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广东省东莞市2012-2013学年高二数学下学期期末考试试题(A) 理(含解析)新人教A版


2012-2013 学年广东省东莞市高二(下)期末数学试卷 A(理科) 参考答案与试题解析
一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 分)已知 a﹣ai=b+i,其中 i 为虚数单位,a,b 为实数,则 a+b=( (5 A.﹣2 B.﹣1 C.0 D.2 考点: 复数相等的充要条件. 专题: 计算题. 分析: 利用复数相等即可得出 a

,b. 解答: 解:∵a﹣ai=b+i,其中 i 为虚数单位,a,b 为实数,∴ ∴a+b=﹣2. 故选 A. 点评: 熟练掌握复数相等是解题的关键. 2. 分)函数 f(x)的定义域为开区间(a,b) (5 ,导函数 f′(x)在(a,b)内的图象如 图所示,则函数 f(x)在开区间(a,b)内的极值点是( ) )

,解得 a=b=﹣1.

A.x1,x3,x5

B.x2,x3,x4

C.x1,x5

D.x2,x4

考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: 根据极值的定义,观察图象知导数值变化的个数,即为极值点的个数. 解答: 解:因为图象是导函数的图象,所以导数值的符合代表函数单调性的变化. 由图象可知在 x1 处,左侧导数为负右侧为正,所以在 x1 处函数取得极小值. 在 x5 处,左侧导数为正右侧为负,所以在 x1 处函数取得极大值. 故选 C. 点评: 本题主要是通过导函数的图象研究函数的极值问题.如果是导函数,则需要看导数值 的正负变化,如果是原函数,则看的是函数的单调性的变化. 3. 分)已知服从正态分布 N(μ ,σ )的随机变量在区间(μ ﹣σ ,μ +σ )(μ ﹣2σ , (5 , μ +2σ ) ,和(μ ﹣3σ ,μ +3σ )内取值的概率分别为 68.3%,95.4%,和 99.7%.某校为高 一年级 1000 名新生每人定制一套校服, 经统计, 学生的身高 (单位: 服从正态分布 cm) (165, 2 5) ,则适合身高在 155~175cm 范围内的校服大约要定制( ) A.683 套 B.954 套 C.972 套 D.997 套 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
1
2

专题: 概率与统计. 2 分析: 变量服从正态分布 N(165,5 ) ,即服从均值为 165cm,方差为 25 的正态分布,适合 身高在 155~175cm 范围内取值即在(μ ﹣2σ ,μ +2σ )内取值,其概率为:95.4%, 从而得出适合身高在 155~175cm 范围内校服大约情况,得到结果. 2 解答: 解:∵学生的身高(单位:cm)服从正态分布 N(165,5 ) , 即服从均值为 165cm,方差为 25 的正态分布, ∵适合身高在 155~175cm 范围内取值即在(μ ﹣2σ ,μ +2σ )内取值,其概率为: 95.4%, 从而得出适合身高在 155~175cm 范围内学生穿的服装大约套数是: 1000×95.4%=954 套 故选 B. 点评: 本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查曲线的变化特点,本题是一 个基础题,不需要多少运算

4. 分)用数学归纳法证明 (5 时,等式左边应为( ) A.1 B.1+a 考点: 数学归纳法. 专题: 点列、递归数列与数学归纳法. 分析: 根据等式的特点,即可得到结论. 解答: 证明:∵
2 3

(a≠1,n∈N ) ,在验证当 n=1

*

C.1+a+a

2

D.1+a+a +a

2

3

(a≠1,n∈N ) ,

*

∴当 n=1 时,等式左边应为 1+a+a +a , 2 3 故答案为:1+a+a +a . 点评: 本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.
2 4

5. 分) (5 A.45

的二项展开式中,x y 项的系数是( B.90 C.135

) D.270

考点: 二项式定理. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 先求出二项式展开式的通项公式,再令 x 的幂指数等于 2,且 y 的幂指数等于 4,求 2 4 得 r 的值,即可求得展 x y 项的系数. 解答: 6﹣r 解:在 的二项展开式中,通项公式为 Tr+1= ?x ? , 令 6﹣r=2,且 r=4,求得 r=4,故 x y 项的系数是
2 4

?

