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一道课本习题的变式和引申


龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 一道课本习题的变式和引申 作者:焦战武 来源:《中学教学参考· 理科版》2013 年第 10 期 纵观近几年来的高考数学试题,源于课本的题型占据了一定的分量.因此对于数学课本上 具有代表性和典型性的习题,教师应挖掘题目的广度和深度,扩大题目的辐射面,这对提高学 生的解题能力,发展学生的创新思维能力具有重要的意义. 【例】(北师大版高中《数学》(必修 5),复习题一,第 38 页第 7 题)观察下列的数 阵 问第 20 行最左边的数是几?第 20 行所有数的和是多少? 解析:本题属于寻找规律、数列求项和求和题,由数阵可以发现第 20 行最右边的数是 an=202=400. 第 20 行的数成等差数列,d=1,n=20× 2-1=39,有 400=a1+(39-1)× 1, 解得 a1=362,S39=na1+n(n+1)d2=14859. 【变式 1】等腰三角形数表问题 将全体正整数排成一个三角形数表: 按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 2 个数为. 解析:通过列举、归纳、猜想,前 n-1 行共有 1+2+3+…+(n-1)个数,即共有 n2-n2 个, 因此第 n 行第 2 个数是全体正整数中第 n2-n2+2 个数,即 n2-n2+2.也可以观察每行第二个数的 特点,归纳出第 n+1 行的数比第 n 行的数多 n,进而求得结果. 本题属于数列求通项题,通过此题可复习等差数列有关公式,培养学生归纳、分析的能力. 【变式 2】回形数表问题(根据 2008 江苏高考零距离突破二轮复习题改编) 将正整数排成如下的螺旋状: 第一个拐弯处的数是 2,第二个拐弯处的数是 3,第 24 个及第 29 个拐弯处的数分别是, 解析 1:由图可知,前 n 个拐弯处的数依次是 2,3,5,7,10,13,17,21,26,…① 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 这是一个数列题目,要求找出它的第 24 项和第 29 项各是多少,因此要找出这个数列的规 律,经观察,该数列的后一项减去前一项,得一新数列 1,2,2,3,3,4,4,5,5,…② 把数列① 的第一项添在数列② 的前面得 2,1,2,2,3,3,4,4,5,5,…③ 观察数列① ③ 发现原数列① 的第 n 项 an 就等于数列③ 的前 n 项和,即 a1=2,a2=2+1=3, a3=2+1+2+2=7,…,故第 24 个拐弯处的数 a24=2+1+2+2+…+12+12=157, a29=2+1+2+2+…+14+14+15=226. 解析 2:设第 i 个拐弯处的数为 ai,显然 a1=2,a2i=a2i-1+i,a2i+1=a2i+(i+1), ∴ a24=a23+12=a22+12+12=…=a1+1+2(2+…+12)=157, a29=a1+1+2(2+…+14)+15=226. 两种解法由具体到抽象,体现出思维不断优化的过程. 解决数表问题,需细心研究其元素排列的规律,即构成数列的元素,或数列的项是按照何 种规则排列而成的,有时即使找到排列的规则,但如果不能对所发现的规律所蕴含的信息进行 整理再加工,解题同样会误入歧途. 总之,为了适应新课程的需要,高考命题会出现一些新情况、新定义、新背景的问题.教 学中通过设计一题多变的训练,不仅可以复习知识与方法,而且会使学生的思维活动逐步展 开,使学生经历探索发现新知识的过程,从而培养学生的创新意识和发散思维能力. (责任编辑金铃)

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