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河北省衡水市故城高中2016-2017学年高二数学下学期期末试卷 文


河北省衡水市故城高中 2016-2017 学年高二下学期期末数学 试卷(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 A. 的模长为() B. C. D. 2

2. (5 分)命题“对于任意角 θ,cos4θ﹣sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ﹣ s

in4θ=(cos2θ﹣sin2θ) (cos2θ+sin2θ)=cos2θ﹣sin2θ=cos2θ”过程应用 了() A.分析发 C.综合法、分析法结合使用 B.综合法 D.间接证法

3. (5 分)有关线性回归的说法,不正确的是() A.具有相关关系的两个变量不一定是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归方程

4. (5 分)在极坐标系中,点(2, A.2 B.

)到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为() C. D.

5. (5 分)若点 P 是正四面体 A﹣BCD 的面 BCD 上一点,且 P 到另三个面的距离 分别为 h1,h2,h3,正四面体 A﹣BCD 的高为 h,则()

1

A.h>h1+h2+h3 C.h<h1 +h2+h3

B.h=h1+h2+h3 D.h1,h2,h3 与 h 的关系不定

6. (5 分)已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 2,方差是 ,那么另一 组数据 3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣3,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数和方差分别为() A.2, B. 4 ,3 C.4, D. 2,1

7. (5 分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10=() A.28 B. 76 C. 123D. 199

8. (5 分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 R M 0.82 106 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103

则哪 位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性() A.甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

9. (5 分)设 n∈N*,f(n)=1+ + +?+ ,计算知 f(2)= ,f(4)>2,f(8) > ,f(16)>3,f(32)> ,由此猜测() A.f(2n)> D.以上都不对 B. f(n2)≥ C.f(2n)≥

10. (5 分)如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于()

2

A.720

B.

360

C.240 D. 120

11. (5 分)若直线 l 的参数方程为 余弦值为() A. B.

,则直线 l 倾斜角的

C.

D.

12. (5 分)p=

+

,q=

?

(m、n、a、b、c、d 均为正数) ,则

p、q 的大小为() A.p≥q B. p≤q C.p>q D. 不确定

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=. 14. (5 分)在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4, 的面积是. ) ,B(5,﹣ ) ,则△OAB

15. (5 分)已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是 .
3

16. (5 分)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②回归方程 =bx+a 必过点( , ) ;

③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=13.079,则其两个变量间有关系的可能 性是 90%. 其中错误的是 .

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (10 分)已知复数 x2+x﹣2+(x2﹣3x+2)i(x∈R)是 4﹣20i 的共轭复数 , 求 x 的值.

18. (12 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当 x=2 时的值.

19. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图,若 k=5,k=10 时, 分别有 和

(1)试求数列{an}的通项; (2)令 bn=2 ,求 b1+b2+?+bm 的值.
an

4

20. (12 分) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

21. (12 分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:cm)的 值落在[29.94, 30.06) 的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其内径尺寸,得结果如表: 甲厂: 分组 [29.86, [29.90, [29.94,

29.90 ) 29.94)

5

29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 频数 乙厂: 分组 12

[29.9 8, [30.02, [30.06, [30.10,

63

86

182

92

61

4

[29.86, [29.90, [29.94, [29.98, [30.02, [30.06, [30.10,

29.90) 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 频数 29

71

85

159

76

62

18

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分 厂生产的零件的质量有差异”. 甲厂 优质品 非优质品 合计 附 K2= p(K2≥k) k 3.841 0.05 0.01 6.635 , 乙厂 合计

6

22. (12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个 常数: ①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°; ④sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin(﹣18°)cos (﹣48°) ; ⑤sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin(﹣25°)cos (﹣55°) . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的 结论.

河北省衡水市故城高中 2016-2017 学年高二下学期期末数学试卷(文科) 参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)复数 A. 的模长为() B. C. D. 2

考点: 复数求模. 专题: 计算题. 分析: 通过复数的分子与分母同时求模即可得到结果. 解答: 解: 复数 所以 故选 B.
7

, = = .

=

点评: 本题考查复数的模的求法,考查计算能力.

