tceic.com
简单学习网 让学习变简单
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高二数学曲线与方程习题


1.曲线的方程与方程的曲线
在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x, y)=0 的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点 线(图形). ,那么,这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲

2.平面解析几何研究的两个主要问题

>(1)根据已知条件,求出表示曲线的方程; (2)通过曲线的方程研究曲线的性质.

3.求曲线方程的一般方法(五步法)
求曲线(图形)的方程,一般有下面几个步骤: (1)建立适当的坐标系,用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; (2)写出适合条件 p 的点 M 的集合 P={M|p(M)}; (3)用坐标表示条件 p(M),列出方程 f(x,y)=0; (4)化方程 f(x,y)=0 为最简形式; (5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上.

4.两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知,两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的 的方程组的实数解;反过来,方程组有几组解,两条曲线就有几个交点,方程组 (2)两条曲线有交点的 , 即两个曲线方程组成 , 两条曲线就没有交点.

条件是它们的方程所组成的方程组有实数解. 可见, 求曲线的交点问

题,就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题.

5.求曲线轨迹方程的常用方法

第 1 页/共 10 页

(1)直接法 如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系, 这些条件简单明确, 直接表述成含 x, y 的等式,就得到轨迹方程,这种方法称为直接法. (2)定义法 如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义,则可用曲线定义写出方程, 这种方 法称为定义法. (3)代入法 又称相关点法,其特点是,动点 M(x,y)的坐标取决于已知曲线 C 上的点(x′,y′)的坐标, 可先用 x,y 来表示 x′,y′,再代入曲线 C 的方程,即得点 M 的轨迹方程.

6.圆锥曲线的共同特征
圆锥曲线上的点到焦点与到定直线的距离之比为定值 e,当 时,为椭圆;当 时,为抛物线. 时,圆锥曲线为双曲线;当

7.直线与圆锥曲线交点
直线与圆锥曲线的交点由直线方程与圆锥曲线方程联立得到.

8、基础自测
1.(2011· 山东潍坊)已知圆 x2+y2=4,过点 A(4,0)作圆的割线 ABC,则弦 BC 中点的轨迹方程为( 1 A.(x-1)2+y2=4(-1≤x< ) 2 1 C.(x-2)2+y2=4(-1≤x< ) 2 [答案] D
2 2

)

B.(x-1)2+y2=4(0≤x<1) D.(x-2)2+y2=4(0≤x<1)

[解析] 由圆的几何性质知,BC 的中点到 A 与圆心连线的中点的距离为 2,即方

程为(x-2) +y =4,又中点在圆内,∴0≤x<1. 2.(2011·宝鸡)如图所示,△PAB 所在的平面 α 与四边形 ABCD 所在的平面 β 垂直,且 AD⊥α,BC⊥α,AD=6,BC=12,AB=9,∠APD=∠CPB,则点 P 在平面 α 内的轨迹是( A.圆的一部分 [答案] A B.椭圆的一部分 C.双曲线的一部分 D.抛物线的一部分 [解析] 由条件可知,Rt△DAP∽Rt△CBP, PA AD 1 ∴ = = , PB BC 2 )

故 P 点的轨迹是圆的一部分.

第 2 页/共 10 页

x2 y2 3.F1、F2 是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的两焦点,P 是椭圆上任一点,过一焦点引∠F1PF2 的外角平分线的垂 a b 线,则垂足 Q 的轨迹为( A.圆 ) C.双曲线 D.抛物线

B.椭圆

y2 4.过双曲线 x2- =1 的右焦点 F 作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若|AB|=4,这样的直线条数为( 2 A.1 [答案] C B.2 C.3 D.4

)

[解析] 若与双曲线右支交于两点 A,B,则|AB|≥4(通径),此时弦长为 4 的弦有一条;若与左右

两支各有一交点 A、B,则|AB|≥2(实轴长),此时弦长为 4 的弦有两条.∴共 3 条. 5.如图所示,过点 P(0,2)的直线和抛物线 y =8x 交于 A,B 两点,若线段 AB 的中点 M 在直线 x=2 上,
2

则弦 AB 的长为________.

[答案] 2 5

y1+y2? [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 AB 的中点 M?2, , 2 ? ?

