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2013年全国高中数学联赛模拟卷(6)(一试+二试


2012 年全国高中数学联赛模拟卷(6)第一试
(考试时间:80 分钟 满分:120 分) 姓名:_____________考试号:______________得分:____________ 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分)
1. 设 f ( x ) 是一个偶函数,使得对所有整数 x 和 y ,都有 f ( x ? y ) ? f

( x ) ? f ( y ) ? 6 xy ? 1 , 则 f (2011) ? f (2010) ? ____________ 2. y ? (3 x ? 1)( 9 x ? 6 x ? 5 ? 1) ? (2 x ? 3)( 4 x ? 1 2 x ? 1 3 ? 1) 的图象与 x 轴交点坐标是
2 2

3. 将二顶式 ( x ?
2

1
4

) 的展开式按 x 的降幂排,若前三项系数成等差数列,则该展开式中 x 的幂指数 x

n

是整数的项共有

个.
?

4. 已知数列{an}是正整数组成的递增数列, a n ? 2 ? a n ? 1 ? 2 a n ? n ? N

?,

若 a 5 ? 5 2 , a 7 ? _________ 则

5. 在三棱椎 P?ABC 中, BC=3, CA=4, AB=5, 若三侧面与底面所成二面角均为 45° 则 VP?ABC=________ , 1 6. 数列 a0, a1,…, an 满足 a0= 3, an+1=[an]+ , ([x],{x}分别表示 x 的整数部分和小数部分), {an} 则 a 2 0 1 1 =__________ 7. 由直线 y ? n (n∈N*)与抛物线 y ? x 所围成的封闭区域内(包括边界)的整点个数为_____________ 1 1 1 8. 有一道数学竞赛题, 甲, 乙, 丙单独解出的概率分别为 , , ( a , b , c ∈N*且 1≤ a , b , c ≤10), 现甲, a b c 7 乙, 丙同时独立解答此题, 若他们中恰有一人解出此题的概率为 , 那么, 他们三人都未解出此题的 15 概率为__________
2 2

二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 10、11 题 20 分,共 56 分) 10. 设数列{an}的前 n 项和 Sn 与 an 的关系为 Sn=-ban-
1 (1 ? b )
n

+1,其中 b 是与 n 无关的常数,

且 b≠-1.(1)求 an 与 an?1 的关系式; (2)写出用 n 与 b 表示 an 的表达式.

9. 已知定义在 ? ? ? , 4 ? 上的减函数 f (x), 使得 f ? m ? sin x ? ? f
成立,求实数 m 的范围.

?

1 ? 2m ?

7 2 ? co s x 对一切实数 x 均 4

?

11. 椭圆 C1:a2+b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1 、 F2 ,右顶点为 A , P 为椭圆 C 1 上任意一点,
2 2 且 P F1 ? P F2 最大值的取值范围是 ? c , 3 c ? , ? ? 其中 c ?

x2

y2

???? ???? ?

a ? b . 求椭圆 C 1 的离心率 e 的取值范围; ⑴
2 2

⑵ 设双曲线 C 2 以椭圆 C 1 的焦点为顶点,顶点为焦点, B 是双曲线 C 2 在第一象限上任意一点, 当 e 取得最小值时, 试问是否存在常数 ? ? ? ? 0 ? , 使得 ? B A F1 ? ? ? B F1 A 恒成立?若存在求出 ? 的值; 若不存在,请说明理由.

2012 模拟卷(6)

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2012 年全国高中数学联赛模拟卷(6)答案
1、令 x ? y ? 0 , 得 f (0) ? ? 1 ,令 y ? ? x , 得 f ( x ) ? 3 x ? 1 , 所以 f (2011) ? f (2010) ? 12063
2

2、解: y ? (3 x ? 1)( (3 x ? 1) 2 ? 4 ? 1) ? (2 x ? 3)( (2 x ? 3) 2 ? 4 ? 1) , 令 f ( t ) ? t ( t ? 4 ? 1) ,可知 f ( t ) 是奇
2

函数, 且严格单调, 所以 y ? f (3 x ? 1) ? f (2 x ? 3) , y ? 0 时,f (3 x ? 1) ? ? f (2 x ? 3) ? f (3 ? 2 x ) , 当 所以 3 x ? 1 ? 3 ? 2 x ,故 x ?
4

,即图像和 x 轴交点坐标为 ( , 0 )

4

5 5 1 1 1 1 3、易求前三项系数分别是 1, n , n ( n ? 1) .由这三个数成等差数列,有 2 ? n ? 1+ n ( n ? 1) , 2 2 8 8

解得 n ? 8 和 n ? 1 (舍去). 当 n ? 8 时, T r ? 1 ? C 8 ? ( ) ? x
r r

1

(4?

3r 4

)

, 由 4 3 r , 得 r 只能是 0, 4, 8.

