π? π? π? ? ? ? 法二 由已知得 sin?α - ?=sin?2α - ?=2sin?α - ?· 4? 2? 4? ? ? ? π? π? 1 π? ? ? ? cos?α - ?,∴cos?α - ?= 或 sin?α - ?=0, 4 4 4? 2 ? ? ? ? ? π ?? π? ? ? 2? 则 sin 2α =cos?2?α - ??=2cos ?α - ?-1 4 ?? 4? ? ? ? 1 1 =2× -1=- 或 sin 2α =1. 4 2 答案 A 二、填空题

6. (2015·济南模拟)已知 f(x)=2tan x-

?π ? ,则 f? ?的值为________. x x ?12? sin cos 2 2

2sin -1 2

2

x

2cos x ?sin x cos x? + 解析 ∵f(x)=2tan x+ =2? ? sin x ?cos x sin x?

2

2 4 4 ?π ? = = ,∴f? ?= =8. cos xsin x sin 2x π ?12? sin 6 答案 8 π? 1 ? 7.设 θ 为第二象限角,若 tan?θ + ?= ,则 sin θ +cos θ =________. 4? 2 ? π ? 1+tan θ 1 1 ? 解析 tan?θ + ?= = ,解得 tan θ =- . 4 ? 1-tan θ 2 3 ? 1 ? ?sin θ =- cos θ , 10 3 10 3 由? 得 sin θ = ,cos θ =- , 10 10 2 2 ? ?sin θ +cos θ =1, ∴sin θ +cos θ =- 答案 - 10 5 10 . 5

π? 2 ? π? ? 8.(2016·江西师大附中模拟 ) 已知 θ ∈ ?0, ? ,且 sin ?θ - ? = ,则 tan 2 θ = 2? 4 ? 10 ? ? ________. π? 2 1 ? 解析 sin?θ - ?= ,得 sin θ -cos θ = ,① 4 10 5 ? ?

? π? θ ∈?0, ?, 2? ?
①平方得 2sin θ cos θ = 24 7 ,可求得 sin θ +cos θ = , 25 5

4 3 ∴sin θ = ,cos θ = , 5 5 4 2tan θ 24 ∴tan θ = ,tan 2θ = =- . 2 3 1-tan θ 7 24 答案 - 7 三、解答题 5 ?π ? 9.已知 α ∈? ,π ?,sin α = . 5 ?2 ?

?π ? (1)求 sin? +α ?的值; ?4 ?
(2)求 cos? 解

?5π -2α ?的值. ? ? 6 ? ?π ,π ?,sin α = 5, ? 5 ?2 ?
3

(1)因为 α ∈?

2 5 2 所以 cos α =- 1-sin α =- . 5 π π 2 ? 2 5? 2 5 10 ?π ? 故 sin? +α ?=sin cos α +cos sin α = ×?- ?+ × 5 =- 10 . 4 4 2 ? ?4 ? 5 ? 2 (2)由(1)知 sin 2α =2sin α cos α =2× cos 2α =1-2sin α =1-2×?
2

5 ? 2 5? 4 ×? - =- , ? 5 ? 5 5 ?

? 5?2 3 ? = , ?5? 5

所以 cos? -

3? 3 1 ? 4? ?5π -2α ?=cos 5π cos 2α +sin 5π sin 2α =? ? ? - ?× + ×?- ?= 6 6 ? 6 ? ? 2 ? 5 2 ? 5?

4+3 3 . 10

1 ?π ? ?π ? ?π π ? 10.(2015·合肥质检)已知 cos? +α ?·cos? -α ?=- ,α ∈? , ?. 4 ?6 ? ?3 ? ?3 2? (1)求 sin 2α 的值; 1 (2)求 tan α - 的值. tan α 解

?π ? ?π ? ?π ? ?π ? (1)cos? +α ?·cos? -α ?=cos? +α ?·sin? +α ? ?6 ? ?3 ? ?6 ? ?6 ?

