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2015-2016学年高中数学 1.1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理课件 北师大版选修2-3


第一章

计数原理

§1 分类加法计数原理和分步乘法计数原理

课程目标 1.理解并掌握分类加法计数原理和分步 乘法计数原理. 2.能根据具体问题的特征,正确地选用分 类加法计数原理或分步乘法计数原理进 行处理.

学习脉络

1.分类加法计数原理 完成一件事,可以有 n

类办法,在第一类办法中有 m1 种方法,在第二类办 法中有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 N=m1+m2+…+mn 种方法.(也称加法原理)

特别提醒应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点:
第一,明确题目中“完成一件事”所指的是什么事,怎么才算是完成这件 事,完成这件事可以有哪些办法. 第二,完成这件事的 N 种方法是相互独立的,无论哪类办法中的哪种方 法都可以单独完成这件事,而不需要再用到其他的方法. 第三,确立恰当的分类标准,准确地对“这件事”进行分类,要求每一种 方法必属于某一类办法,不同类办法的任意两种方法是不同的方法,也就是 分类必须既“不重复”也“不遗漏”.

思考 1 应用分类加法计数原理的关键是什么? 提示:应用分类加法计数原理的关键是依据题意把完成的一件事恰当
地分成若干类,并且每一类中的每种方法都能独立地完成这件事.

2.分步乘法计数原理 完成一件事需要经过 n 个步骤,缺一不可,做第一步有 m1 种方法,做第二 步有 m2 种方法,……,做第 n 步有 mn 种方法.那么,完成这件事共有 N=m1×m2×…×mn 种方法.(也称乘法原理)

特别提醒应用分步乘法计数原理要注意的问题:
(1)明确题目中所指的“完成一件事”是什么事,单独用题目中所给的某 一步骤的某种方法是不能完成这件事的,也就是说必须要经过几步才能完 成这件事. (2)完成这件事需要分成若干个步骤,只有每个步骤都完成了,才算完成 这件事,缺少哪一步骤,这件事都不可能完成. (3)根据题意正确分步,要求各步之间必须连续,只有按照这几步逐步地去 做,才能完成这件事,各步骤之间既不能重复也不能遗漏.

思考 2 应用分步乘法计数原理的关键是什么? 提示:应用分步乘法计数原理的关键是依据题意把完成的一件事恰当
地分成若干个步骤.只有每一步都完成了,才算完成了这件事.

3.两个原理的关系 分类加法计数原理和分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的 不同方法的种数问题.区别在于:分类加法计数原理针对的是“分类”问题, 其中各种方法相互独立,用其中任何一种方法都可以做完这件事;分步乘法 计数原理针对的是“分步”问题,各个步骤中的方法互相依存,只有各个步骤 都完成才算做完这件事.

表解如下: 加法原理
区 别 一 区 别 二 区 别 三 完成一件事,共有 n 类办法, 关键词是“分类” 每类办法中每种方法都能独 立地完成这件事,它是独立 的、一次的且每次得到的是 最后结果 各种方法之间是互斥的、并 列的、独立的

乘法原理 完成一件事,共分 n 个步骤,关键词是“分 步” 每一步得到的只是中间结果,任何一步都 不能独立完成这件事,缺少任何一步也不 能完成这件事,只有各个步骤都完成了,才 能完成这件事 各步之间是关联的、独立的,“关联”确保 不遗漏,“独立”确保不重复

探究一

探究二

探究三

探究四

探究一分类加法计数原理的应用
当完成一件事有几类不同的办法,其中每一类办法的每一种方法都可 以独立地完成这件事时,用分类加法计数原理来解决.在分类时要注意:(1) 分类的标准并不是统一的,可以有多种分类的办法,我们在平时解题时,争取 找到最简单的分类办法;(2)分类时要满足不重不漏的原则,避免造成错误. 【例 1】高二(一)班有学生 50 人,男生 30 人;高二(二)班有学生 60 人, 女生 30 人;高二(三)班有学生 55 人,男生 35 人. (1)从中选一名学生任学生会主席,有多少种不同选法? (2)从高二(一)班、(二)班男生中,或从高二(三)班女生中选一名学生任 学生会的体育部长,有多少种不同的选法?