2. (5 分)命题“对于任意角 θ,cos4θ﹣sin4θ=cos2θ”的证明:“cos4θ﹣ sin4θ=(cos2θ﹣sin2θ) (cos2θ+sin2θ)=cos2θ﹣sin2θ=cos2θ”过程应用 了() A.分析发 C.综合法、分析法结合使用 B.综合法 D.间接证法

考点: 分析法和综合法. 专题: 探究型;不等式的解法及应用. 分析: 在推理的过程中使用了因式分解,平方差公式,以及余弦的倍角公式, 符合综合法的证明过程. 解答: 解:在证明过程中使用了大量的公式和结论,有平方差公式,同角的关 系式, 所以在证明过程中,使用了综合法的证明方法. 故选:B. 点评: 本题主要考查证明方法的选择和判断,比较基础.

3. (5 分)有关线性回归的说法,不正确的是() A.具有相关关系的两个变量不一定是因果关系 B.散点图能直观地反映数据的相关程度 C.回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系 D.任一组数据都有回归方程

考点: 两个变量的线性相关. 专题: 阅读型.

8

分析: 具有相关关系的两个变量不一定是因果关系,散点图能直观的反映数据 的相关程度,回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系,并不是任一 组数据都有回归方程. 解答: 解:具有相关关系的两个变量不一定是因果关系,故 A 正确, 散点图能直观的反映数据的相关程度,故 B 正确, 回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系,故 C 正确 并不是任一组数据都有回归方程, 例如当一组数据的线性相关系数很小时, 这组数据就不会有回归方程.故 D 不正确 故选 D 点评: 本题考查两个变量的线性相关,考查线性相关关系的 意义,考查散点图 和线性回归方程的作用,本题是一个概念辨析问题.

4. (5 分)在极坐标系中,点(2, A.2 B.

)到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为() C. D.

考点: 圆的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 在直角坐标系中,求出点 的坐标和圆的方程及圆心坐标,利用两点间 的距离公式求出所求的距离.
2 解答: 解: 在直角坐标系中, 点即 ( 1, ) , 圆即 x2+y2=2x, 即 (x﹣1) +y2=1,

故圆心为(1,0) ,故点(2, = 故选 D.

)到圆 ρ=2cosθ 的圆心的距离为 ,

点评: 本题考查极坐标与直角坐标的互化,两点间的距离公式的应用.

9

5. (5 分)若点 P 是正四面体 A﹣BCD 的面 BCD 上一点,且 P 到另三个面的距离 分别为 h1,h2,h3,正四面体 A﹣BCD 的高为 h,则() A.h>h1+h2+h3 C.h<h1+h2+h3 B.h=h1+h2+h3 D.h1,h2,h3 与 h 的关系不定

考点: 棱锥的结构特征. 专题: 转化思想. 分析: 由 VA﹣BCD=VP﹣ABC+VP﹣ACD+VP﹣ABD,可得 h=h1+h2+h3,从而得到结论. 解答: 解:VA﹣BCD=VP﹣ABC+VP﹣ACD+VP﹣ABD,结合正四面体 A﹣BCD 的四个面的面积相等 可得 S?h= S?h1+ S?h2+ S?h3, S?h= S?h1+ S?h2+ S?h3,即可得

即可得 h=h1+h2+h3∴h=h1+h2+h3; 故选 B. 点评: 此题考查了正四面体和棱锥的体积的求解方法.此题难度适中,解题的 关键是将体积进行等价转化,属于中档题.

6. (5 分)已知一组数据 x1,x2,x3,x4,x5 的平均数是 2,方差是 ,那么另一 组数据 3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣3,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数和方差分别为() A.2, B. 4 ,3 C.4, D. 2,1

考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 计算题. 分析: 本题可将平均数和方差公式中的 x 换成 3x﹣2,再化简进行计算. 解答: 解:∵x1,x2,?,x5 的平均数是 2,则 x1+x2 +?+x5=2×5=10. ∴数据 3x1﹣2,3x2﹣2,3x3﹣2,3x4﹣2,3x5﹣2 的平均数是: ′= [(3x1﹣2) +(3x2﹣2)+(3x3﹣2)+(3x4﹣2)+(3x5﹣2)]= [3×(x1+x2+?+x5)﹣10]=4,

