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一道几何题的简证


中 等 数 学 



道 几 何题 的 简证  
沈 毅 
文章编号 :1 0 0 5—6 4 1 6 ( 2 0 1 3 ) 0 6— 0 0 1 2一O 1   ( 四川省成都七中初中学校 , 6 1 0 0 4 1 )  

中图分类号 : 01 2 3 . 1  

文献标识码 :A  

笔者 看到 一 道 几何 题 , 原 解 答 利 用 的 是  牛顿 定理 . 本文 给 出另 一个 证法 .  
题目   已 知 圆 内接 四边 形 A B C D, 两 组 

则  E P= F Q  


即 

P Q   } E F .   由 A、 P、 R、 Q四点共 圆得 
AC  s i n/ A BC  
BD —s i n   s i n  


对边 A B和 D C 、 A D和 B C分别交于点  、 F ,  


| 7 v 分别 是 A C 、 B D 的中点. 证明 :  
2 MN  l   A C  B D   l  

B AD  AR 

E F —I   B D  A C   I .  
证 明  如 图 1 , 以 曰、 C、 D 为 顶 点 作  C Y l B C D R, D R与 A B交 于点 P, B R与 A D交 于  点Q . 联结 A R、 P Q、 C R .  
A  

A  

s i n   P A Q— P Q  
EF :   AE
?

P Q, 于是 ,  

2MN  AR  AR AP  

百  
丛 .   一  
P Q  

’   ’  

从而 , 问题等价于证明  
一   一  

壁二  :  

— P Q  A R— A R? P Q  

铮A R   ? A P=( A R  一 P Q   ) A E  

甘A R   ? P E= P Q   ? A E  


AE 



.  

因为△ P Q D∽ △ A R D, 所以,  
图 1  
一   ~  

不妨 设 A C  ̄B > D .  

E A —A D 一  

‘  

由中位线 定理知 A R= 2 MN .  
因为  E D P=   DC F:   E A D, 所以,  
△ E D A∽ △ E P D .  
EP  s   口 P   P  双  P AD  。  

从而 , 结 论成 立.   更   正 

本刊 2 0 1 3 年 4月出版的《 全 国高  中数学联赛模拟题集萃》 第三页中加 
试第 一题 的条件 应补 充“ 割线 P C D经 

同理 ,   F A=  

=s s i i n n   2   ,  ̄  B A   Q
_

.  

过 圆心 0 ” 。由于编辑 的失误 , 给读者 
又  A P Q十   A Q B  
:  

带来 不 便 , 特 此 更 正, 一 并 向作 者 
致歉 。  

ABC +  

ADC =1 8 0。.  

收稿 日期 : 2 0 1 2— 0 9— 0 7  


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