由 y12=8x1,和 y22=8x2 相减得(y1-y2)(y1+y2)=8(x1-x2),∵kPM=kAB, y1+y2 -2 2 y1-y2 8 ∴kAB= = = x1-x2 y1+y2 2-0

令 y1+y2=2b,则有 b2-2b-8=0,

∴b=4 或 b=-2,于是 M(2,4)或 M(2,-2).∵M(2,4)在抛物线上(舍去). ∴M 的坐标为(2,-2),从而 kAB=-2.
第 3 页/共 10 页

∴AB:y=-2x+2,将其代入抛物线方程得 x2-4x+1=0. ∴|AB|= ?1+k2?[?x1+x2?2-4x1x2]= [1+?-2?2]?42-4×1?=2 15. 6.两动直线 l1、l2 分别经过 O(0,0)和 A(0,2),且方向向量分别为(1,λ)和(λ,-1),则它们交点的轨迹方程 是________.
2 2

[答案] x +y -2x=0

[解析] 当 λ=0 时,l1 与 l2 的交点为(0,0);

1 1 当 λ≠0 时,kl1=λ,kl2=- ,l1:y=λx,l2:y-2=- x,l1 与 l2 的方程相乘可得:x2+y2-2y=0.(当 λ λ λ =0 时也适合此式) 综上可得交点的轨迹方程为 x2+y2-2y=0.(当 λ=0 时,也适合此式) 7.已知△ABC 的两个顶点为 A(-2,0),B(0,-2),第三个点 C 在曲线 y=3x -1 上移动,求△ABC 重心的 轨迹方程.
2

[解析]

?-2+0+x =x 3 设 C(x ,y ),重心 G(x,y),由重心坐标公式得? 0-2+y ? 3 =y
1 1 1 1



2 2 ?x1=3x+2 ? 即? ,∵C(x ,y )在曲线 y=3x -1 上, ∴3y+2=3(3x+2) -1, ? 1 1 ?y1=3y+2 2 2 2

化简得 y=(3x+2) -1=9x +12x+3,故△ABC 的重心的轨迹方程为 y=9x +12x+3.

题型分析

[例 1]

x2 y2 3 (2009· 安徽)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆 a b 3

与直线 y=x+2 相切. (1)求 a 与 b; (2)设该椭圆的左、右焦点分别为 F1 和 F2,直线 l1 过 F2 且与 x 轴垂直,动直线 l2 与 y 轴垂直,l2 交 l1 于点 P.求线段 PF1 的垂直平分线与 l2 的交点 M 的轨迹方程,并指明曲线类型.
第 4 页/共 10 页

c [解析] (1)由 e= = a

b2 3 b 6 1- 2= ,得 = . a 3 a 3

又由原点到直线 y=x+2 的距离等于圆的半径,得 b= 2,a= 3. (2)解法 1:由 c= a2-b2=1 得 F1(-1,0),F2(1,0),设 M(x,y),则 P(1,y). 由|MF1|=|MP|,得(x+1)2+y2=(x-1)2, 化简得 y2=-4x. 此轨迹是抛物线.

解法 2: 因为点 M 在线段 PF 的垂直平分线上, 所以|MF |=|MP|, M 到 F 的距离等于 M 到 l 的距离. 即 此
1 1 2 1 1

轨迹是以 F (-1,0)为焦点 l :x=1 为准线的抛物线,轨迹方程为 y =-4x.
1 1 2 2

跟踪练习:已知圆的方程为 x +y =4,动抛物线过点 A(-1,0),B(1,0),且以圆的切线为准线,则 抛物线的焦点的轨迹方程是________. [答案] x2 y2 + =1 4 3

[解析] 设 P(x0,y0)为圆上任一点,过该点的切线 l:x0x+y0y=4 (|x0|≤2), 以 l 为准线过 A、B 两点的抛物线焦点 F(x,y),A、B 到 l 距离分别为 d1、d2,根据抛物线的定义,|FA|+ |FB|=d1+d2 |-x0-4| x0 +y0
2 2+

|x0-4| x0 +y0
2

2=

x0+4 4-x0 + =4>|AB|, 2 2
2

x2 y2 ∴F 点的轨迹是以 A、B 为焦点,长轴长为 4 的椭圆,∴c=1,∴b =3,∴方程为 + =1. 4 3

[例 2] (2011·青岛一中期中)如图,两条过原点 O 的直线 l1,l2 分别与 x 轴、y 轴成 30° 的角,点 P(x1,y1) 在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上运动,且线段 PQ 的长度为 2. (1)求动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程; (2)设过定点 T(0,2)的直线 l 与(1)中的轨迹 C 交于不同的两点 A、B,且∠AOB 为锐角,求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

