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高中数学立体几何学科老师辅导讲义


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北辰教育学科老师辅导讲义
学员姓名: 授课日期 年 3 月 19 日 级: 高二 辅导科目: 数学 学科教师:

授课时段

授课主题

几何体表面积与体积

教学内容

知识回顾:

知识梳理
一.要求:
了解球、棱柱、棱锥表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式) 。

二.考点总结:
考试中不仅有直接求多面体、旋转体的面积和体积问题,也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位 置关系问题。即使考查空间线面的位置关系问题,也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、 性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想,会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题, 会等体积转化求解问题,会把立体问题转化为平面问题求解,会运用“割补法”等求解。

三.考点精讲
1.多面体的面积和体积公式 名称 棱 柱 棱柱 直棱柱 棱锥 正棱锥 侧面积(S 侧) 直截面周长×l 全面积(S 全) 体 积(V)

S 底·h=S 直截面·h S 侧+2S 底 S 底·h S 侧+S 底
1 S 底·h 3

ch 各侧面积之和

棱 锥

1 ch′ 2

表中 S 表示面积,c′、c 分别表示上、下底面周长,h 表斜高,h′表示斜高,l 表示侧棱长。 2.旋转体的面积和体积公式 名称 圆柱 2π rl 2π r(l+r) 圆锥 π rl π r(l+r) 圆台 π (r1+r2)l π (r1+r2)l+π (r 1+r 2)
2 2



S侧 S全

4π R

2

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最受信赖的教育品牌 V π r h(即π r l)
2 2

1 2 πrh 3

1 2 2 π h(r 1+r1r2+r 2) 3

4 3 πR 3

表中 l、h 分别表示母线、高,r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径,r1、r2 分别表示圆台 上、下底面半径,R 表示半径。

四.题型解析:
题型 1:柱体的体积和表面积
例 1.一个长方体全面积是 20cm2,所有棱长的和是 24cm,求长方体的对角线长.

点评:涉及棱柱面积问题的题目多以直棱柱为主,而直棱柱中又以正方体、长方体的表面积多被考察。我们 平常的学习中要多建立一些重要的几何要素(对角线、内切)与面积、体积之间的关系。 例 2.如图 1 所示,在平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,已知 AB=5,AD=4,AA1=3,AB⊥AD,∠A1AB=∠A1AD=

? 。 3

(1)求证:顶点 A1 在底面 ABCD 上的射影 O 在∠BAD 的平分线上; (2)求这个平行六面体的体积。

图1

图2

题型 2:柱体的表面积、体积综合问题 例 3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2, 3, 6 ,这个长方体对角线的长是( A.2 )

3

B.3

2

C.6

D.

6

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最受信赖的教育品牌 点评:解题思路是将三个面的面积转化为解棱柱面积、体积的几何要素—棱长。 例 4.如图,三棱柱 ABC—A1B1C1 中,若 E、F 分别为 AB、AC 的中点,平面 EB1C1 将三棱柱分成体积为 V1、V2 的 两部分,那么 V1∶V2= _____。

点评:解题的关键是棱柱、棱台间的转化关系,建立起求解体积的几何元素之间的对应关系。最后用统一的 量建立比值得到结论即可。 题型 3:锥体的体积和表面积 例 5.在四棱锥 P-ABCD 中,底面是边长为 2 的菱形,∠DAB=60 ,对角线 AC 与 BD 相交于点 O,PO⊥平 面 ABCD,PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ,求四棱锥 P-ABCD 的体积?
? ?

P

E A B O

D C

点评:本小题重点考查线面垂直、面面垂直、二面角及其平面角、棱锥的体积。在能力方面主要考查空间想 象能力。 例 6.在三棱锥 S—ABC 中,∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°,且 AC=BC=5,SB=5 (Ⅰ)证明:SC⊥BC; (Ⅱ)求侧面 SBC 与底面 ABC 所成二面角的大小; (Ⅲ)求三棱锥的体积 VS-ABC。 (如图所示) 5。

图 点评:本题比较全面地考查了空间点、线、面的位置关系。要求对图形必须具备一定的洞察力,并进行一定 的逻辑推理。
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最受信赖的教育品牌 题型 4:锥体体积、表面积综合问题 例 7.ABCD 是边长为 4 的正方形,E、F 分别是 AB、AD 的中点,GB 垂直于正方形 ABCD 所在的平面,且 GC =2,求点 B 到平面 EFC 的距离?

