tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

陕西省咸阳市2015年高考数学三模试卷(文科)


2015 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(文科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 2 1.若集合 M={1,2,3,4},N={x|x ﹣4≥0},则 M∩N=( ) A. {2,3,4} B. [﹣2,2] C. {2} D. [2,+∞) 2.已知复数 z= ,则( )

A. z 的虚部

为﹣1 B. z 的实部为 1 C. |z|=2 D. z 的共轭复数为 1+i

3.设向量 =(x,1) , =(4,x) ,若 , 方向相反,则实数 x 的值是( A. 0 B. ±2 C. 2 D. ﹣2 4.一算法的程序框图如图,若输出的 y= ,则输入的 x 的值可能为( )



A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 5 5.下列函数既是偶函数又是周期为 π 的函数是( A. y=cos(x﹣ C. y=cos
2



) B. y=sin x﹣cos x

2

2

D. y=tan2x

6.下列结论中正确的是( ) A. 若 p∧(¬q)为真命题,则 q 为真命题 B. 回归直线方程 = x+ 一定经过( , ) C. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化

D. 某单位有职工 750 人, 其中青年职工 350 人, 中年职工 250 人, 老年职工 150 人. 为 了解该单位职工的健康情况,应采用系统抽样的方法从中抽取样本 7.设双曲线方程 mx ﹣ny =1(mn≠0) ,则“离心率 e= A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 2

”是“m=n”的(



8.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体的表 面积为( )

A.

π B. 5π C. 6π D. 7π
2

9.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b5b9=( ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 10.已知 1≤a≤3,2≤b≤5,则方程 x ﹣bx+a =0 有实数解的概率是( A. B.
2 2 2 2



C.

D.

11.若圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)所作的切线长 的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 12.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,如[﹣1,2]=﹣2,[1,2]=1,[1]=1,则函数 f(x) =[x]+[2x](0≤x≤3)的值域中不可能取到的一个正整数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 6

二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+a3+…+a7 的值为



14.在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域内的

面积等于 2,则 a= 15.给出下列等式: 1 =1 1 +2 = ×2×3×5 1 +2 +3 = ×3×4×7 1 +2 +3 +4 = ×4×5×9 1 +2 +3 +4 +5 = ×5×6×11 …
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



则按照此规律可以猜想第 n 个等式为 16.若函数 f(x)=2sin( x+



) (﹣2<x<14)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 + )? = . (其中 O 为坐标原点)

与函数的图象交于 B、C 两点,则(

三、解答题(本大题有 8 小题,共 70 分) (一)必做题 2 17.设函数 f(x)= sinxcosx+cos x (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )= ,b+c=2,求 a 的 最小值. 18. 某企业工会对清明假期在省内旅游的职工进行统计, 用分层抽样的方法从去汉中、 安康、 延安、渭南、宝鸡五地旅游人员中抽取若干人成立旅游爱好者协会,相关数据统计如下: 旅游地 相关人数 抽取人数 汉中 30 a 安康 b 1 延安 24 4 渭南 c 3 宝鸡 12 d (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若从去延安和宝鸡两地抽取的人数中选 2 人担任旅游爱好者协会与工会之间的联络 员,求这两人来自不同旅游地的概率.

19.如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)求证:AC∥平面 BPE; (2)求三棱锥 B﹣PAC 的体积.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,离心率 e= ,点 F2 到

直线 y=x 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)过 F2 任意作一条直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,是否存在以线段 AB 为直径的圆经 过 F1,若存在,求出直线 l 方程;若不存在,请说明理由. 21.设 a∈R,函数 f(x)=lnx﹣ax (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)已知 x1= 并证明:x2>e (e 为自然对数的底数)和 x2 是函数 f(x)的两个不同的零点,求 a 的值 .

(二)选做题(从第 22、23、24 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一个题目计分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,AB 为圆 O 的直径,BC 为圆 O 的切线,连结 AC 交圆 O 于 D,P 为 AD 的中点, 过 P 作不同于 AD 的弦交圆 O 于 M、N 两点,若 BC=6,CD=4 (Ⅰ)求 MP?NP 的值 (Ⅱ)求证:∠C=∠AMD.

【选修 4-4:坐标系与参数方程】

23.已知直线 l:

(t 为参数) .曲线 C 的极坐标方程:p=3

(Ⅰ)设 A、B 是直线 l 与曲线 C 的交点,求|AB| (Ⅱ)若 P 是曲线 C 上任意一点,求△ ABP 面积的最大值.