=135,

故选 C. 点评: 本题主要考查二项式定理的应用, 二项式展开式的通项公式, 求展开式中某项的系数,
2

属于中档题. 6. 分)曲线 y=2sinx 在点 P(π ,0)处的切线方程为( (5 A.y=﹣2x+2π B.y=0 C.y=﹣2x﹣2π ) D.y=2x+2π

考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 由求导公式和法则求出导数,再把 x=π 代入求出切线的斜率,再代入点斜式方程化 为斜截式即可. 解答: 解:由题意得,y′=2cosx, 则点 P(π ,0)处的切线斜率 k=﹣2, ∴点 P(π ,0)处的切线方程是:y﹣0=﹣2(x﹣π ) , 即 y=﹣2x+2π , 故选 A. 点评: 本题考查了导数的几何意义,即某点处的切线的斜率是该点出的导数值,以及点斜式 方程的应用. 7. 分) (5 投掷一枚骰子, 若事件 A={点数小于 5}, 事件 B={点数大于 2}, P 则 (B|A)( = A. B. C. D. )

考点: 条件概率与独立事件. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,P(B|A)为投掷一枚骰子,点数大于 2 而小于 5 的概率,从而可得结论. 解答: 解:由题意,P(B|A)为投掷一枚骰子,点数大于 2 而小于 5 的概率, ∵投掷一枚骰子,基本事件有 6 个,点数大于 2 而小于 5,基本事件有 2 个, ∴P(B|A)= = 故选 C. 点评: 本题考查概率的计算,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 8. 分)从 n(n∈N ,且 n≥2)人中选两人排 A,B 两个位置,若其中 A 位置不排甲的排 (5 法数为 25,则 n=( ) A.3 B.4 C.5 D.6 考点: 排列、组合及简单计数问题. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,A 位置不排甲,故从其余 n﹣1 人中选一人排 A 位置,再从剩下的 n﹣1 人中 选一人排 B 位置,由此可得结论. 解答: 解:由题意,A 位置不排甲,故从其余 n﹣1 人中选一人排 A 位置,再从剩下的 n﹣1 人中选一人排 B 位置, ∵由题意,A 位置不排甲,故从其余 n﹣1 人中选一人排 A 位置,再从剩下的 n﹣1 人 中选一人排 B 位置 2 ∴(n﹣1) =25
3
*

∴n=6 故选 D. 点评: 本题考查计数原理的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 9. 分)已知某一随机变量 X 的概率分布如下,且 E(X)=6.9,则 a 的值为( (5 X 4 a 9 P m 0.2 0.5 A.5 B.6 C.7 D.8 )

考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: 先根据概率分布表,利用概率之和为 1,求出 m,再利用期望公式求出 a 的值. 解答: 解:由分布列性质知:m+0.2+0.5=1,∴m=0.3, ∴E(X)=4×0.3+a×0.2+9×0.5=6.9,∴a=6 故选 B. 点评: 本题主要考查离散型随机变量的分布列和数学期望,考查学生的计算能力,属于基础 题. 10. 分)函数 f(x)的定义域为 R,f(﹣2)=2013,对任意 x∈R,都有 f′(x)<2x (5 2 成立,则不等式 f(x)>x +2009 的解集为( ) A.(﹣2,2) B.(﹣2,+∞) C.(﹣∞,﹣2) D.(﹣∞,+∞) 考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: 构造函数 g(x)=f(x)﹣x ﹣2009,利用对任意 x∈R,都有 f′(x)<2x 成立,即 可得出函数 g(x)在 R 上单调性,进而即可解出不等式. 2 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣x ﹣2009,则 g′(x)=f′(x)﹣2x<0, ∴函数 g(x)在 R 上单调递增, 而 f(﹣2)=2013, 2 ∴g(﹣2)=f(﹣2)﹣(﹣2) ﹣2009=0. 2 ∴不等式 f(x)>x +2009,可化为 g(x)>g(﹣2) , ∴x<﹣2. 2 即不等式 f(x)>x +2009 的解集为(﹣∞,﹣2) . 故选 C. 点评: 恰当构造函数和熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键. 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 分)若复数 (5 (i 是虚数单位) ,则 z 的模|z|= .

