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求 函数值域的几种常见方法


求 函数值域的几种常见方法 1.直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 的定义域为{x|x 0},值域为{y|y 0}; 二次函数 的定义域为 R, 当 a>0 时,值域为{ };当 a<0 时,值域为{ }. 例 1.求下列函数的值域 ① y=3x+2(-1 x 1) ② ③ ④ 解:①∵-1 x 1,∴-3 3x 3, ∴-1 3x+2 5,即-1 y 5,∴值域是[-1,5] ②∵ ∴ 即函数 的值域是 { y| y 2} ③ ④当 x>0,∴ = , 当 x<0 时, =- ∴值域是 [2,+ ).(此法也称为配方法) 函数 的图像为: 2.二次函数比区间上的值域(最值): 例 2 求下列函数的最大值、最小值与值域: ① ; 解:∵ ,∴顶点为(2,-3),顶点横坐标为 2. ①∵抛物线的开口向上,函数的定义域 R, ∴x=2 时,ymin=-3 ,无最大值;函数的值域是{y|y -3 }. ②∵顶点横坐标 2 [3,4], 当 x=3 时,y= -2;x=4 时,y=1; ∴在[3,4]上, =-2, =1;值域为[-2,1]. ③∵顶点横坐标 2 [0,1],当 x=0 时,y=1;x=1 时,y=-2, ∴在[0,1]上, =-2, =1;值域为[-2,1]. ④∵顶点横坐标 2 [0,5],当 x=0 时,y=1;x=2 时,y=-3, x=5 时,y=6, ∴在[0,1]上, =-3, =6;值域为[-3,6]. 注:对于二次函数 , ⑴若定义域为 R 时, ①当 a>0 时,则当 时,其最小值 ; ②当 a<0 时,则当 时,其最大值 . ⑵若定义域为 x [a,b],则应首先判定其顶点横坐标 x0 是否属于区间[a,b]. ①若 [a,b],则 是函数的最小值(a>0)时或最大值(a<0)时,再比较 的大小决定函数的 最大(小)值. ②若 [a,b],则[a,b]是在 的单调区间内,只需比较 的大小即可决定函数的最大(小)值. 注:①若给定区间不是闭区间,则可能得不到最大(小)值; ②当顶点横坐标是字母时,则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论. 3.判别式法(△法): 判别式法一般用于分式函数, 其分子或分母只能为二次式, 解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论 例 3.求函数 的值域

方法一:去分母得 (y-1) +(y+5)x-6y-6=0 ① 当 y11 时 ∵x?R ∴△=(y+5) +4(y-1)×6(y+1) 0 由此得 (5y+1) 0 检验 时 (代入①求根) ∵2 ? 定义域 { x| x12 且 x13} ∴ 再检验 y=1 代入①求得 x=2 ∴y11 综上所述,函数 的值域为 { y| y11 且 y1 } 方法二:把已知函数化为函数 (x12) ∵ x=2 时 即 说明: 此法是利用方程思想来处理函数问题, 一般称判别式法. 判别式法一般用于分式函数, 其分子或分母只能为二次式.解题中要注意二次项系数是否为 0 的讨论. 4.换元法 例 4.求函数 的值域 解:设 则 t 0 x=1代入得 5.分段函数 例 5.求函数 y=|x+1|+|x-2|的值域. 解法 1:将函数化为分段函数形式: ,画出它的图象(下图),由图象可知,函数的值域 是{y|y 3}. 解法 2:∵函数 y=|x+1|+|x-2|表示数轴上的动点 x 到两定点-1,2 的距离之和,∴易见 y 的 最小值是 3,∴函数的值域是[3,+ ]. 如图 两法均采用“数形结合”,利用几何性质求解,称为几何法或图象法. 说明: 以上是求函数值域常用的一些方法 (观察法、 配方法、 判别式法、 图象法、 换元法等) , 随着知识的不断学习和经验的不断积累,还有如不等式法、三角代换法等.有的题可以用多 种方法求解,有的题用某种方法求解比较简捷,同学们要通过不断实践,熟悉和掌握各种解 法,并在解题中尽量采用简捷解法.


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