探究一

探究二

探究三

探究四

解:(1)选一名学生有三类不同的选法: 第一类:从高二(一)班选一名,有 50 种不同的方法; 第二类:从高二(二)班选一名,有 60 种不同的方法; 第三类:从高二(三)班选一名,有 55 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会主席的选法共有 50+60+55=165 种. (2)选一名学生任学生会的体育部长有三类不同的选法: 第一类:从高二(一)班男生中选,有 30 种不同的方法; 第二类:从高二(二)班男生中选,有 30 种不同的方法; 第三类:从高二(三)班女生中选,有 20 种不同的方法. 故任选一名学生任学生会的体育部长有 30+30+20=80 种不同的方法.

探究一

探究二

探究三

探究四

点评应用分类加法计数原理解题时应注意:
(1)清楚怎样才是完成“一件事”的含义,即知道做“一件事”,或完成一 个“事件”或“任务”在每个题中的具体所指. (2)每个问题中,标准不同,分类也不同.分类时,首先要根据问题的特点 确定一个适合它的分类标准,然后在这个标准下进行分类;其次,分类时要注 意满足两条基本原则:①完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类(不 漏).②分别属于不同两类的两种方法是不同的方法(不重复),即分类加法计 数原理中的“不重不漏”原则. 简言之,在应用分类加法计数原理解题时应注意:①明确任务,②确定分 类标准,③不重不漏.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究二分步乘法计数原理的应用
在应用分步乘法计数原理时,各个步骤都完成,才算完成这件事.各步骤 之间互不影响,即前一步用什么方法,不影响后一步采取什么方法.运用分步 乘法计数原理时,要确定好次序. 【例 2】(1)4 名同学报名参加跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项, 共有多少种报名方法? (2)4 名同学争夺跑步、 跳高、 跳远三个项目的冠军(每项冠军只允许一 人获得),共有多少种可能的结果? 思路分析:(1)因为是 4 名同学选择项目,所以应以人作为分步的依据;(2) 因为是给三项冠军找人,所以应以三项运动作为分步的依据.

探究一

探究二

探究三

探究四

解:(1)要完成的是“4 名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因 为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是按人分步,且分为四步,又每人 可在三项中选一项,选法为 3 种,所以共有 3×3×3×3=81 种报名方法. (2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能有一 人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主” 为线索进行分步,而每项冠军是四人中的某一人,有 4 种可能的情况,于是共 有 4×4×4=64 种可能的情况.

探究一

探究二

探究三

探究四

易错提示虽然都是 4 名同学和三个项目,但两问的主体是
不一样的,这就可能造成同学们审题上的错误,造成错误的关键在于没有弄 清分步的主体.在运用分步乘法计数原理解决问题时应首先弄清分步的主 体是什么,然后再根据主体进行分步,最后根据分步乘法计数原理进行解题.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究三两个计数原理的综合运用
对于有些计数问题的解决,对它们既需要“分类”,又需要“分步”,那么 此时就要注意综合运用两个计数原理来解决问题.解决这类问题,首先要明 确是先“分类”后“分步”,还是先“分步”后“分类”;其次,在“分类”和“分步” 的过程中,要确定明确的分类标准或分步次序.