考点: 复数代数形式的混合运算;复数求模. 专题: 计算题. 分析: 分子分母同乘以 1+2i 对复数化简,整理成代数形式,再代入复数模的公式求解.
4

解答: 解:由题意得, = 则|z|= =﹣1+i, =

=



故答案为: . 点评: 本题考查了复数的除法运算,以及复数模的公式,属于基础题. 12. 分)若根据儿童的年龄 x(岁)和体重 y(kg) (5 ,得到利用年龄预报体重的线性回归 方程是 .现已知 5 名儿童的年龄分别是 3,4,5,6,7,则这 5 名儿童的平均体重

大约是 20 (kg) . 考点: 回归分析的初步应用. 专题: 概率与统计. 分析: 根据所给的 5 名儿童的年龄做出平均年龄,代入线性回归方程求出纵标,就是要求的 平均体重. 解答: 解:∵5 名儿童的年龄分别是 3,4,5,6,7, ∴这 5 名儿童的平均年龄是 ∵用年龄预报体重的回归方程是 ∴这 5 名儿童的平均体重是 =20kg =5,

故答案为:20. 点评: 本题考查线性回归方程的应用,考查学生的计算能力,属于基础题.

13. 分)由曲线 (5

和直线

,x=3 及 x 轴所围图形的面积为 2ln3 .

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 作出曲线 和直线 ,x=3 的图象,得出它们的交点横坐标,可得所求面积为函 数 y= 在区间[ ,3]上的定积分的值, 再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答 案. 解答: 解:∵曲线

和直线

,x=3 及 x 轴所围图形的面积 S=

dx=lnx

=ln3﹣

ln =2ln3. 故答案为:2ln3
5

点评: 本题求两条曲线围成的曲边图形的面积, 着重考查了定积分的几何意义和积分计算公 式等知识,属于基础题. 14. 分)电脑系统中有个“扫雷”游戏,要求游戏者标出所有的雷,游戏规则是:一个 (5 方块下面有一个雷或没有雷,如果无雷,掀开方块下面就会标有数字(如果数字是 0,常省 略不标) ,此数字表明它周围的方块中雷的个数(至多八个) ,如图甲中的“3”表示它的周 围八个方块中有且仅有 3 个雷.图乙是张三玩的游戏中的局部,根据图乙中信息,上方第一 行左起七个方块中(方块上标有字母) ,能够确定下面一定没有雷的方块有 BDEF ,下面 一定有雷的方块有 AC . (请填入所有选定方块上的字母)

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据扫雷的基本原理,即可分析得到结论. 解答: 解:图乙中,由第三行最左边的“1”,可得它的上方必定是雷. 结合 B 下方的“3”,可得最左边的 A、B 对应的方格中有一个雷; C 下方是“1”,故 A 必定是雷,B 必定不是雷,C 必定是雷 同理可得 D,E,F 必定不是雷 故答案为:BDEF,AC. 点评: 本题考查合情推理,着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识,属于中档题.
6

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 80 分) 15. (12 分)已知复数 z=bi(b∈R) , 是实数,i 是虚数单位.

(1)求复数 z; 2 (2)若复数(m+z) 所表示的点在第一象限,求实数 m 的取值范围. 考点: 复数代数形式的混合运算;复数的基本概念. 专题: 计算题. 分析: (1)由 z=bi(b∈R) ,化简 为 ,求得 b 的值,可得 z 的值. (2)化简 (m+z) 为 (m ﹣4)﹣4mi,根据复数 f(4)所表示的点在第一象限, 可得 ,解不等式组求得实数 m 的取值范围.
2 2

.根据

是实数,可得

解答: (1)∵z=bi(b∈R) 解: , ∴ 又∵ = 是实数,∴ , = = .

∴b=﹣2,即 z=﹣2i. 2 2 2 2 2 (2)∵z=﹣2i,m∈R,∴(m+z) =(m﹣2i) =m ﹣4mi+4i =(m ﹣4)﹣4mi, 又∵复数 f(4)所表示的点在第一象限,∴ ,?(10 分)

解得 m<﹣2,即 m∈(﹣∞,﹣2)时,复数 f(4)所表示的点在第一象限. 点评: 本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,虚数单位 i 的幂运算性质,属于基础题. 16. (12 分)在对某校高一学生体育选修项目的一次调查中,共调查了 160 人,其中女生 85 人,男生 75 人.女生中有 60 人选修排球,其余的人选修篮球;男生中有 20 人选修排球, 其余的人选修篮球. (每人必须选一项,且只能选一项) (1)根据以上数据建立一个 2×2 的列联表; (2)能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为性别与体育选修项目有关? 参考公式及数据: K ≥k0 k0
2

,其中 n=a+b+c+d. 0.25 0.15 1.323 2.072 0.10 2.706 0.05 0.025 3.841 5.024 0.010 6.635 0.005 0.001 7.879 10.828