2

4、 a 3 ? a 2 ? 2 a1 , a 4 ? a 3 ? 2 a 2 ? 3 a 2 ? 2 a1 , a 5 ? a 4 ? 2 a 3 ? 5 a 2 ? 6 a1 方程 5 a 2 ? 6 a1 ? 5 2 的正整数解为 a1 ? 2, a 2 ? 8 或 a1 ? 7 , a 2 ? 2 ,又 a 2 ? a 1 ∴ a1 ? 2, a 2 ? 8 ,故 a 7 ? a 6 ? 2 a 5 ? 21a 2 ? 22 a1 ? 212 5、作 P O ? 面 A B C 于 O , O D ? B C 于 D ,OE⊥CA 于 E,OF⊥AB 于 F,设 OP=h,则
? P D O ? ? P E O ? ? P F O ? 45 ,于是 O D ? O E ? O F ? h ? cot 45 ? h ,在△ABC 中, 1 1 3 O D ? 4 O E ? 5 O F ? 2 S ? A B C ? 12 ,即: 3 h ? 4 h ? 5 h ? 12 ,所以 h ? 1 , V ? S h ? ? 6 ? 1 ? 2 3 3
? ?

6、由已知得: a 0 ? 1 ?
a2 ? 2 ?
a4 ? 7 ?

? ?

3 ? 1 , a1 ? 1 ? 3 ?1 ? 4 ?

?

1 3 ?1

? 1?

3 ?1 2 1

? 2?

3 ?1 2

2 3 ?1

? 2?

?

?

3 ? 1 , a3 ? 4 ?

?

3 ?1

? 4?
3 ?1 2

3 ?1 2

? 5?

3 ?1 2
3 ?1 2

?

3 ? 1 ,易得: a 2 k ? 3 k ? 1 ?
2 2

?

?

3 ? 1 , a 2 k ?1 ? 3 k ? 2 ?
2 2

?

, 所以 a 2 0 1 1 ? 3 0 1 5 ?

7、直线 y ? n 与抛物线 y ? x 的交点 A ? n , n 其端点坐标为 C ? k , n
2 2

? , B ? ? n , n ? ,设直线 x ? k 上位于区域内的线段为 CD,
2

则线段 CD 上的整点数为 n ?, D ?k,k ? ,

? k ? 1 ,k ? ? ? n , ? ? ? ? 1, 0,1, 2, ? ? ? n ? ,
2
n 2

故区域内的整点数为:

k ??n

? ?n

n

2

? k ? 1 ? ? 2 n ? 1? n ? 1 ? 2 ? k
2 2 k ?1

?

?

?

?

1 3

? 2 n ? 1? ? 2 n 2 ? n ? 3 ?

1 b ?1 c ?1 a ?1 1 c ?1 a ?1 b ?1 1 7 ? ? ? ? ? ? ? ? 8、依题意: ? a b c a b c a b c 15

即: 1 5 ? ? a ? 1 ? ? b ? 1 ? ? ? b ? 1 ? ? c ? 1 ? ? ? c ? 1 ? ? a ? 1 ? ? ? 7 a b c ? ? 所以:5| a b c , 不妨设 5| c ,于是 c =5, 3 ? ? a ? 1 ? ? b ? 1 ? ? 4 ? b ? 1 ? ? 4 ? a ? 1 ? ? ? 7 a b ? ? 即: 3 ? 3 a ? 3 b ? 7 ? ? 4 a b ,所以 3| a b ,不妨设 3| b ,于是 b ? 3, 6, 9 当 b ? 3 时, a ? 2 ; b ? 6 时, 3 a ? 1 1 ? 8 a ,无整数解。 b ? 9 时, 3 a ? 20 ? 12 a ,无整数解。 所以 a ? 2 , b ? 3 , c ? 5 ,于是三人都未解出的概率为 9、 由题意可得 ?
? m ? sin x ? ? 1 ? 2m ?

4 15

? m ? sin x ? 4 . ?

7 2 ? m ? 1 ? 2 m ? ? sin 2 x ? sin x ? 3 , ? ? co s x , 即? 4 4 对 x ? R恒 成 立 , ? m ? 4 ? sin x . ?

2012 模拟卷(6)

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又 ? sin 2 x ? sin x ? 所以 ?
?m ? ?

3 1 2 1 ? ? (sin x ? ) ? ,所以 4 ? sin x ? 3 . 4 2 2

1 ? 2m ? ?

?m ? 3. ?

1 ?m ? 1 ? ? , 2 所以 ? 2 ?m ? 3. ?

1 ? 2m ,

所以 m ? ?

1 3 ,或 ? m ? 3 . 2 2

10、解(1) a 1 ? S 1 ? ? ba 1 ? 1 ?

1 (1 ? b )

得 a1 ?
1 (1 ? b )

1 (1 ? b )
n

2

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=-ban+1- 整理得 a n ?
b 1? b a n ?1 ? b (1 ? b )
n ?1

? [ ? ba n ? 1 ? 1 ?