第 5 页/共 10 页

[解析] (1)由已知得直线 l1⊥l2,l1:y=

3 x,l2:y=- 3x, 3 3 x ,y =- 3x2, 3 1 2

∵点 P(x1,y1)在直线 l1 上运动,点 Q(x2,y2)在直线 l2 上运动,∴y1=

4 x12 由|PQ|=2,得(x12+y12)+(x22+y22)=4,即 x12+4x22=4? +x22=1, 3 3 x2 ∴动点 M(x1,x2)的轨迹 C 的方程为 +y2=1. 3 x2 (2)直线 l 的方程为 y=kx+2,将其代入 +y2=1,化简得(1+3k2)x2+12kx+9=0, 3 设 A(x3,y3)、B(x4,y4),∴Δ=(12k)2-36×(1+3k2)>0?k2>1, 12k 9 → → 且 x3+x4=- ,x x = ,∵∠AOB 为锐角,∴OA· >0, OB 1+3k2 3 4 1+3k2 即 x3x4+y3y4>0?x3x4+(kx3+2)(kx4+2)>0,∴(1+k2)x3x4+2k(x3+x4)+4>0. 13-3k2 12k 9 13 将 x3+x4=- ,x3x4= 代入上式,化简得 >0?k2< . 3 1+3k2 1+3k2 1+3k2 13 39 39 由 k2>1 且 k2< ,得 k∈(- ,-1)∪(1, ). 3 3 3 → → → → → → 跟踪练习:已知两点 M(-1,0),N(1,0),且点 P 使MP· ,PM· ,NM· 成公差小于零的等差数列. MN PN NP (1)点 P 的轨迹是什么曲线? → → (2)若点 P 的坐标为(x0,y0),记 θ 为PM与PN的夹角,求 tanθ. [解析] → → → → → → (1)设 P(x,y),则PM=-MP=(-1-x,-y),PN=-NP=(1-x,-y),MN=-NM=(2,0),

→ → → → → → ∴MP· =2(1+x),PM· =x2+y2-1,NM· =2(1-x), MN PN NP
2 2 ?x2+y2-1=1[2?1+x?+2?1-x?] ?x +y =3 ? ? 2 ? 由题意? ,即 , ? ?x>0 ?2?1-x?-2?1+x?<0 ?

所以点 P 的轨迹是以原点为圆心, 3为半径的右半圆(不含端点). → → (2)点 P 的坐标为(x0,y0),而PM· =x02+y02-1=2. PN → → 又|PM|· |= ?1+x0?2+y02× ?1-x0?2+y02=2 4-x02. |PN → → PM· PN 1 1 π 所以 cosθ= = 2, ∵0<x0≤ 3,∴2<cosθ≤1,∴0≤θ<3, → → 4-x0 |PM|· | |PN 1- 1 4-x02 = 3-x02=|y0|. 1 4-x02

∴sinθ= 1-cos2θ=

1 sinθ 1- ,故 tanθ= = cosθ 4-x02

第 6 页/共 10 页

[例 3] 如右图所示,从双曲线 x -y =1 上一点 Q 引直线 x+y=2 的垂线,垂足为 N,求线段 QN 的中
2 2

点 P 的轨迹方程.

[解析] 设动点 P 的坐标为(x,y),点 Q 的坐标为(x1,y1),则 N 点的坐标为(2x-x1,2y-y1). ∵点 N 在直线 x+y=2 上, 又∵PQ 垂直于直线 x+y=2, 3 1 ∴2x-x1+2y-y1=2,① y-y1 ∴ =1.即 x-y+y1-x1=0.② x-x1

?x =2x+2y-1, 由①、②联立,解得? 1 3 ?y =2x+2y-1.
1 1

又 Q 在双曲线 x2-y2=1 上,∴x12-y12=1,

3 1 1 3 即( x+ y-1)2-( x+ y-1)2=1 整理得 2x2-2y2-2x+2y-1=0,这就是所求动点 P 的轨迹方程. 2 2 2 2 跟踪练习: M 是抛物线 y =x 上一动点,O 为坐标原点,以 OM 为一边作正方形 MNPO,求动点 P 的轨
2

迹方程. [分析] 设 M(x ,y ),即 x =y ,设 P(x,y),用 x,y 表示 x ,y 或者直接消掉 y .
0 0 0 0 2 0 0 0 2

[解析] 依题意,设 P(x,y),M(y0 ,y0)∵四边形 MNPO 为正方形,∴|OM|=|OP|且 OP⊥OM.

?y0 +y0 =x +y ? ∴?y y0 ?x·02=-1 ? y

4

2

2

2

① , ② ,由①②消去 y0,化简得 y2=x4,

∴动点 P 的轨迹方程为 x2=± y(y≠0).

x2 y2 3 [例 4] (2010· 天津文)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 a b 2 积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标为(-a,0).