π? 1 ? 1 = sin?2α + ?=- , 3 2 ? 4 ? π? 4π ? 1 π ? ? ?π π ? 即 sin?2α + ?=- .∵α ∈? , ?,∴2α + ∈?π , ?, 3 3 2 3 ? 2 3 ? ? ? ? ? π? π? π? 3 ?? ? ∴cos?2α + ?=- ∴sin 2α =sin??2α + ?- ? 3? 3? 3? 2 ? ?? π? π π? π 1 ? ? =sin?2α + ?cos -cos?2α + ?sin = . 3 3? 3 3 2 ? ? ?

?π π ? ?2π ? (2)∵α ∈? , ?,∴2α ∈? ,π ?, 3 2 ? ? ? 3 ?
1 3 又由(1)知 sin 2α = ,∴cos 2α =- . 2 2 1 sin α cos α ∴tan α - = - tan α cos α sin α 3 - 2 sin α -cos α -2cos 2α = = =-2× =2 3. sin α cos α sin 2α 1 2
2 2

能力提升题组

4

(建议用时:20 分钟) 11.已知 sin α = A. 5π 12 5 10 ,sin(α -β )=- ,α ,β 均为锐角,则角 β 等于( 5 10 B. π 3 C. π 4 D. π 6 )

π π 解析 ∵α ,β 均为锐角,∴- <α -β < . 2 2 又 sin(α -β )=- 又 sin α = 10 3 10 ,∴cos(α -β )= . 10 10

5 2 5 ,∴cos α = , 5 5

∴sin β =sin[α -(α -β )]=sin α cos(α -β )-cos α sin(α -β ) = 5 3 10 2 5 ? 2 π 10? × - ×?- ?= 2 .∴β = 4 . 5 10 5 ? 10 ?

答案 C
2 π? 1 π 2sin α +sin 2α ? 12. (2016·济南一中模拟)已知 tan?α + ?= ,且- <α <0,则 等于 4? 2 2 π? ? ? α - cos? 4? ? ?

(

) 3 5 B.- 10 3 10 C.- 10 D. 2 5 5

2 5 A.- 5

π ? tan α +1 1 1 ? 解析 由 tan?α + ?= = ,得 tan α =- . 4 1 - tan α 2 3 ? ? π 10 又- <α <0,所以 sin α =- . 2 10 故
2 2sin α +sin 2α 2sin α (sin α +cos α = π? 2 ? cos?α - ? (sin α +cos α ) 4 ? ? 2

)

2 5 =2 2sin α =- . 5

答案 A π? 2 ? π? ? 4 4 13.已知 cos α -sin α = ,且 α ∈?0, ?,则 cos?2α + ?=________. 2? 3? 3 ? ? 2 4 4 2 2 2 2 解析 ∵cos α -sin α =(sin α +cos α )(cos α -sin α )=cos 2α = , 3 5 ? π? 2 又 α ∈?0, ?,∴2α ∈(0,π ),∴sin 2α = 1-cos 2α = , 2? 3 ? π? 1 3 1 2 3 5 2- 15 ? ∴cos?2α + ?= cos 2α - sin 2α = × - × = . 3? 2 2 2 3 2 3 6 ?

5

答案

2- 15 6

3 ? π? 2 14.(2016·惠州模拟)已知函数 f(x)=cos x·sin?x+ ?- 3cos x+ ,x∈R. 3? 4 ? (1)求 f(x)的最小正周期;

? π π? (2)求 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值和最小值. ? 4 4?
解 3 1 3 ?1 ? 2 (1)由已知,有 f(x)=cos x·? sin x+ cos x?- 3cos x+ = sin x·cos x 4 2 2 ?2 ? 3 3 1 3 3 2 cos x+ = sin 2x- (1+cos 2x)+ 2 4 4 4 4



π? 1 3 1 ? = sin 2x- cos 2x= sin?2x- ?. 3? 4 4 2 ? 2π 所以,f(x)的最小正周期 T= =π . 2 π? ? π ? π π? (2)因为 f(x)在区间?- ,- ?上是减函数,在区间?- , ?上是增函数. 12? ? 4 ? 12 4 ?

f?- ?=- ,f?- ?=- ,f? ?= . 4 12 4
1 1 ? π π? 所以,函数 f(x)在闭区间?- , ?上的最大值为 ,最小值为- . 4 2 ? 4 4?

? π? ? ?

1 4

? π? ? ?

1 2

?π ? 1 ? ? 4

6


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