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上海市七校2016届高三数学上学期12月联合调研考试试题 文


2015 学年第一学期高三教学调研 (2015.12) 数 学 试 卷(文史类)
考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸上将姓名、座位号、准考证号等填写清楚. 2.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一. 填空题 (本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每题填对得 4 分, 否则一律得零分. 1.函数 f (

x) ? x ? ? ?( x ? ?) 的反函数是 f 2、已知 a ? ?, b ? ?, a 和 b 的夹角为
??

( x) ? __________ ___.

? ,则 a ? b ? __________ _. ?
? ?

3、幂函数 y ? f ( x) 的图象过点 (?, ) ,则 f ( ) ? _________ . 4、方程 log? ( x ? ?) ? log? (? ? x) 的解为_______________. 5、不等式 (? ? x )(? ? x) ? ? 的解集为____ ______.

? ?

6、若直线 l? 的一个法向量 n ? (?,?) ,若直线 l ? 的一个方向向量 d ? (?,??) ,则 l? 与 l ? 的夹角

?=

.(用反三角函数表示).

7、直线 l : x ? ?y ? ? ? ? 交圆 x ? ? y ? ? ? 于 A、B 两点,则 AB ? _______ .

? ,则 cos? ? . ? ? 9、无穷等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S ? ? ?, S ? ? ? ,则 lim S n ? _______ .
8、已知 ? ? ??, ? ?, 且 tan( ? ?

?

)?

n ??

10、已知 f ( x) ? kx ? x ? ? 有两个不同的零点,则实数 k 的取值范围是
?

.

11、已知 a、b、c 是 ?ABC 中 ?A、?B、?C 的对边, 若 a ? ?, A ? ?? , ?ABC 的面积 为 ?? ? ,则 ?ABC 的周长为 .

12 、 奇 函 数 f ( x) 的 定 义 域 为 R , 若 f ( x ? ?) 为 偶 函 数 , 且 f (?) ? ? , 则

f (???) ? f (??? ) ? _ _ _ _ _ __ _. _ _ _
13、已知等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,若 S ? , S ? , S ? 成等差数列,且 a? ? a? ? a? ? ??? , 若 S n ? ????,则 n 的取值范围为 .

14、设 ?x ? 表示不超过 x 的最大整数,如 ?? ? ? ?, ?? ?.?? ? ?? .给出下列命题: ①对任意的实数 x ,都有 x ? ? ? ?x? ? x ; ②对任意的实数 x , y ,都有 ?x ? y? ? ?x? ? ?y? ;
-1-

③ ?lg?? ? ?lg ?? ? ?lg ?? ? ? ? ?lg ???? ? ? ?lg ????? ? ????; ④若函数 f ( x) ? ?x?x?? ,当 x ? ??, n?(n ? N * ) 时,令 f ( x) 的值域为 A,记集合 A 中元素 个数为 an ,则

a n ? ?? ?? 的最小值为 .其中所有真命题的序号为 ? n

.

二.选择题 (本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? n ? ,则 a? 的值为 A、 ?? B、 ?? C、 ?? D、64 ( ) ( )

16、 a ? ? 是直线 ax ? ? y ? ?a ? ? 和 ?x ? (a ? ?) y ? a ? ? 平行且不重合的 A、充分非必要条件 C、充要条件 B、必要非充分条件 D、既不充分又不必要条件

17 、 将 f ( x) ? s i n? x 的 图 象 右 移 ? (? ? ? ?

?
?

) 个 单 位 后 得 到 g ( x) 的 图 象 , 若 满 足

f ( x? ) ? g( x? ) ? ? 的 x? , x ? ,有 x? ? x? 的最小值为
A、

? ,则 ? 的值为 ?
D、





? ??

B、

? ?

C、

? ?

? ?

ex ? m 18、已知函数 f ( x) ? x ,若对任意 x?、x?、x? ? R ,总有 f ( x? )、f ( x2 )、f ( x3 ) 为某 e ??
一个三角形的边长,则实数 m 的取值范围是 A、 ? ,?? ? ( D、 ? ,?? ? )

?? ? ? ?

B、 ??,??

C、 ??,??

?? ? ? ?

三.解答题 (本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤.

19. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a? , a? , a? 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? ??,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最小值.

-2-

20. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ? x ? a . (1)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; (2)试讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

21. (本题共 2 小题,满分 14 分。第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 已知 m ? (cos
?

x , ? sin x), n ? (?,?) ,设函数 f ( x) ? m ? n . ?

(1)当 x ? ??

? ? ?? ,求函数 f ( x) 的值域; , ? ? ?? ?
?? ?? ? ? ? ? ? ,求 sin( ?? ? ) 的值. ,且 ? ? ? ? ?

(2)当 f (? ) ?

22. (本题 3 小题,满分 18 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? x 的定义域为 D 恰是不等式
?

? ? ? 的解集,其值域为 A .函数 x ??