10

S′ = ×[(3x1﹣2﹣4) +(3x2﹣2﹣4) +?+( 3x5﹣2﹣4) ], = ×[(3x1﹣6)2+?+(3x5﹣6)2]=9× [(x1﹣2)2+(x2﹣2)2+?+(x5﹣2)2]=3. 故选 B. 点评: 本题考查的是方差和平均数的性质. 设平均数为 E (x) , 方差为 D (x) . 则 E(cx+d)=cE(x)+d;D(cx+d)=c2D(x) .

2

2

2

2

7. (5 分)观察下列各式:a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,?,则 a10+b10=() A.28 B. 76 C. 123D. 199

考点: 归纳推理. 专题: 阅读型. 分析: 观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,?,所求值为数列中的第 十项.根据数列的递推规律求解. 解答: 解:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,?,其规律为从第三 项起,每项等于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项. 继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,?,第十项为 123, 即 a10+b10=123, . 故选 C. 点评: 本题考查归纳推理,实际上主要为数列的应用题.要充分寻找数值、数 字的变化特征,构造出数列,从特殊到一般,进行归纳推理.

8. (5 分)甲、乙、丙、丁四位同学各自对 A、B 两变量的线性相关性做试验, 并用回归分析方法分别求得相关系数 r 与残差平方和 m 如下表: 甲 R M 0.82 106 乙 0.78 115 丙 0.69 124 丁 0.85 103

11

则哪位同学的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性() A.甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

考点: 两个变量的线性相关. 专题: 计算题;图表型;规律型. 分析: 在验证两个变量之间的线性相关关系中, 相关系数的绝对值越接近于 1, 相关性越强,残差平方和越小,相关性越强,得到结果. 解答: 解:在验证两个变量之间的线性相关关系中,相关系数的绝对值越接近 于 1,相关性越强, 在四个选项中只有丁的相关系数最大, 残差平方和越小,相关性越强, 只有丁的残差平方和最小, 综上可知丁的试验结果体现 A、B 两变量有更强的线性相关性, 故选 D. 点评: 本题考查两个变量的线性相关,本题解题的关键是了解相关系数和残差 平方和两个量对于线性相关的刻画.

9. (5 分)设 n∈N*,f(n)=1+ + +?+ ,计算知 f(2)= ,f(4)>2,f(8) > ,f(16)>3,f(32)> ,由此猜测() A.f(2n)> D.以上都不对 B. f(n2)≥ C.f(2n)≥

考点: 类比推理. 专题: 归纳猜想型. 分析: 本题考查的知识点是归纳推理, 我们可以根据已知条件中的不等式 f (2) = ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,f(32)> ,分析不等式左边的自

12

变量,及右边数的与项的关系,我们易得左边的自变量值为 2n,右边的分母都 为 2,分子为 n+2,由此归纳推理后,不难等到第 n 个不等式. 解答: 解:由已知 f(2)=f(21)= , f(4)=f(22)> , f(8)=f(23)> , f(16)=f(24)> , f(32)=f( 25)> , ? 故猜测 f(2n)≥ 故选 C 点评: 归纳推理的一般步骤是: (1)通过观察个别情况发现某些相同性质; (2) 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想) . .

10. (5 分)如果执行如图的程序框图,若输入 n=6,m=4,那么输出的 p 等于()

A.720

B.

360

C.240 D. 120

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图.

13

分析: 执行程序框图,写出每次循环得到的 k,ρ 的值,当有 k=4,ρ=360 时 不满足条件 k<m,输出 p 的值为 360. 解答: 解:执行程序框图,有 n=6,m=4 k=1,ρ=1 第一次执行循环体,ρ=3 满足条件 k<m,第 2 次执行循环体,有 k=2,ρ=12 满足条件 k<m,第 3 次执行循环体,有 k=3,ρ=60 满足条件 k<m,第 4 次执行循环体,有 k=4,ρ=360 不满足条件 k<m,输出 p 的值为 360. 故选:B. 点评: 本题主要考察程序框图和算法,属于基础题.