第 7 页/共 10 页

①若|AB|=

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5

→ → ②若点 Q(0,y0)在线段 AB 的垂直平分线上,且QA· =4.求 y0 的值. QB [解析] 本题考查了椭圆的标准方程及其几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、

平面向量等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想. c 3 1 (1) 由 e= = ,得 3a2=4c2,再由 c2=a2-b2,解得 a=2b.由题意可得 ×2a×2b=4, a 2 2 即 ab=2.
? ?a=2b 解方程组? ,得 a=2,b=1. ?ab=2 ?

x2 ∴椭圆的方程为 +y2=1. 4

(2)①由(1)知,点 A 的坐标为(-2,0)设点 B 的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,

?y=k?x+2? ? 则直线 l 的方程为 y=k(x+2).∴A,B 两点的坐标满足方程组?x2 2 ? 4 +y =1 ?
消去 y 整理得,(1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 2-8k2 4k 由韦达定理得,-2x1= ,∴x1= ,从而 y1= , 1+4k2 1+4k2 1+4k2 ∴|AB|=



?-2-2-8k ?2+? 4k 2?2=4 1+k ,由|AB|=4 2,得4 1+k =4 2, ? ? 5 5 1+4k2? ?1+4k ? 1+4k2 1+4k2 ?
2 2

2

π 3π 整理得 32k4-9k2-23=0,即(k2-1)(32k2+23)=0,解得 k=± 1.∴直线 l 的倾斜角为 或 . 4 4 8k 2k ②设线段 AB 的中点为 M,由①得 M 的坐标为?-1+4k2,1+4k2?. ? ? 1° k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴, 当 → → → → ∴QA=(-2,-y0),QB=(2,-y0),由QA· =4 得,-4+y02=4?y0=± 2. QB 2 8k2 ? 2k 1? x+ 2° k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 y- 由 =- 2 , k ? 1+4k ? 1+4k2 令 x=0,解得 y0=- 6k → → .由QA=(-2,-y0),QB=(x1,y1-y0), 1+4k2
2

6k ? 4?16k4+15k2-1? -2?2-8k2? 6k ? 4k → → ∴QA· =-2x1-y0(y1-y0)= QB + 2+ 2 = =4. 2 2 1+4k 1+4k ?1+4k 1+4k ? ?1+4k2?2 整理得 7k2=2,∴k=± 14 2 14 2 14 ,∴y0=± ,综上所述,y0=± 2或± 2 . 7 5 5
2 2

跟踪练习:(北京)已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x +3y =4 上,对角线 BD 所在直线的斜率为 1. (1)当直线 BD 过点(0,1)时,求直线 AC 的方程; (2)当∠ABC=60° 时,求菱形 ABCD 面积的最大值. [解析] (1)由题意得直线 BD 的方程为 y=x+1.
第 8 页/共 10 页

因为四边形 ABCD 为菱形,所以 AC⊥BD.于是可设直线 AC 的方程为 y=-x+n.
?x2+3y2=4 ? 由? ,得 4x2-6nx+3n2-4=0. ? ?y=-x+n

4 3 4 3 因为 A、C 在椭圆上,所以 Δ=-12n2+64>0,解得- <n< . 3 3 设 A、C 两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2), 3n2-4 3n n 则 x1+x2= ,x1x2= ,y1=-x1+n,y2=-x2+n,所以 y1+y2= . 2 4 2 3n n 所以 AC 的中点坐标为( , ). 4 4 3n n n 3n 由四边形 ABCD 为菱形可知,点( , )在直线 y=x+1 上,所以 = +1,解得 n=-2. 4 4 4 4 所以直线 AC 的方程为 y=-x-2,即 x+y+2=0. (2)因为四边形 ABCD 为菱形,且∠ABC=60° ,所以|AB|=|BC|=|CA|. 所以菱形 ABCD 的面积 S= 3 |AC|2. 2

-3n2+16 由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2= , 2 所以 S= 3 4 3 4 3 (-3n2+16) (- <n< ). 4 3 3

所以当 n=0 时,菱形 ABCD 的面积取得最大值 4 3.

x2 y2 6 [例 5] 已知椭圆 + =1 上的两个动点 P,Q 及定点 M?1, ?,F 是椭圆的左焦点,且|PF|,|MF|, 4 2 2? ? |QF|成等差数列. (1)求证:线段 PQ 的垂直平分线经过一个定点 A; (2)设点 A 关于原点 O 的对称点是 B,求|PB|的最小值及相应的 P 点坐标. [分析] (1)由|PF|,|MF|,|QF|成等差数列可得 PQ 的中点横坐标,引入参数 PQ 中点的纵坐标,先 求 k ,利用直线 PQ 的方程求解.
PQ

(2)建立|PB|关于动点坐标的目标函数,利用函数的性质求最值. [解析] (1)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),由条件可知 a=2,b= 2,c= 2,e= 由椭圆的焦半径公式得|PF|=2+ 2 2 2 x1,|QF|=2+ x2,|MF|=2+ . 2 2 2 2 . 2