-3-

? g ( x) ? x ? ? ?tx ? t 的定义域为 ??,?? ,值域为 B . ?
(1)求函数 f ( x) 定义域为 D 和值域 A ; (2)是否存在负实数 ...t ,使得 A ? B 成立?若存在,求负实数 ...t 的取值范围;若不存在,请 说明理由; (3)若函数 g ( x) ? x ? ?tx ?
?

? t 在定义域 ??,?? 上单调递减,求实数 t 的取值范围. ?

23. (本题共 3 小题,满分 18 分。第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知椭圆 E 的长轴长与焦距比为 ? : ? ,左焦点 F (??,?) ,一定点为 P(??,?) . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过 P 的直线与椭圆交于 P ? , P? 两点,设直线 P ?F , P ? F 的斜率分别为 k? , k ? , 求证: k? ? k ? ? ? ; (3)求 ?P ?P ? F 面积的最大值.

-4-

2015 学年第一学期高三教学调研(2015.12) 数学试卷参考答案与评分标准(文科) 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每题填对得 4 分, 否则一律得零分. 1、 f
??

( x) ? x ? ?( x ? ?) ; 2、 1 ; 3、2 ; 4、4; 5、 (??,??) ? (??,?) ;
? ? ?? ; 7、2; 8、 ? ; 9、4 ; 10、 (?,?) ; 11、20; 12、-1 ; ? ??

6、 arccos

13、 n ? ?k ? ?(k ? N * ) ;14、①②④.

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个 结论是正确的,选对得 5 分,否则一律得零分. 15、A; 16、C ; 17、B;18、D

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 19. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 公差不为零的等差数列 ?an ? 中, a? , a? , a? 成等比数列,且该数列的前 10 项和为 100. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? an ? ??,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn 的最小值. 解: (1)设公差为 d (d ? ?) ,由 a? , a? , a? 成等比数列,得 a? ? a?a? ,推出 a? ? ?d ① 由前 10 项和为 100,得 ?a? ? ?d ? ?? ②,解①②得 ? 所以: an ? ?n ? ? (6 分)
?

?a? ? ? ?d ? ?

(2)由 bn ? an ? ?? ,得 bn ? ?n ? ??,因数列 ?bn ? 是单调递增,所以:当 n ? ? 时,

bn ? ? ;当 n ? ? 时, bn ? ? ,
因此: Tn 的最小值为 T? ? ??? (6 分)

-5-

20. (本题共 2 小题,满分 12 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分) 已知函数 f ( x) ? x ? ? x ? a . (1)当 a ? ? 时,求函数 f ( x) 的最小值; (2)试讨论函数 f ( x) 的奇偶性,并说明理由.

? x ? ? x ? ? ( x ? ?) 解: (1)当 a ? ? 时,函数 f ( x) ? ? ? , ? x ? x ? ? ( x ? ?)
? 当 x ? ? 时, f ( x) ? ( x ? ) ?

? ?

? ,所以当 x ? ? 时 f ( x) 取得最小值,最小值为 1 ? ? ? ? ,所以当 x ? 时 f ( x) 取得最小值,最小值 , ? ? ?

? 当 x ? ? 时, f ( x) ? ( x ? ) ?

? ?

综上, f ( x) 最小值为

? . ?

(6 分)

? (2)当 a ? ? 时, f ( x) ? x ? x 为偶函数;
? ? 当 a ? ? 时,因 f (a) ? a , f (?a) ? a ? ? a

得: f (?a) ? f (a), 且 f (?a) ? ? f (a), 所以 f ( x) 为非奇非偶函数 综上,当 a ? ? 时, f ( x) 为偶函数; 当 a ? ? 时, f ( x) 为非奇非偶函数 (6 分)

21. (本题共 2 小题,满分 14 分。第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分) 已知 m ? (cos
?

x , ? sin x), n ? (?,?) ,设函数 f ( x) ? m ? n . ?

(1)当 x ? ??

? ? ?? ,求函数 f ( x) 的值域; , ? ? ?? ?
?? ?? ? ? ? ? ? ,求 sin( ?? ? ) 的值. ,且 ? ? ? ? ?
?

(2)当 f (? ) ?

解: f ( x) ? m ? n ? ? cos

x ? ? ? sin x ? ? ? cos x ? ? sin x ? ? sin( x ? ) ? ? ? ?
-6-

(1)当 x ? ??

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? , ? ,得: x ? ? ?? , ? ,得: sin(x ? ) ? ?? ,?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?
(7 分)

得 f ( x) ? ??,?? ,所以函数 f ( x) 的值域为 ??,?? (2)由 f (? ) ? 因?

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ,推出 ? ? ? ? ? ,所以 cos( ? ? ) ? , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 因 sin( ?? ? ) ? ? sin(? ? ) cos( ? ? ) ? (7 分) ? ? ? ??

?? ? ? ,得 sin(? ? ) ? , ? ? ?