11. (5 分)若直线 l 的参数方程为 余弦值为() A. B.

,则直线 l 倾斜角的

C.

D.

考点: 直线的参数方程. 专题: 计算题. 分析: 先求直线 L 的普通方程,由方程可得直线的斜率 k,即 tanθ 的值,结 合 θ 的范围,根据同角基本关系可求 cosθ 解答: 解:∵直线 l 的参数方程为 ,



,即



∴直线 L 的普通方程为 4x+3y﹣10=0

14

直线的斜率 k= ∴ ∴



=

=

故选:B 点评: 本题目主要考查了直线方程的参数方程转化为普通方程,直线的倾斜角 与斜率的关系及同角基本关系的应用,解题中在由 tanθ 求 cosθ 时要注意倾 斜角 θ 的范围

12. (5 分)p=

+

,q=

?

(m、n、a、b、c、d 均为正数) ,则

p、q 的大小为() A.p≥q B. p≤q C.p>q D. 不确定

考点: 不等式的基本性质. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 平方作差利用基本不等式的性质即可得出. 解答: 解:∵m、n、a、b、c、d 均为正数, ∴q= ∴q2﹣p2= ∴q≥p. 故选:B. 点评: 本题考查了基本不等式的性质、平方作差比较两个数的大小方法,考查 了计算能力,属于基础题. ﹣2 . ≥ =0,

二 、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. (5 分)已知 a,b∈R,i 是虚数单位.若(a+i) (1+i)=bi,则 a+bi=1+2i.

15

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的乘法展开等式的左边,通过复数的相等,求出 a,b 的值即 可得到结果. 解答: 解:因为(a+i) (1+i)=bi, 所以 a﹣1+(a+1)i=bi, 所以 ,解得 a=1,b=2,

所以 a+bi=1+2i. 故答案为:1+2i. 点评: 本题考查复数代数形式的混合运算,复数相等条件的应用,考查计算能 力.

14. (5 分)在极坐标系中,O 是极点,设点 A(4, 的面积是 5. 考点: 极坐标系. 专题: 计算题.

) ,B(5,﹣

) ,则△OAB

分析: 欲求△OAB 的面积,根据极角可得三角形的内角∠AOB,由极径得边 OA, OB 的长,根据三角形的面积公式即可求得. 解答: 解:如图△OAB 中,

(平方单位) ; 故答案为 5.

16

点评: 本题考查点的极坐标的应用,能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别.

15. (5 分)已知 a,b,μ∈(0,+∞)且 + =1,则使得 a+b≥μ 恒成立的 μ 的取值范围是 0,16.

考点: 基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 先利 + =1,使 a+b=(a+b) ( + )展开后利用均值不等式求得 a+b 的 最小值,进而根据 a+b≥μ 恒成立求得 μ 的取值范围 解答: 解:∵a,b∈(0,+∞)且 + =1, ∴a+b=(a+b) ( + )=10+( ∴a+b 的最小值为 16. ∴要使 a+b≥μ 恒成立,需 16≥μ,∴0<μ≤16. 故答案为: (0,16] 点评: 本题主要考查了基本不等式.考查了学生对基本不等式的理解和运用. + )≥10+2 =16,

16. (5 分)下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②回归方程 =bx+a 必过点( , ) ;

③曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系; ④在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=13.079,则其两个变量间有关系的可能 性是 90%. 其中错误的是 ③④.

17

考点: 线性回归方程;两个变量的线性相关;独立性检验. 专题: 阅读型. 分析: 方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加上或减去 同一个常数后,方差恒不变;线性回归方程 = x+ 必过样本中心点,曲线上的

点与该点的坐标之间具有一一对应关系,有一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=13.079,则其两个变量间有关系的可能性是 99.9%,选出正确的,得到结果. 解答: 解:①、方差反映一组数据的波动大小,将一组数据中的每个数据都加 上或减去同一个常数后,方差恒不变,①正确; ②、线性回归方程 = x+ 必过样本中心点,故②正确.