点评:该问题主要的求解思路是将点面的距离问题转化为体积问题来求解。构造以点 B 为顶点,△EFG 为底 面的三棱锥是解此题的关键,利用同一个三棱锥的体积的唯一性列方程是解这类题的方法,从而简化了运算。 例 8.如图,在四面体 ABCD 中,截面 AEF 经过四面体的内切球(与四个面都相切的球)球心 O,且与 BC,DC 分别 截于 E、F,如果截面将四面体分成体积相等的两部分,设四棱锥 A-BEFD 与三棱锥 A-EFC 的表面积分别是 S1, S2,则必有( ) A A.S1?S2 B.S1?S2 C.S1=S2 D.S1,S2 的大小关系不能确定
O D F

B

E C

点评:该题通过复合平面图形的分割过程,增加了题目处理的难度,求解棱锥的体积、表面积首先要转化好 平面图形与空间几何体之间元素间的对应关系。

题型 6:圆柱的体积、表面积及其综合问题 例 11.一个圆柱的侧面积展开图是一个正方形,这个圆柱的全面积与侧面积的比是(
A.



1 ? 2? 2?

B.

1 ? 4? 4?

C.

1 ? 2?

?

D.

1 ? 4? 2?

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最受信赖的教育品牌 例 12.如图 9—9,一个底面半径为 R 的圆柱形量杯中装有适量的水.若放入一个半径为 r 的实心铁球,水面高 度恰好升高 r,则

R =。 r

点评:本题主要考查旋转体的基础知识以及计算能力和分析、解决问题的能力。



题型 7:圆锥的体积、表面积及综合问题 例 13. (1)在△ABC 中,AB=2,BC=1.5,∠ABC=120°(如图所示) ,若将△ABC 绕直线 BC 旋转一周,则所 形成的旋转体的体积是( )
A.

9 π 2

B.

7 π 2

C.

5 π 2

D.

3 π 2

(2)若一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为 A.3π B.3

3 ,则这个圆锥的全面积是(
D.9π

) 图



C.6π

点评:通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力。而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标 志,是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向。 例 14.如图所示, OA 是圆锥底面中心 O 到母线的垂线,OA 绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成相等的两部分, 则母线与轴的夹角的余弦值为( ) A.

1 3 2

B.

1 2

C.

1 2

D.

1 4 2

点评:本题重点考查柱体、锥体的体积公式及灵活的运算能力。



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题型 8:球的体积、表面积
例 15.已知过球面上 A, B, C 三点的截面和球心的距离为球半径的一半,且 AB ? BC ? CA ? 2 ,求球的表面 积。

点评: 正确应用球的表面积公式,建立平面圆与球的半径之间的关系。 例 16.如图所示,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个 球的表面积。

点评:本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球,则球的直径就 是正方体的对角线,易得球半径 R=

3 a,下略。 2

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题型 9:球的面积、体积综合问题
例 17.如图,正四棱锥 P ? ABCD 底面的四个顶点 A, B, C , D 在球 O 的同一个大圆上,点 P 在球面上,如果

VP ? ABCD ?

16 ,则球 O 的表面积是( 3

)A. 4?

B. 8?

C. 12? D. 16?

(2)半球内有一个内接正方体,正方体的一个面在半球的底面圆内,若正方体棱长为 6 ,求球的表面积和体积。

点评:本题重点考查球截面的性质以及球面积公式,解题的关键是将多面体的几何要素转化成球的几何要素。

例 18. (1)表面积为 324? 的球,其内接正四棱柱的高是 14 ,求这个正四棱柱的表面积。 (2)正四面体 ABCD 的棱长为 a,球 O 是内切球,球 O1 是与正四面体的三个面和球 O 都相切的一个小球,求球 O1 的体积。

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点评:正四面体的内切球与各面的切点是面的中心,球心到各面的距离相等。

题型 10:球的经纬度、球面距离问题
例 19. (1)我国首都靠近北纬 40 纬线,求北纬 40 纬线的长度等于多少 km ?(地球半径大约为 6370km ) (2)在半径为 13cm 的球面上有 A, B, C 三点, AB ? BC ? AC ? 12cm ,求球心到经过这三点的截面的距离。
? ?

例 20. 在北纬 45 圈上有 A, B 两点, 设该纬度圈上 A, B 两点的劣弧长为 点间的球面距离。

?

