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3.1导数的定义与几何意义


变化率与导数

1.瞬时速度 已知物体作变速直线运动,其运动方程为s= s(t)(s表示位移,t表示时间),求物体在t0时刻的速度.

?s ? OA1 ? OA0 ? s(t0 ? d ) ? s(t0 )
在时间段( t0+d)- t0 = d 内,物体的平均速度为:
__

s(t0 ? d

) ? s(t0 ) v? ? (t0 ? d ) ? t0

导与练30页例2

请看当 点Q沿 着曲线 逐渐向 点P接 近时,割 线PQ 绕着点 P逐渐 转动的 情况.

y

y=f(x) Q

割 线 T 切线

P

?
x

o

曲线割线斜率的极限值为曲线切线的斜率。
设P(u, f (u))是曲线y ? f(x)上一点, 求过点P的切线斜率的方法:
1.在曲线上找一点 (u ? d, f(u ? d)), Q 计算直线PQ的斜率 k PQ f (u ? d) - f (u) ? d

导 与 练 页 变 式 训 练

31

2.在k PQ表达式中让d趋于0, 得到一个确定的值 即为切线的斜率。

3.函数的平均变化率:

?1?函数f (x)在x ? u处的步长为d的差分: f ?u ? d ? ? f ?u ? f ?u ? d ? - f ?u ? ?2?差商为:
d
差商表示的是函数在某个区间[u,u+d]上的平均变 化率。它反映了自变量在某个范围内变化时,函 数值变化的总体快慢。 让步长d趋于0时,函数的平均变化率 就趋于瞬时变化率。

3.导数的概念

在数学中把函数的瞬时变化率叫做函 数的导数或微商。
定义:设函数y=f(x)在包含x0的某个区间上有定 义, 如果差商 f ? x0 ? d ? ? f ? x0 ? 在d趋于0时(d不为0) d 趋于确定的极限值,则称这个极限值为函数f(x)在 x=x0处的导数(或微商)记作 f ?( x0 )

f ?x0 ? d ? ? f ?x0 ? ' ? f ?x0 ? d

?d ? 0?

由导数的定义可知,求函数y=f(x)在点x0处的导数 的基本方法是:

(1)求函数的差分 ? f ( x0 ? d ) ? f ( x0 ); 一差
f ( x 0 ? d ) ? f ( x0 ) (2)求平均变化率(差商) ? ; 二比 d
(3)让d ? 0,得到确定的值为导数f ?( x0 )。 三趋于0

例1:(1)求函数y=x2在x=1处的导数;

(2)求函数 y

? x?x

2

在x=2处的导数.

解: )差分 (1

(1 ? d )2 ?12 ? 2d ? d 2 ,

2d ? d 2 差商 ? 2 ? d, d

?d ? 0 ? y? |x?1 ? 2.

4.导数的几何意义

函数 y=f(x)在点x0处的导数的几何意义,就是曲
线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率,即曲线y=

f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜率是 f ' ?x ?. 0
故曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线方程是:

y ? f ( x0 ) ? f ?( x 0 )( x ? x0 )

利用导数求切线方程
例2:已知曲线C:y

?x

2

(1)求曲线C在x=1处切线的斜率;

(2)求曲线C在x=1处的切线方程。

1 3 8 y ? x 上 一 点 ( 2, ) P 例2:如图,已知曲线 3 3 ,求: (1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程.

? |x?2 ? 22 ? 4. ?y
4

y

y?

1 3 x 3

即点P处的切线的斜率等于4. (2)在点P处的切线方程是y-8/3=4(x-2), 即12x-3y-16=0.

3

P
2 1 -2 -1 O -1 -2 1 2 x

6.小结 a.导数是从众多实际问题中抽象出来的具有相同的数 学表达式的一个重要概念,要从它的几何意义和物 理意义了认识这一概念的实质,学会用事物在全过 程中的发展变化规律来确定它在某一时刻的状态。 b.要切实掌握求导数的三个步骤:(1)求函数的增 量;(2)求平均变化率;(3)取极限,得导数。 c.弄清“函数f(x)在点x0处的导数”、“导函数”、 “导数” 之间的区别与联系。 (1)函数在一点处的导数,就是在该点的函数的改 变量与自变量的改变量之比的极限,它是一个 常数,不是变数。 (2)函数的导数,是指某一区间内任意点x而言的, 就是函数f(x)的导函数 f ?( x ) 。

(3)如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导, 就说函数y=f(x)在开区间(a,b)内可导,这时, 对于开区间内每一个确定的值x0,都对应着一 个确定的导数 f ?( x0 ) ,这样就在开区间(a,b)内 可构成一个新的函数,称作f(x)的导函数。 (4)函数f(x)在点x0处的导数 f ?( x0 ) 就是导函数 f ?( x ) 在x=x0处的函数值,即 f ?( x0 ) ? f ?( x) |x? x 。这也是 求函数在点x0处的导数的方法之一。
0

d.函数f(x)在点x0处有导数,则在该点处函数f(x)的曲 线必有切线,且导数值是该切线的斜率;但函数f(x) 的曲线在点x0处有切线,而函数f(x)在该点处不一定 可导。如函数 f ( x) ? x 在x=0处有切线,但不可导。

e.求切线方程的步骤:

(1)求出函数在点x0处的变化率 f ?( x0 ) ,得到曲线 在点(x0,f(x0))的切线的斜率。
(2)根据直线方程的点斜式写出切线方程,即

y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ).
f.无限逼近的极限思想是建立导数概念、用导数定义求 函数的导数的基本思想,丢掉极限思想就无法理解导 数概念。


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