0.50 0.40 0.455 0.708

考点: 独立性检验的应用. 专题: 概率与统计.
7

分析: (1)根据共调查了 160 人,其中女生 85 人,男生 75 人.女生中有 60 人选修排球, 其余的人选修篮球;男生中有 20 人选修排球,其余的人选修篮球,可得 2×2 的列联 表; 2 (2)利用公式,求出 K ,与临界值比较,即可得到结论. 解答: (1)根据题中数据,建立一个 2×2 的列联表如下: 解: 女生 男生 合计 选排球 60 20 80 选篮球 25 55 80 合计 85 75 160 ?(6 分) (2)∵
2

,?(8 分)

且 30.745>10.828,P(K ≥10.828)≈0.001,?(10 分) 所以能在犯错误的概率不超过 0.001 的情况下认为性别与体育选修项目有关. ? (12 分) 点评: 本题考查 2×2 的列联表,考查独立性检验知识,考查学生利用数学知识解决实际问 题的能力,属于中档题.

17. (14 分)已知函数 f(1) )处的切线方程为 x+y﹣3=0. (1)求 a,b 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间和极值; (3)求函数 f(x)在区间[﹣2,5]上的最大值.

(a,b∈R) ,其图象在点(1,

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)求导函数,利用导数的几何意义,结合函数解析式,即可求 a,b 的值; (2)求导数,利用导数的正负,即可求函数 f(x)的单调区间和极值; (3)将函数的极大值与端点函数值,比较,即可求函数 f(x)在区间[﹣2,5]上的 最大值. 2 2 解答: (1) 解: 由题意, (x) ﹣2ax+a ﹣1. f′ =x ? (1 分) 又∵函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程为 x+y﹣3=0, 2 所以切线的斜率为﹣1,即 f′(1)=﹣1,∴a ﹣2a+1=0,解得 a=1. ?(2 分) 又∵点(1,f(1) )在直线 x+y﹣3=0 上,∴f(1)=2,?(3 分) 同时点(1,f(1) )即点(1,2)在 y=f(x)上,∴ (4 分) 即 分)
8

,?

,解得



?(5

(2)由(1)有

,∴f′(x)=x ﹣2x,?(6 分)

2

由 f′(x)=0 可知 x=0,或 x=2, 所以有 x、f′(x) 、f(x)的变化情况表如下: x (﹣∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 ﹣ 0 + f(x) 极大值 ? 极小值 ? ?(8 分) 由上表可知,f(x)的单调递增区间是(﹣∞,0)和(2,+∞) ,单调递减区间是(0, 2) ?(10 分) ; ∴函数 f(x)的极大值是 (11 分) (3)由(2) ,函数 f(x)在区间[﹣2,5]上的极大值是 (12 分) 又 ,?(13 分) .?(14 分) . ? ,极小值是 . ?

∴函数 f(x)在区间[﹣2,5]上的最大值为

点评: 本题考查导数知识的应用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与极值,考查学 生分析解决问题的能力,属于中档题. 18. (14 分)根据以往资料统计,大学生购买某品牌平板电脑时计划采用分期付款的期数 ζ 的分布列为 ζ 1 2 3 P 0.4 0.25 0.35 (1)若事件 A={购买该平板电脑的 3 位大学生中,至少有 1 位采用 1 期付款},求事件 A 的 概率 P(A) ; (2)若签订协议后,在实际付款中,采用 1 期付款的没有变化,采用 2、3 期付款的都至多 有一次改付款期数的机会,其中采用 2 期付款的只能改为 3 期,概率为 ;采用 3 期付款的 只能改为 2 期,概率为 .数码城销售一台该平板电脑,实际付款期数 ζ '与利润 η (元) 的关系为 ζ ' 1 2 3 η 200 250 300 求 η 的分布列及期望 E(η ) . 考 离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式. 点: 专 概率与统计. 题: 分 (1)利用对立事件的概率公式,即可求解;
9

析:(2)求出实际付款期数 ζ ′的概率,进而可得利润 η 的概率,即可求出 η 的分布列 及期望 E(η ) . 解 解: (1)若事件 A={购买该平板电脑的 3 位大学生中,至少有 1 位采用 1 期付款}, 答:则事件 ={购买该平板电脑的 3 位大学生中没有 1 位采用 1 期付款}. ∵ ∴ (4 分) ,?(2 分) . , , ,?(10 分) 而销售一台该平板电脑的利润 η 的可能值为 200 元,250 元,300 元. ?(11 分) ∴ ∴η 的分布列为 η 200 P ?(12 分) ∴η 的期望 (元) .?(14 分) , , , ?