1 ∴(2x-1)n-y=0,该直线恒过一个定点 A?2,0?. ? ?
第 9 页/共 10 页

1 当 x1=x2 时,线段 PQ 的中垂线也过定点 A?2,0?. ? ? 1 综上,线段 PQ 的垂直平分线恒过定点 A?2,0?. ? ? 1 (2)由于点 B 与点 A 关于原点 O 对称,故点 B?-2,0?. ? ? 1 1 7 9 ∵-2≤x1≤2,-2≤x2≤2,∴x1=2-x2∈[0,2],|PB|2=?x1+2?2+y12= (x1+1)2+ ≥ , ? ? 2 4 4 3 ∴当点 P 的坐标为(0,± 2)时,|PB|min= . 2 跟踪练习:在例题条件不变的情况下,若+=0,求|PB|的最大值及相应的 P 点坐标. 1 → → [解析] ∵OA+OB=0,∴B 点坐标为?-2,0?. ? ? |PB|= =

?x1+1?2+y12= 2? ?

1 x12 x12+x1+ +2- = 4 2 1 7 ?x1+1?2+ , 2 4

1 2 9 x +x1+ 2 1 4

1 2 7 ?x1 +2x1+1?+ = 2 4

5 ∵-2≤x1≤2,∴当 x1=2 时,|PB|max= ,此时,P 点坐标为(2,0). 2

1.常见的轨迹
(1)在平面内,到两定点距离相等的点的轨迹是连结两定点的线段的垂直平分线. (2)平面内到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线. (3)平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心,以定长为半径的圆. (4)平面内到定点的距离与到定直线距离之比等于常数(定点不在定直线上)的点的轨迹是圆锥曲线. 当常数大于 1 时,表示双曲线;当常数等于 1 时,表示抛物线;当常数大于 0 而小于 1 时,表示椭圆.定点和定直线分别 是圆锥曲线的焦点和相应的准线. (5)平面内到定直线的距离等于某一定值的点的轨迹是与这条直线平行的两条直线.

2.求轨迹的常用方法

第 10 页/共 10 页

(1)直译法:如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表达成含 x、y 的等式 得到轨迹方程,这种方法称之为直译法. 用直译法求动点轨迹的方程一般有建系、设点、列式、代入、化简、 证明六个步骤,但最后的证明可以省略. (2)定义法:运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义),可从曲线定义出发直接写出轨迹方程,或从 曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程. (3)代入法:形成轨迹的动点 P(x,y)随另一动点 Q(x′,y′)的运动而有规律的运动,且动点 Q 的轨迹为给定或容 易求得, 则可先将 x′、y′用 x、y 表示,再代入 Q 的轨迹方程,然后整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点 法. (4)参数法:求轨迹方程有时很难直接找出动点的横坐标、纵坐标之间的关系,则可借助中间变量(参数),使 x、 y 之间建立起联系,然后再从所求式子中消去参数,得出动点的轨迹方程. (5)交轨法:求两动曲线交点轨迹时,可由方程直接消去参数,例如求两动直线的交点时常用此法,也可以引 入参数来建立这些动曲线的联系,然后消去参数得到轨迹方程.

3.轨迹问题还应区别是“求轨迹”,还是“求轨迹方程”.
一般说来,若是“求轨迹方程”,求到方程就可以了;若是“求轨迹”,求到方程还不够,还应指出方程所表 示的曲线的类型.有时候,问题仅要求指出轨迹的形状.如果能绕过求轨迹方程这一环节直接根据定义及已知 知识指出轨迹是什么曲线,则可不求轨迹方程.

4.直线与圆锥曲线相交弦长问题
(1)斜率为 k 的直线与圆锥曲线交于两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),则所得弦长|P1P2|= 1+k2|x2-x1|或|P1P2|= 1 1+ 2 |y2 - y1| , 其 中 求 |x2 - x1| 与 |y2 - y1| 时 , 通 常 作 如 下 变 形 |x2 - x1| = ?x1+x2?2-4x1x2 , |y2 - y1| = k ?y1+y2?2-4y1y2,使用韦达定理即解决. (2)当斜率 k 不存在时,直线为 x=m 的形式,可直接代入求出交点纵坐标 y 、y 得弦长|y -y |.
1 2 1 2

(3)经过圆锥曲线焦点的弦(也称焦点弦)的长度.应用圆锥曲线的定义转化为两个焦半径之和,往往比用弦长公 式简捷.

第 11 页/共 10 页

5.二次曲线求最值的方法
(1)代数法:归结为求函数的最值问题,利用“配方法、判别式法、不等式法”等代数方法求解. (2)几何法:利用二次曲线的几何性质结合图形性质求解.