22. (本题 3 小题,满分 18 分。第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? ? x 的定义域为 D 恰是不等式

? ? ? 的解集,其值域为 A .函数 x ??

? g ( x) ? x ? ? ?tx ? t 的定义域为 ??,?? ,值域为 B . ?
(1)求函数 f ( x) 定义域为 D 和值域 A ; (2)是否存在负实数 ...t ,使得 A ? B 成立?若存在,求负实数 ...t 的取值范围;若不存在,请 说明理由; (3)若函数 g ( x) ? x ? ?tx ?
?

? t 在定义域 ??,?? 上单调递减,求实数 t 的取值范围. ?

解: (1)因不等式

? ?? x ?? x ? ? 等价于不等式 ? ? ,解不等式 ? ? 得: D ? ?? ?,?? x ?? x ?? x ??
?

因 f ( x) ? x ? x ? ( x ? ) ?

? ?

?

? ? ? ? , x ? D ,所以 A ? ?? ,?? ? ? ? ?

(6 分)

(2)假设存在负实数 t ,使得 A ? B 成立.
? 因 t ? ? , g ( x) ? x ? ?tx ?

? ?t ? ?t t 在 ??,?? 上为增函数,值域 B ? ? ,? ? ? . ? ?? ??

? ?t ? ? ? ? ? ?t 因 A ? B 得: ? ? ? ,解得: t ? ? ? ? ?? ? ?t ?? ? ? ? ? ?
所以,存在负实数 t ,使得 A ? B 成立,且 t 的取值范围为 ( ?? ,? ] (6 分)

? ?

-7-

(3)设 ? ? x? ? x? ? ? ,因 g ( x) ? x ? ?tx ? 所以 g ( x? ) ? g ( x? ) 恒成立.

?

? t 在定义域 ??,?? 上单调递减, ?

因 g ( x? ) ? g ( x? ) 等价于 ?t ( x? ? x? ) ? ( x? ? x? ) 又 x? ? x? ? ? , g ( x? ) ? g ( x? ) 等价于 ?t ? x? ? x? x? ? x? 因 ? ? x? ? x? ? ? ,所以 ? ? x? ? x? x? ? x? ? ? 所以 ?t ? ? ,即 t ? ? (6 分)
? ? ? ?

?

?

23. (本题 3 小题,满分 18 分。第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分) 已知椭圆 E 的长轴长与焦距比为 ? : ? ,左焦点 F (??,?) ,一定点为 P(??,?) . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)过 P 的直线与椭圆交于 P ? , P? 两点,设直线 P ?F , P ? F 的斜率分别为 k? , k ? , 求证: k? ? k ? ? ? ; (3)求 ?P ?P ? F 面积的最大值. 解: (1)因

?a ? x? y? ? ,又 c ? ? ,得 a ? ?, b ? ? ?? ,所以 E 方程为 ? ? ? (4 分) ?c ? ?? ??

(2)设过 P 的直线为 y ? k ( x ? ?) 交椭圆 E 于 P ? ( x? , y? ), P ? ( x? , y ? )

? y ? k ( x ? ?) ? 由 ? x? 得: (? ? ?k ? ) x ? ? ??k ? x ? ???k ? ? ?? ? ? y? ?? ? ? ? ?? ??

? ? ??k ? x ? x ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?k ? , 由题意: ? ? ? ,得 ? ? k ? ,且 ? ? ? ? ? x x ? ???k ? ?? ? ? ? ? ? ?k ? ?
因 k? ? k ? ?

y? y? y ( x ? ?) ? y ? ( x? ? ?) ? ? ? ? x? ? ? x? ? ? ( x? ? ?)(x? ? ?)

而 y? ( x? ? ?) ? y? ( x? ? ?) ? k ( x? ? ?)(x? ? ?) ? k ( x? ? ?)(x? ? ?)

? ???k ? ? ?? ? ? ??k ? ? k ?? x? x? ? ??x? x? ? ??? ? k ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ? ? ? ? k ? ? ? k ? ?
所以: k? ? k ? ? ? 得证. (6 分)
-8-

(3)由(2)点 F 到直线 P ?P ? 的距离为 d ? 所以: ?P ?P ? F 的面积 S ?

?k ?? k
?

且P ? P? ? ? ? k

?

x? ? x ? ,

? P? P? ? d ? ? k x? ? x ? ? ? k ( x? ? x ? ) ? ? ? x? x ? ?

? ?k (

? ?? k ? ? ??? k ? ? ?? ? ? ?k ? ? ?k ? ? k ? ) ? ? ? ? ?? k ? ?? ? ? ?k ? ? ? ?k ? (? ? ? k ? ) ? (? ? ? k ? ) ?

令 ? ? ?k ? ? t (? ? t ? ?) 得: S ? ?? ? ??( ) ? ? ? ? ?(

? t

?

? t

? ? ? ? ? ) ? t ?

所以当

? ? ? 时, S 取最大值为 ? ? (8 分) t ??

-9-


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