2 , 求 A, B 两 ? R( R 为地球半径) 4

点评:要求两点的球面距离,必须先求出两点的直线距离,再求出这两点的球心角,进而求出这两点的球面 距离。

五.思维总结
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最受信赖的教育品牌 1.正四面体的性质 设正四面体的棱长为 a,则这个正四面体的 (1)全面积:S 全= 3 a ;(2)体积:V=
2

2 3 2 a ;(3)对棱中点连线段的长:d= a; 12 2
R=

(4)内切球半径:r=

6 a;(5)外接球半径 12

6 a; 4

(6)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。 2.直角四面体的性质 有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面 体有下列性质: 如图,在直角四面体 AOCB 中,∠AOB=∠BOC=∠COA=90°,OA=a,OB=b,OC=c。 则:①不含直角的底面 ABC 是锐角三角形; ②直角顶点 O 在底面上的射影 H 是△ABC 的垂心; ③体积 V=

1 abc; 6

④底面△ABC=
2

1 2

a 2 b2 ? b2c2 ? c2a 2 ;

⑤S △ABC=S△BHC·S△ABC; 2 2 2 2 ⑥S △BOC=S △AOB+S △AOC=S △ABC ⑦

1 1 1 1 = 2 + 2 + 2 ; 2 OH a b c 1 ⑧外切球半径 R= a 2 ? b2 ? c2 ; 2
⑨内切球半径 r=

S ?AOB ? S ?BOC - S ?ABC a?b?c

3.圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角. ①如图,圆锥的顶角为β ,母线与下底面所成角为α ,母线为 l,高为 h,底面半径为 r,则 sinα =cos α +

? =90° ? 2 ? r cosα =sin = . l 2

? h = , l 2

③球的截面用一个平面去截一个球,截面是圆面. (1)过球心的截面截得的圆叫做球的大圆;不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆; (2)球心与截面圆圆心的连线垂直于截面; (3)球心和截面距离 d,球半径 R,截面半径 r 有关系:r= R 2 - d 2 .

4.经度、纬度: 经线:球面上从北极到南极的半个大圆;
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纬线:与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆;

经度:某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与 0 经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数。 纬度:某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数。

?

5. 两点的球面距离: 球面上两点之间的最短距离,就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度,我们把这个弧长叫做两点 的球面距离 两点的球面距离公式: (其中 R 为球半径, ? 为 A,B 所对应的球心角的弧度数)
王新敞
奎屯 新疆

课后作业
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最受信赖的教育品牌 1、如图,△ ABC 中, ?ACB=90 , ?ABC =30 , BC = 3 ,在三角形内挖去一个半圆(圆心 O 在边 BC 上,
? ?

半圆与 AC 、 AB 分别相切于点 C 、 M ,与 BC 交于点 N ) ,将△ ABC 绕直线 BC 旋转一周得到一个旋转体。 (1)求该几何体中间一个空心球的表面积的大小; (2)求图中阴影部分绕直线 BC 旋转一周所得旋转体的体积.

A

M

C

O 第 20 题

N

B

2、如图,四面体 ABCD 中, O 、 E 分别是 BD 、 BC 的中点, AO ? 平面 BCD , CA ? CB ? CD ? BD ? 2 . A (1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)求异面直线 AE 与 CD 所成角的大小.

D O B E C

3、 (本题满分 12 分)

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最受信赖的教育品牌 在正四棱锥 P ? ABCD 中,侧棱 PA 的长为 2 5 , PA 与 CD 所成的角的大小等于 arccos (1)求正四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)若正四棱锥 P ? ABCD 的五个顶点都在球 O 的表面上,求此球 O 的半径.
P

10 . 5

D

C B

A

4、 (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 7 分 . 如图,在三棱锥 P ? ABC 中, PA ? 平面 ABC , AC ? AB , AP ? BC ? 4 , ?ABC ? 30? , D 、E 分别是 BC 、 AP 的中点. (1)求三棱锥 P ? ABC 的体积; (2)若异面直线 AB 与 ED 所成角的大小为 ? ,求 tan? 的值. P

E

A

B

C

D

5、(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分.
北辰教育· 教学部 12

最受信赖的教育品牌 如图已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是边长为 6 的正方形,侧棱 PA 的长为 8,且垂直于底面, 点 M、N 分别是 DC 、AB 的中点.求 (1)异面直线 PM 与 CN 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ; (2)四棱锥 P ? ABCD 的表面积.

6、 (本小题满分 12 分,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 如图,直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中, AB ? AC ? AA 1 ? 2 , ?ABC ? 45 . (1)求直三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积; (2)若 D 是 AC 的中点,求异面直线 BD 与 AC 1 所成的角.
B1
?

A1

c1

A

D C

B

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