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【同步测控】2015-2016学年高中数学 2.2 空间向量的运算课件 北师大版选修2-1


§2 空间向量的运算 课程目标 1.会用图形说明空间向量加 法、 减法、 数乘向量及它们的 运算律. 2.会利用空间两个向量共线 的充要条件解决有关问题. 3.能够利用空间向量的数量 积的定义求两个向量的数量 积. 学习脉络 一 二 三 一、空间向量的加、减法 一 二 三 名师点拨空间向量的加法、减法运算满足平行四边形法 则和三角形法则,并且空间向量的加

法满足交换律和结合律. 一 二 三 思考 1 空间向量的加法与减法如何进行运算? 提示:空间中两个向量的加、 减可以直接用三角形法则或平行四边形法 则解决.而多个向量的加、减运算,通常可以利用三角形法则进行推广.在解 决立体几何问题时,其中的某个向量经常多次使用三角形法则的方法用其 他向量来表示,首尾顺次相接的向量如果能围成封闭的图形,那么和向量为 零向量. 一 二 三 二、空间向量的数乘 一 二 三 思考 2 共线向量定理的用途是什么? 提示:可以利用共线向量定理来判定两条直线平行、证明三点共线.证 明两条直线平行时,先从两条直线上取两条有向线段表示两个向量,然后利 用向量的线性运算证明向量共线,进而可以得到线线平行,这是证明平行问 题的一种重要方法.证明三点共线问题,通常不用图形,直接利用向量的线性 运算即可,但一定要注意所表示的向量必须有一个公共点. 一 二 三 三、空间向量的数量积 一 二 三 名师点拨 1.(1)对于三个不为 0 的向量,若 a· b=a· c,不能得 出 b=c,即向量不能约分. (2)若 a· b=k,不能得出 a= 或 b= ,即向量不能进行除法运算. (3)对于三个不为 0 的向量,(a· b)c≠a(b· c),即向量的数量积不满足结合 律. 一 二 三 2.(1)在空间两个向量的数量积中,特别地,a· a=|a||a|cos 0° =|a|2,所以向 量 a 的模|a|= 2 .这个公式可用来求空间中线段的长度.将其推广为: |a ± b|= ( ± )2 = 2 ± 2· + 2 ; |a+b+c|= ( + + )2 = 2 + 2 + 2 + 2· + 2· + 2· . (2)利用两个向量的夹角为 ,判断空间两条直线垂直是向量在立体几 何中的重要应用之一. (3)根据空间两个向量的数量积的定义:a· b=|a||b|cos <a,b>,那么空间两 个向量 a,b 的夹角的余弦 cos<a,b>= 所成的角. · ,这个公式可用来求空间两条直线 |||| π 2 一 二 三 3.(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相同的性质. (2)画异面直线的夹角与画向量的夹角不一样:两个向量的夹角是将表 示两个向量的有向线段的起点重合而形成的角,其范围是[0,π],而异面直线 所成的角的范围是 0, π 2 . 一 二 三 思考 3 如何利用空间向量求异面直线所成的角? 提示:求异面直线所成的角可以通过选取直线的方向向量,计算两个方 向向量的夹角.但在求异面直线所成的角时,应注意异面直线所成的角与向 量夹角的区别:如果两个向量的夹角为锐角或直角,则异面直线所成的角等 于两个向量的夹角;如果两个向量的夹角为钝角,则异面直线所成的角为两 个向量的夹角的补角. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 探究七 向量的加法、减法运算 1.空间向量的加、减运算方法: (1)向量的加法利用平行四边形法则或三角形法则,同

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