【选修 4-5:不等式选讲】 + 24.已知 x,y∈R ,且 x+y=2 (Ⅰ)要使不等式 + ≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立,求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)求证:x +2y
2 2



2015 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.若集合 M={1,2,3,4},N={x|x ﹣4≥0},则 M∩N=( A. {2,3,4} B. [﹣2,2] C. {2} D. [2,+∞)
2



考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出 N 中不等式的解集确定出 N,找出 M 与 N 的交集即可. 解答: 解:由 N 中不等式变形得: (x+2) (x﹣2)≥0, 解得:x≤﹣2 或 x≥2,即 N=(﹣∞,﹣2]∪[2,+∞) , ∵M={1,2,3,4}, ∴M∩N={2,3,4}, 故选:A. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2.已知复数 z= ,则( )

A. z 的虚部为﹣1 B. z 的实部为 1 C. |z|=2 D. z 的共轭复数为 1+i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 化简已知复数可得其虚部,可得答案. 解答: 解:化简可得 z= = = =﹣1﹣i,

∴z 的虚部为﹣1, 故选:A 点评: 本题考查复数的代数形式的乘除运算,属基础题.

3.设向量 =(x,1) , =(4,x) ,若 , 方向相反,则实数 x 的值是( A. 0 B. ±2 C. 2 D. ﹣2 考点: 平行向量与共线向量. 专题: 平面向量及应用. 分析: 利用向量共线定理即可得出.



解答: 解:∵
2



∴x ﹣4=0,解得 x=±2. 又 , 方向相反, ∴x=﹣2. 故选:D. 点评: 本题考查了向量共线定理,属于基础题.

4.一算法的程序框图如图,若输出的 y= ,则输入的 x 的值可能为(



A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 5 考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图.

分析: 模拟执行程序可得程序功能是求分段函数 y=

的值,根据已知即可

求解.

解答: 解:模拟执行程序可得程序功能是求分段函数 y=

的值,

∵y= , ∴sin( ∴ )= ,k∈Z,即可解得 x=12k+1,k∈Z.

=2kπ+

∴当 k=0 时,有 x=1. 故选:C. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正弦函数的图象和性质,属于基础题.

5.下列函数既是偶函数又是周期为 π 的函数是( A. y=cos(x﹣ C. y=cos
2



) B. y=sin x﹣cos x

2

2

D. y=tan2x

考点: 三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由三角函数的周期性及其求法依次求得各个选项的周期,即可判断. 解答: 解:∵y=cos(x﹣
2 2

)=﹣sinx,可求其周期为 2π,故 A 不满足条件;

y=sin x﹣cos x=﹣cos2x, 由余弦函数的奇偶性及周期性可求此函数既是偶函数又是周期为 π 的函数,故 B 满足条件; y=cos
2

=

cosx,可求其周期为 2π,故 C 不满足条件; ,故 D 不满足条件;

y=tan2x,可求其周期为

故选:B. 点评: 本题主要考查了诱导公式,三角函数恒等变换,三角函数周期性及其求法等知识的 应用,属于基本知识的考查. 6.下列结论中正确的是( ) A. 若 p∧(¬q)为真命题,则 q 为真命题 B. 回归直线方程 = x+ 一定经过( , ) C. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后,平均数与方差均没有变化 D. 某单位有职工 750 人, 其中青年职工 350 人, 中年职工 250 人, 老年职工 150 人. 为 了解该单位职工的健康情况,应采用系统抽样的方法从中抽取样本 考点: 命题的真假判断与应用. 专题: 简易逻辑. 分析: A.利用复合命题的真假关系进行判断. B.利用回归直线方程的定义和性质进行判断. C.根据平均数和方差的公式判断. D.根据抽样的定义进行判断. 解答: 解:A.若 p∧(¬q)为真命题,则¬q 为真命题,即 q 为假命题.故 A 正确, B.根据回归直线的性质可知回归直线方程 = x+ 一定经过( , ) ,故 B 正确, C. 将一组数据中的每个数据都减去同一个数后, 平均数有变化, 方差没有变化, 故 C 错误, D.由于青年职工,中年职工和老年职工差异比较明显,故用分层抽样,故 D 错误, 故选:B 点评: 本题主要考查命题的真假判断,要求熟练掌握各知识点的判断方法.

7.设双曲线方程 mx ﹣ny =1(mn≠0) ,则“离心率 e= A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

2

2

”是“m=n”的(



考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据充分条件和必要条件的定义以及双曲线的性质进行判断. 解答: 解:若离心率 e= ,则双曲线为等轴双曲线,则 m=n, 则当 m=n,双曲线为等轴双曲线,则 e= , 故“离心率 e= ”是“m=n”的充要条件, 故选:C 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,比较基础. 8.某几何体的三视图如图所示,其中三角形的三边长与圆的直径均为 2,则该几何体的表 面积为( )

A.