③、曲线上的点与该点的坐标之间具有一一对应关系,故③不正确, ④、有一个 2×2 列联表中,由计算得 K2=13.079,则其两个变量间有关系的可 能性是 99.9%,故④不正确, 故①正确,②正确.③④不正确.综上可知有两个说法是正确的, 故答案为:③④. 点评: 本题考查线性回归方程、独立性检验、方差的变化特点、相关关系,注 意分析,本题不需要计算,只要理解概念就可以得出结论.

三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演 算步骤) 17. (10 分)已知复数 x2+x﹣2+(x2﹣3x+2)i(x∈R)是 4﹣20i 的共轭复数, 求 x 的值.

考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数相等可得方程组,解之即可. 解答: 解:∵复数 4﹣20i 的共轭复数为 4+20i,

18

∴x2+x﹣2+(x2﹣3x+2)i=4+20i, 根据复数相等的定义,得 解得 x=﹣3. 点评: 本题考查复数的相关知识,注意解题方法的积累,属于中档题. ,

18. (12 分)用秦九韶算法求多项式 f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1,当 x=2 时的值.

考点: 算法的概念. 专题: 计算题. 分析: 利用秦九韶算法一步一步地代入运算,注意本题中有几项不存在,此时 在计算时,我们应该将这些项加上,比如含有 x3 这一项可看作 0?x3. 解答: 解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式 f(x)=8x7+5x6+0?x5+ 3?x4+0?x3+0?x2+2x+1 =( ( ( ( ( (8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1 v0=8,v1=8×2+5=21 v2=21×2+0=42,v3=42×2+3=87 v4=87×2+0=174,v5=174×2+0=348 v6=348×2+2=698,v7=698×2+1=1397. ∴当 x=2 时,多项式的值为 1397. 点评: 一般地,一元 n 次多项式的求值需要经过 而秦九韶算法只需要 n 次乘法和 n 次加法. 次乘法和 n 次加法,

19. (12 分)已知数列{an}的各项均为正数,观察程序框图,若 k=5,k=10 时, 分别有 和

(1)试求数列{an}的通项; (2)令 bn=2an,求 b1+b2+?+bm 的值.

19

考点: 数列的求和;数列的概念及简单表示法;程序框图. 专题: 计算题. 分析: (1)经过分析,程序框图为当型循环结构,按照框图题意分析求出{an} 的通项. (2)根据(1)的结论,得到 bn=2an=22n﹣1,然后代入求 b1+b2+?+bm 的值即可 解答: 解: (1)由框图可知

∵ai+1=ai+d,∴{an}是等差数列,设公差为 d,则有

∴ 由题意可知,k=5 时,

=



20







(舍去)

故 an=a1+(n﹣1)d=2n﹣1 (2)由(1)可得:bn=2an=22n﹣1 ∴b1+b2++bm=21+23++22m﹣1 = = 点评: 本题考查程序框图,数列的概念及简单表示方法,数列的求和,通过对 知识的熟练把握,分别进行求值,属于基础题.

20. (12 分) (选修 4﹣4:坐标系与参数方程) 已知曲线 C1 的参数方程为 (t 为参数) ,以坐标原点为极点,x 轴的

正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ. (Ⅰ)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)

考点: 参数方程化成普通方程;极坐标刻画点的位置;点的极坐标和直角坐标 的互化. 专题: 压轴题;直线与圆. 分析: (Ⅰ)对于曲线 C1 利用三角函数的平方关系式 sin t+cos t=1 即可得到 圆 C1 的普通方程;再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得到 C1 的极坐标方 程; (Ⅱ)先求出曲线 C2 的极坐标方程;再将两圆的方程联立求出其交点坐标,最 后再利用极坐标与直角坐标的互化公式即可求出 C1 与 C2 交点的极坐标. 解答: 解: (Ⅰ)曲线 C1 的参数方程式
21
2 2

(t 为参数) ,

得(x﹣4)2+(y﹣5)2=25 即为圆 C1 的普通方程, 即 x2+y2﹣8x﹣10y+16=0. 将 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代入上式,得. ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0,此即为 C1 的极坐标方程; (Ⅱ)曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sinθ 化为直角坐标方程为:x2+y2﹣2y=0, 由 ,解得 , 或 . ) .