探究一

探究二

探究三

探究四

【例 3】 由 0,1,2,3,4,5,6 这七个数字可以组成多少个无重复数字的四位 偶数? 解:要组成无重复数字的四位偶数可分两类. 第一类:首位取奇数数字(1,3,5 中任一个)时,末位数字可取 0,2,4,6 中任 一个,而百位不能取与这两个数字重复的数字,十位数字则不能取与这三个 数字重复的数字,依据分步乘法计数原理,有 3×4×5×4=240 种取法. 第二类:首位取偶数数字(2,4,6)中任一个,则末位数字可取 0 及 2,4,6 中 去掉放在首位剩余两个中任一个,百位数字不能取与这两个数字重复的数 字,十位数字则不能取与这三个数字重复的数字,依据分步乘法计数原理,有 3×3×5×4=180 种取法. 根据分类加法计数原理,共可以组成 240+180=420 个无重复数字的四 位偶数.

探究一

探究二

探究三

探究四

点评正确使用两个基本计数原理的前提是要清楚两个基本计数
原理的使用条件,合理进行分类和分步.一定要做到分类明确,层次清楚,不 重不漏.

探究一

探究二

探究三

探究四

探究四易错辨析
【例 4】某天上午要排数学、物理、英语、化学四门不同的学科,若第 一节排数学或第四节排物理,一共有多少种不同的排法? 错解:分两类:第一类:数学排第一节,接下来可分三步完成,首先排第二 节,从物理、英语、化学中选一门,有 3 种选法;再排第三节,从剩余的两门中 选一门,有 2 种选法;最后排第四节,有 1 种排法,所以第一类共有 3×2×1=6 种不同的排法;第二类:物理排第四节,同样也有 3×2×1=6 种不同的排法.根 据分类加法计数原理,共有 6+6=12 种不同的排法. 错因分析:当数学排第一节时物理有可能排第四节;同样,当物理排第四 节时数学也有可能排第一节.考虑到英语、化学的先后顺序,可见,数学排第 一节、物理排第四节的情况重复计算了 2 次. 正解:一共有 6+6-2=10 种不同的排法.

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1.一个三层书架,分别放置语文书 12 本,数学书 14 本,英语书 11 本,从中任取 1 本,则不同的取法共有( )种. A.37 B.1848 C.3 D.6 解析:根据分类加法计数原理,得不同的取法为 N=12+14+11=37 种. 答案:A

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2.某商业大厦有东南西 3 个大门,楼内东西两侧各有 2 个楼梯,从楼外到二楼 的不同走法种数为( ) A.5 B.7 C.10 D.12 解析:根据分步乘法计数原理,得不同的走法为 N=3×4=12 种. 答案:D

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3.有四位教师在同一年级的四个班中各教一个班的数学,在数学检测时要 求每位教师不能在本班监考,则监考的方法有( ) A.8 种 B.9 种 C.10 种 D.11 种 解析:设四位监考教师分别为 A,B,C,D,所教班分别为 a,b,c,d,假设 A 监考 b, 则余下三人监考剩下的三个班,共有 3 种不同方法.同理 A 监考 c,d 时,也分 别有 3 种不同方法.由分类加法计数原理,监考的方法共有 3+3+3=9 种. 答案:B

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4.一个科技小组中有 4 名女同学,5 名男同学,从中任选 1 名同学参加学科竞 赛,共有不同的选派方法 种;若从中任选 1 名女同学和 1 名男同 学参加学科竞赛,共有不同的选派方法 种. 解析:由分类加法计数原理得从中任选 1 名同学参加学科竞赛共有 5+4=9 种选派方法.由分步乘法计数原理得从中任选 1 名女同学和 1 名男同学参加 学科竞赛共有 4×5=20 种选派方法. 答案:9 20

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5.某校学生会由高一年级 5 人,高二年级 6 人,高三年级 4 人组成. (1)选其中 1 人为学生会主席,有多少种不同的选法? (2)若每年级各选 1 人为校学生会常委,有多少种不同的选法? (3)若要选出两名不同年级的学生会成员参加市里组织的活动,有多少种不 同的选法? 解:(1)有 5+6+4=15 种不同的选法; (2)有 5×6×4=120 种不同的选法; (3)有 5×6+6×4+4×5=74 种不同的选法.


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