当堂练习
一、选择题 1.(2010· 山东文)已知抛物线 y2=2px(p>0),过焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,若线段 AB 的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为( A.x=1 [答案] B x1+x2 y1+y2 [解析] 本题考查了抛物线的方程及中点弦问题,可设 A(x1,y1),B(x2,y2),则中点( , ),∴ 2 2
?y12=2px1 ① ? y1+y2 y1-y2 2p p p =2,? 2 ①-②得 y12-y22=2p(x1-x2)? = = ,∴kAB=1= ?p=2,∴y2 2 2 x1-x2 y1+y2 y1+y2 ? ?y2 =2px2 ② 2

) D.x=-2

B.x=-1

C.x=2

=4x,∴准线方程式为:x=-1,故选 B. 1 → → 2.过点(0,- )的直线 l 与抛物线 y=-x2 交于 A、B 两点,O 为坐标原点,则OA· 的值为( OB 2 1 A.- 2 [答案] B 1 B.- 4 C.-4 D.无法确定 )

1 [解析] 设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 l 的方程 y=kx- ,代入抛物线方程得 2x2+2kx 2

?x +x =-k, ?1 2 -1=0,∴? 1 ? ?x1x2=-2.
1 1 1 1 → → ∴OA· =x1x2+y1y2=x1x2+(kx1- )(kx2- )=(k2+1)x1x2- k(x1+x2)+ OB 2 2 2 4 1 1 1 1 =- (k2+1)- k(-k)+ =- . 2 2 4 4 3.已知动圆过点(1,0),且与直线 x=-1 相切,则动圆圆心的轨迹方程为( A.x2+y2=1 [答案] C B.x2-y2=1 C.y2=4x D.x=0 )

[解析] 动点到(1,0)和直线 x=-1 的距离相等,所以其轨迹方程为 y2=4x. )

4.已知动点 P(x,y)满足 10 ?x-1?2+?y-2?2=|3x+4y|,则 P 点的轨迹是( A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线
第 12 页/共 10 页

D.两相交直线

[答案] A

|3x+4y| [解析] 条件化为 2 ?x-1?2+?y-2?2= ,即为点 P(x,y)到定点 F(1,2)的距离与 5

1 到定直线 l ? 3x+4y=0 的距离之比为 ,又点 F 不在直线 l 上,故根据椭圆的第二定义可知,点 P 的轨迹是 2 椭圆. x2 y2 5.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系为( 25 16 A.相交 [答案] A B.相切 C.相离 ) D.不确定

[解析] 直线 y=k(x-1)+1 过椭圆内定点(1,1),故直线与椭圆相交.

6.已知以 F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 ( ) A.3 2 [答案] C B.2 6 [解析] C.2 7
2

D.4 2 x y2 + 2=1(b>0),则将 x=- 3y-4 代入椭圆方程 b2+4 b

根据题意设椭圆方程为

得,4(b2+1)y2+8 3b2y-b4+12b2=0, ∵椭圆与直线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,∴Δ=(8 3b2)2-4×4(b2+1)(-b4+12b2)=0, 即(b2+4)(b2-3)=0,∴b2=3, x2 y2 7.已知双曲线 2- 2=1 a b 长轴长为 2 b2+4=2 7,故选 C.

(a>0,b>0)的右焦点为 F,若过点 F 且倾斜角为 60° 的直线与双曲线的右支有 ) D.(2,+∞)

且只有一个交点,则此双曲线离心率的取值范围是( A.(1,2] B.(1,2) C.[2,+∞)

[答案] C b [解析] ∵渐近线 l1:y= x 与过焦点 F 的直线 l 平行,或渐近线 l1 从该位置绕原点按逆时针旋转时,直 a 线 l 与双曲线的右支交于一个点. b ∴ ≥ 3,即 c2=a2+b2≥4a2,∴e≥2,故选 C. a 8.(2010· 重庆理)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是( A.直线 ) B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线

第 13 页/共 10 页

[答案] D [解析] 如图所示,设两异面直线为 m,n 过 n 上任一点 O,作 m 的平行线 m′,设 m′与 n 确定的平面 为 α,以 O 为原点,m′,n 分别为 x 轴,y 轴建立坐标系,设与两异面直线距离相等的点为 M(x,y),令 m 到 平面 α 的距离为 d,由题意|x|2+d2=|y|2 即 y2-x2=d2 故轨迹为双曲线. 二、填空题 9.已知 BC 是圆 x2+y2=25 的动弦,且|BC|=6,则 BC 的中点的轨迹方程是________. [答案] x2+y2=16 [解析] 设 BC 中点为 P(x,y),则 OP⊥BC,∵|OC|=5,|PC|=3,∴|OP|=4,∴x2+y2=16. x2 y2 10.点 P 在以 F1、F2 为焦点的椭圆 + =1 上运动,则△PF1F2 的重心 G 的轨迹方程是 3 4 [答案] x2 y2 + =1(x≠0) 1 4 3 9 [解析] F1(0,-1)、F2(0,1),设 P(x0,y0),G(x,y),