1 (1 ? b )
n ?1

] ? ? ba n ? ba n ? 1 ?

b (1 ? b )
n

,

(n ? 2)

(*)

1 1 1 1 - ⑵ 当 b=1 时,a1= , a n ? a n ? 1 ? n ? 1 , 两边同乘以 2n,得 2nan=2n 1an-1+ , 可知数列{2nan}是 4 2 2 2 1 1 n n 1 1 n 以 2a= 为首项,公差为 的等差数列. 所以 2 a n ? ? ( n ? 1) ? , 即 a n ? n ? 1 . 2 2 2 2 2 2

当 b≠1,b≠-1 时,由(*)式得(1+b)nan=b(1+b)n 1an-1+
有( 1? b b ) an ? (
n



b 1? b
n

1? b b

)

n ?1

a n ?1 ?

1 (1 ? b ) b
1
n ?1

. 令 cn ? (

1? b b

) a n , ? c n ? c n ?1 ?

1 (1 ? b ) b
n ?1

.

从而数列{cn-cn-1}就是一个等比数列,n 取 2,3,…,n 得
c 2 ? c1 ? 1 (1 ? b ) b 1 (1 ? b ) b 1 ( 1 ?
n ?1

, c3 ? c2 ?

(1 ? b ) b

2

,? ,

c n ? c n ?1 ? c n ? c1 ? 所以 c n ? 从而 a n ?

, 上述 n ? 1个式子相加得 ?? ? b 1 b
2

1 b 1 b
2

1
n ?1

1? b b 1 1? b b
n n

), 且 c 1 ? 1 b
n ?1

1? b b
n ?1

a1 ?
n

1 1? b

,

(1 ?

?

?? ? b
n n

) ? b

1? b

(1 ? b )( 1 ? b ) ?

,
n

(1 ? b )

? cn ?

(1 ? b )

? b

1? b
n ?1

n

b (1 ? b ) (1 ? b )( 1 ? b )
n ?1

(1 ? b )( 1 ? b )

,

故数列{an}的通项公式为 a n

? n ?2n , ? ? ? n b (1 ? b ) ? ? (1 ? b )( 1 ? b ) n ? 1 ?

b ? 1,

b ? ?1.

11、⑴ 设 P ? x , y ? ,又 F1 ? ? c , 0 ? , F2 ? c , 0 ? ,∴ P F1 ? ? ? c ? x , ? y ? , P F 2 ? ? c ? x , ? y ? .
2 2 2 2 ???? ???? ? y b x x 2 2 2 2 2 2 2 ,0 ? x ? a . P F1 ? P F2 ? x ? y ? c .又 2 ? 2 ? 1 ,得 y ? b ? 2 a a b 2 ???? ???? ? b2 ? 2 c 2 2 2 2 2 ? ∴ P F1 ? P F 2 ? ? 1 ? 2 ? x ? b ? c ? 2 x ? b ? c . a ? a ? ???? ???? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴当 x ? a 时 P F1 ? P F 2 m ax ? b , c ? b ? 3 c , c ? a ? c ? 3 c .

????

???? ?



1 2 1 1 1 c 1 2 ? 2 ? ,即 ? e ? .∴ ? e ? . 2 2 4 2 4 2 a

2

2012 模拟卷(6)

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⑵当 e ?

1 时, a ? 2 c , b ? 2

3 c .∴ C 2 :

x c

2 2

?

y

2 2

3c

? 1 , A ? 2c, 0 ? .

设 B ? x 0 , y 0 ? , ? x 0 ? 0, y 0 ? 0 ? ,则

x0 c

2

2

?

y0 3c

2 2

? 1.
3c ? ? 1 .故 ? B F1 A ? . 3c 4

当 A B ? x 轴时, x 0 ? 2 c , y 0 ? 3 c ,则 tan ? B F1 A ? 故 ? B A F1 ?
?
2

? 2 ? B F1 A ,猜想 ? ? 2 ,使 ? B A F1 ? ? ? B F1 A 总成立.

当 x 0 ? 2 c 时, tan ? B A F1 ?

? y0 x0 ? a

?

? y0 x0 ? 2 c

, tan ? B F1 A ?

y0 x0 ? c



2 y0

∴ tan 2 ? B F1 A ?

2 tan ? B F1 A 1 ? tan ? B F1 A
2

?

x0 ? c ? y0 ? 1? ? ? ? x0 ? c ?
2

.又 y 0 ? 3 c ?
2 2

? x0 2 ? c
2

? 2 2 ? 1 ? ? 3 ? x0 ? c ? , ?

∴ tan 2 ? B F1 A ?

2 y0 ? x0 ? c ?

? x0 ? c ?

2

? 3 ? x0 ? c
2

2

?

?

? y0

2

x0 ? 2 c

? tan ? B A F1 . 2 ? B 1 与 ? B A F1 同在 0, FA 又

? ?2 ? ? ? ?2 , ? ? 内,

∴ 2 ? B F1 A = ? B A F1 ,故存在 ? ? 2 ,使 ? B A F1 ? ? ? B F1 A 恒成立.

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