(2)根据题意,实际付款期数 ζ ′的概率为

250

300

点 本题考查概率的计算,考查离散型随机变量的分布列与期望,考查学生的计算能力,属 评:于中档题. 19. (14 分)下面四个图案,都是由小正三角形构成,设第 n 个图形中所有小正三角形边上 黑点的总数为 f(n) .

(1)求出 f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5) ; (2)找出 f(n)与 f(n+1)的关系,并求出 f(n)的表达式; (3)求证: (n∈N ) .
*

10

考 归纳推理. 点 : 专 探究型. 题 : 分 (1)由图分别求出 f(2) ,f(3) ,f(4) ,f(5) . 析 (2)根据(1)的几个数值,归纳出 f(n)的表达式. : (3)利用归纳的 f(n)的表达式,将数列进行化简求和,然后利用归纳法证明不等式. 解 解: (1)由题意有 f(1)=3,f(2)=f(1)+3+3×2=12, 答 f(3)=f(2)+3+3×4=27,f(4)=f(3)+3+3×6=48,f(5)=f(4) : +3+3×8=75. ?(2 分) (2)由题意及(1)知,f(n+1)=f(n)+3+3×2n=f(n)+6n+3,?(4 分) 即 f(n+1)﹣f(n)=6n+3, 所以 f(2)﹣f(1)=6×1+3, f(3)﹣f(2)=6×2+3, f(4)﹣f(3)=6×3+3, ?f(n)﹣f(n﹣1)=6(n﹣1)+3,?(5 分) 将上面(n﹣1)个式子相加, 得:f(n)﹣f(1)=6[1+2+3+?+(n﹣1)]+3(n﹣1) = 又 f(1)=3,所以 f(n)=3n . 2 (3)∵f(n)=3n ∴
2

=3n ﹣3?(6 分) ?(7 分)

2



?(9

分) 当 n=1 时, ,原不等式成立. ?(10 分)

当 n=2 时,

,原不等式成立. ?(11 分)

当 n≥3 时,

=

=

,原不等式成立.

?(13 分)

11

综上所述,对于任意 n∈N*,原不等式成立. ?(14 分) 点 本题的考点是归纳推理以及利用数学归纳法证明不等式,综合性较,强运算量较大. 评 : 20. (14 分)已知函数 f(x)=e (k 是不为零的实数,e 为自然对数的底数) . 2 (1)若曲线 y=f(x)与 y=x 有公共点,且在它们的某一公共点处有共同的切线,求 k 的值; (2)若函数 h(x)=f(x) ﹣2kx﹣2)在区间 (x 范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的单调性与导数的关系. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)设切点坐标,再代入两个解析式建立方程①,再由在切点处导数值相等列出方 程②,联立方程求解; (2)由题意求出 h(x)解析式,再求出此函数的导数,根据区间关系求出 k 的范围, 再对 k 分类:k<﹣1 时和 0<k<1 时,再由条件和导数与函数单调性关系,分别列出 等价条件,求出 k 的范围,最后并在一起. 2 解答: (1)设曲线 y=f(x)与 y=x 有共同切线的公共点为 P(x0,y0) 解: , 则
2 2 kx

内单调递减,求此时 k 的取值

①,

又∵y=f(x)与 y=x 在点 P(x0,y0)处有共同切线, kx 2 且 f′(x)=ke , )′=2x, (x ∴ 由①②解得,
kx

②, .
2 kx

(2)由 f(x)=e 得,函数 h(x)=(x ﹣2kx﹣2)e , 2 2 kx ∴(h(x) )′=[kx +(2﹣2k )x﹣4k]e = 又由区间 知, = , .

解得 0<k<1,或 k<﹣1. ①当 0<k<1 时, 由(h(x) )'= 即函数 h(x)的单调减区间为 要使 h(x)=f(x) ﹣2kx﹣2)在区间 (x
2

,得 ,



内单调递减,

12

则有

,解得



②当 k<﹣1 时, 由(h(x) )'= 即函数 h(x)的单调减区间为(﹣∞,2k)和 要使 h(x)=f(x) ﹣2kx﹣2)在区间 (x
2

,得 x<2k 或 , 内单调递减,



则有

,或



这两个不等式组均无解. 综上,当 时,
2

函数 h(x)=f(x) ﹣2kx﹣2)在区间 (x

内单调递减.

点评: 本题考查了导数的几何意义,导数与函数的单调性关系,查了分类讨论思想和转化思 想.

13


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