∴C1 与 C2 交点的极坐标分别为(

) , (2 ,

点评: 本题主要考查了参数方程化成普通方程,点的极坐标和直角坐标的互 化.熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、两圆的位置关系是解题的关键.

21. (12 分)某企业有两个分厂生产某种零件,按规定内径尺寸(单位:cm)的 值落在[29.94, 30.06) 的零件为优质品. 从两个分厂生产的零件中各抽出了 500 件,量其内径尺寸,得结果如表: 甲厂: 分组 [29.86, [29.90, [29.94, [29.9 8, [30.02, [30.06, [30.10,

29.90 ) 29.94) 29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 频数 乙厂: 分组 12

63

86

182

92

61

4

[29.86, [29.90, [29.94,
22

29.90) 29.94)

29.98) 30.02) 30.06) 30.10) 30.14) 频数 29

[29.98, [30.02, [30.06, [30.10,

71

85

159

76

62

18

(1)试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率; (2)由以上统计数据填下面 2×2 列联表,并问是否有 99%的把握认为“两个分 厂生产的零件的质量有差异”. 甲厂 优质品 非优质品 合计 附 K2= p(K2≥k) k 3.841 0.05 0.01 6.635 , 乙厂 合计

考点: 独立性检验的应用. 专题: 概率与统计. 分析: (1)利用优质品数除以样本容量,即可估计零件的优质品率; (2) 利用统计数据可填写 2×2 列联表,再利用公式,求出 k,利用给出的数据, 即可得出结论. 解答: 解: (1)甲厂抽查的产品中有 360 件优质品,从而甲厂生产的零件的优 质品率估计为 =72%;

乙厂抽查的产品中有 320 件优质品,从而乙厂生产的零件的优质品率估计为 =64%. (2)
23

甲厂 优质品 非优质品 合计 360 140 500

乙厂 320 180 500

合计 680 320 1000

≈7.35>6.635, 所以有 99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”. 点评: 本题重点考查独立性检验的应用, 解题的关键是正确统计, 运用好公式, 属于基础题.

22. (12 分)某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个 常数: ①sin213°+cos217°﹣sin 13°cos 17°; ②sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°; ③sin218°+cos212°﹣sin 18°cos 12°; ④sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin(﹣18°)cos (﹣48°) ; ⑤sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin(﹣25°)cos (﹣55°) . (1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数; (2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的 结论.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;归纳推理. 专题: 归纳法;三角函数的求值. 分析: 方法一: (1) 选择②式, 由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解. (2) 发现推广三角恒等式为 sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α)= , 由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明.

24

方法二: (1)同方法一. (2)发现推广三角恒等式为 sin2α+cos2(30°﹣α) ﹣sin αcos(30°﹣α)= .由降幂公式,三角函数中的恒等变换应用展开即 可证明. 解答: (本小题满分 12 分) 解:方法一: (1)选择②式,计算如下: sin215°+cos215°﹣sin 15°cos 15°=1﹣ sin 30°=1﹣ = ?(4 分) (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α)= . 证明如下: sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α) =sin α+(cos 30°cos α+sin 30°sin α) ﹣sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) =sin2α+ cos2α+ sin αcos α+ sin2α﹣ sin αcos α﹣ sin2α
2 2

= sin2α+ cos2α= ?(12 分) 方法二: (1)同方法一. (2)三角恒等式为 sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α)= . 证明如下 : sin2α+cos2(30°﹣α)﹣sin αcos(30°﹣α) = + ﹣sin α(cos 30°cos α+sin 30°sin α) sin αcos α

= ﹣ cos 2α+ + (cos 60°cos 2α+sin 60°sin 2α)﹣ ﹣ sin2α = ﹣ cos 2α+ + cos 2α+ sin 2α﹣

sin 2α﹣ (1﹣cos 2α)

=1﹣ cos 2α﹣ + cos 2α= ?(12 分) 点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,归纳推理,属于基本知识 的考查.

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