?x= 3 ∵G 为△PF F 的重心,∴? y ?y= 3
1 2

x0
0

?x0=3x ? x2 y2 x2 y2 ,∴? ,代入 + =1 中得 + =1 3 4 1 4 ? ?y0=3y 3 9

构成三角形时,三点 P、F1、F2 不共线,∴x≠0. 11.过点 P(8,1)的直线与双曲线 x2-4y2=4 相交于 A、B 两点,且 P 是线段 AB 的中点,则直线 AB 的方 程为________. [答案] 2x-y-15=0 [解析] 解法 1:经分析知 k 一定存在,设直线方程为 y-1=k(x-8), ∴y=k(x 64k2-8k =16,即 4k2-1

-8)+1,代入 x2-4y2=4 中,整理得(1-4k2)x2+(64k2-8k)x-256k2+64k-8=0.x1+x2= 8k2-k =2,∴k=2,∴所求方程为 2x-y-15=0. 4k2-1 解法 2:设 A、B 坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)则 x12-4y12=4,(1) (1)-(2)得(x1+x2)(x1-x2)-4(y1+y2)(y1-y2)=0, ∵P 是线段 AB 的中点,∴x1+x2=16,y1+y2=2, y1-y2 x1+x2 ∴ = =2.∴直线 AB 的斜率为 2,∴直线 AB 的方程为 2x-y-15=0. x1-x2 4?y1+y2? [点评] 用“点差法”解决圆锥曲线中点弦等有关问题较为方便,注意进行总结. 三、解答题 x22-4y22=4,(2)

x2 y2 12.(2010· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 + =1 的左、右顶点为 A、B,右焦点为 9 5
第 14 页/共 10 页

F.设过点 T(t,m)的直线 TA,TB 与此椭圆分别交于点 M(x1,y1),N(x2,y2),其中 m>0,y1>0,y2<0 1 (1)设动点 P 满足 PF2-PB2=4,求点 P 的轨迹;(2)设 x1=2,x2= ,求点 T 的坐标. 3

[解析]

本主要考查求简单曲线的方程,考查直线与椭圆的方程等基础知识,考查运算求解能力和探究

问题的能力.由题设得 A(-3,0),B(3,0),F(2,0). (1)设点 P(x,y),则 PF2=(x-2)2+y2,PB2=(x-3)2+y2. 9 9 由 PF2-PB2=4,得(x-2)2+y2-(x-3)2-y2=4,化简得 x= .故所点 P 的轨迹为直线 x= . 2 2 x12 y12 5 5 1 1 (2)由 x1=2, + =1 及 y1>0,得 y1= ,则点 M(2, ),从而直线 AM 的方程为 y= x+1;由 x2= , 9 5 3 3 3 3 x22 y22 20 1 20 5 5 + =1,及 y2<0,得 y2=- ,则点 N( ,- ),从而直线 BN 的方程为 y= x- .由 9 5 9 3 9 6 2

?y=3x+1, ? 5 5 ?y=6x-2,
1



?x=7, ? 10 得? 10 所以点 T 的坐标为(7, ). 3 ?y= 3 . ?
13.(2009· 广东文)已知椭圆 G 的中心在坐标原点,长轴在 x 轴上,离心率为 3 ,两个焦点分别为 F1 和 2

F2,椭圆 G 上一点到 F1 和 F2 的距离之和为 12.圆 Ck:x2+y2+2kx-4y-21=0(k∈R)的圆心为点 Ak. (1)求椭圆 G 的方程; (2)求△AkF1F2 的面积; (3)问是否存在圆 Ck 包围椭圆 G?请说明理由. [解析] 的能力. x2 y2 (1)设椭圆 G 的方程为: 2+ 2=1(a>b>0),半焦距为 c; a b 考查椭圆的定义与标准方程、圆的一般方程、椭圆与圆的位置关系及运算能力、分析解决问题

?2a=12 ? ?a=6 x2 y2 则? c ,∴b2=a2-c2=36-27=9,所求椭圆 G 的方程为: + =1. 3 ,解得? 36 9 ?c=3 3 ? ?a= 2
1 1 (2)点 Ak 的坐标为(-k,2),S△AkF1F2= ×|F1F2|×2= ×6 3×2=6 3. 2 2 (3)若 k≥0,由 62+02+12k-0-21=15+12k>0 可知点(6,0)在圆 Ck 外, 若 k<0,由(-6)2+02-12k-0-21=15-12k>0 可知点(-6,0)在圆 Ck 外; ∴不论 k 为何值,圆 Ck 都不能包围椭圆 G. 14.直线 m: y=kx+1 和双曲线 x2-y2=1 的左支交于 A、B 两点,直线 l 过点 P(-2,0)和 AB 线段的中点, 求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围.
第 15 页/共 10 页

?y=kx+1 ? [解析] 由? 2 2 消去 y 得(1-k2)x2-2kx-2=0 ? ?x -y =1

?Δ=4k +8?1-k ?>0 ? 2k 则? <0 1-k ?1-k >0 ? -2
2 2 2 2

1-k2≠0

,∴1<k< 2

k 设 M(x0,y0)为 AB 的中点,则 x0= 1-k2

k2 1 ? k 2, 1 2? y0=kx0+1= 2+1= 2,∴M ?1-k 1-k ? 1-k 1-k

k 1 ∵P(-2,0),M?1-k2,1-k2?,Q(0,b)三点共线

?

?

2 故 b= ,设 φ(k)=-2k2+k+2,则 φ(k)在(1, 2)上是减函数,于是 -2k2+k+2 φ( 2)<φ(k)<φ(1),即 2-2<φ(k)<1,且 φ(k)≠0,∴b>2 或 b<-(2+ 2). [点评] 因为 b 的变化是由于 k 的变化引起的,且 m 有固定的位置时,l 也有确定的位置,即对于 k 的每 一个允许值,b 都有确定的值与之对应,因此 b 是 k 的函数. 15.(2010· 北京理)在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是动点,且直线 1 AP 与 BP 的斜率之积等于- . 3 (1)求动点 P 的轨迹方程; (2)设直线 AP 与 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N.问:是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. [解析] 本题考查了点的轨迹方程及三角形的面积公式,第(1)问可利用直接法求出轨迹,(2)问先表示出

三角形面积,再结合已知条件即可求解. (1)因为点 B 与点 A(-1,1)关于原点对称,得 B 点坐标为(1,-1). 设 P 点坐标为(x,y),则 kAP= y-1 y+1 y-1 y+1 1 ,k = ,由题意得 · =- , 3 x+1 BP x-1 x+1 x-1

化简得:x2+3y2=4(x≠± 1).即 P 点轨迹方程为:x2+3y2=4,(x≠± 1). (2)因为∠APB+∠MPN=180° ,可得 sin∠APB=sin∠MPN, 1 又 S△APB= |PA||PB|sin∠APB, 2 1 S△MPN= |PM||PN|sin∠MPN, 2 即 |PA| |PN| = |PM| |PB|

若 S△APB=S△MPN,则有|PA||PB|=|PM||PN|,

|x0+1| |3-x0| 设 P 点坐标为(x0,y0),则有: = , |3-x0| |x0-1| 5 33 解得:x0= ,又因 x02+3y02=4,解得 y0=± . 3 9 5 33 5 33 故存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等,此时 P 点坐标为( , )或( ,- ). 3 9 3 9
第 16 页/共 10 页


推荐相关:

高二数学曲线和方程练习

高二数学曲线和方程练习_高二数学_数学_高中教育_教育专区。曲线和方程一、曲线和方程 1、 曲线和方程的概念: 、 曲线和方程的概念: 在直角坐标系中,如果曲线 C...


高二数学曲线与方程习题

高二数学曲线与方程习题 隐藏>> 1.曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中,如果某曲线 C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程 f(x, y)=...


高二数学曲线和方程练习

高二数学曲线和方程练习【同步达纲练习】 A级 一、选择题 1.曲线 f(x,y)=0 关于直线 x-y-2=0 时称曲线的方程为( ) A.f(y+2,x)=0 B.f(x-2,y...


曲线和方程练习题

曲线和方程练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 曲线和方程练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。曲线和方程练习题【...


高中数学选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题

高中数学选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学选修1-1第2章《圆锥曲线与方程》单元测试题 ...


高二数学圆锥曲线练习题

高二数学圆锥曲线试题 6页 免费 高二数学圆锥曲线测试题以... 4页 1财富值 ...2.椭圆参数方程 ? ? x = a cos α: ? y = b sin α 如图点 N ( ...


高二数学双曲线试题(有答案)

高二数学曲线试题(有答案)_数学_高中教育_教育专区。高二数学曲线试题 一:...依题意知抛物线的准线 x=﹣2.代入双曲线方程得 y=± ∴ .双曲线的一条...


高二数学选修2-1第二章圆锥曲线 知识点+习题+答案

高二数学选修2-1第二章圆锥曲线 知识点+习题+答案_数学_高中教育_教育专区。第二章 圆锥曲线与方程 1、 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离之和等于常数 (...


高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案

高二数学《圆锥曲线与方程》测试题与参考答案一、选择题 (每小题 5 分,共 40 分) 1.F1、F2 是定点,|F1F2|=5,动点 M 满足|MF1|+|MF2|=7,则 M 的...


曲线的轨迹方程习题课

曲线的轨迹方程习题课_高二数学_数学_高中教育_教育专区。复习曲线的轨迹使用曲线的轨迹方程习题课求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com