π B. 5π C. 6π D. 7π

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据几何体的三视图,得出该几何体是球与圆锥的组合体,结合图中数据求出它的 表面积. 解答: 解:根据几何体的三视图,得: 该几何体是底部为球体,上部为圆锥体的组合体, 且球的半径与圆锥底面圆的半径都为 1, 圆锥的母线长为 2; 所以,球的表面积为 4π?1 =4π, 2 圆锥体的表面积为 π?1 +π?1?2=3π, 该几何体的表面积为 4π+3π=7π. 故选:D. 点评: 本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题,解题的关键是由三视图 得出几何体的结构特征. 9.已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 2a3﹣a7 +2a11=0,数列{bn}是等比数列,且 b7=a7, 则 b5b9=( )
2 2

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 考点: 等差数列的性质;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: 根据等差数列的性质化简已知条件, 得到关于 a7 的方程, 求出方程的解得到 a7 的值, 进而得到 b7 的值,把所求的式子利用等比数列的性质化简,将 b7 的值代入即可求出值. 解答: 解:根据等差数列的性质得:a3+a11=2a7, 2 2 2a3﹣a7 +2a11=0 变为:4a7﹣a7 =0,解得 a7=4,a7=0(舍去) , 所以 b7=a7=4, 2 则 b5b9=a7 =16. 故选 D 点评: 此题考查学生灵活运用等差数列的性质及等比数列的性质化简求值, 是一道基础题. 10.已知 1≤a≤3,2≤b≤5,则方程 x ﹣bx+a =0 有实数解的概率是( A. B. C. D.
2 2



考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 2 2 分析: 本题考查的知识点是几何概型的意义,关键是要找出方程 x ﹣2ax+b =0 有实数解对 应的可行域面积的大小和实数 a,b 满足﹣1≤a≤1,﹣1≤b≤1 对应的图形面积的大小 2 2 2 2 解答: 解:x ﹣bx+a =0 有实数解的充要条件是△ =b ﹣4a ≥0. 即 或 .

如下图所示,区域 1≤a≤3,2≤b≤5 的面积为 6, 在 1≤a≤3,2≤b≤5 前提下,区域不等式组表示的区域面积为 ,

由几何概型等式可得方程 x ﹣bx+a =0 有实数解的概率是: 故选 A.

2

2



点评: 本题考查几何概型公式的运用;几何概型的概率估算公式中的“几何度量”,可以为 线段长度、含面积、体积等,而且这个“几何度量”只与“大小”有关,而与形状和位置无关. 11.若圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0 关于直线 2ax+by+6=0 对称,则由点(a,b)所作的切线长 的最小值是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 直线与圆. 分析: 由题意可知直线经过圆的圆心,推出 a,b 的关系,利用(a,b)与圆心的距离,半 径,求出切线长的表达式,然后求出最小值. 2 2 2 2 解答: 解:将圆 C:x +y +2x﹣4y+3=0 化为标准方程得: (x+1) +(y﹣2) =2, ∴圆心 C(﹣1,2) ,半径 r= , ∵圆 C 关于直线 2ax+by+6=0 对称, ∴直线 2ax+by+6=0 过圆心, 将 x=﹣1,y=2 代入直线方程得:﹣2a+2b+6=0,即 a=b+3, ∵点(a,b)与圆心的距离 d= ∴点(a,b)向圆 C 所作切线长 l= = = = ≥ 4, ,
2 2

当且仅当 b=﹣1 时弦长最小,最小值为 4. 故选 C 点评: 本题考查直线与圆的位置关系,涉及的知识有:圆的标准方程,两点间的距离公式, 勾股定理,以及圆的切线方程的应用,其中得出 a 与 b 的关系式是本题的突破点.

12.已知[x]表示不超过实数 x 的最大整数,如[﹣1,2]=﹣2,[1,2]=1,[1]=1,则函数 f(x) =[x]+[2x](0≤x≤3)的值域中不可能取到的一个正整数是( ) A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 考点: 函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由新定义列举出 f(x)所有可能的取值,比较选项可得. 解答: 解:由新定义可得当 0≤x<1 时,0≤2x<2, ∴[x]=0,[2x]=0 或 1,故 f(x)=[x]+[2x]=0 或 1; 当 1≤x<2 时,2≤2x<4, ∴[x]=1,[2x]=2 或 3,故 f(x)=[x]+[2x]=3 或 4; 当 2≤x<3 时,4≤2x<6, ∴[x]=2,[2x]=4 或 5,故 f(x)=[x]+[2x]=6 或 7; 当 x=3 时,[x]=3,[2x]=6,故 f(x)=[x]+[2x]=9, 故选:C. 点评: 本题考查函数的值域,涉及新定义,列举是解决问题的关键,属基础题. 二、填空题(本大题有 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5=12,则 a1+a2+a3+…+a7 的值为 28 . 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质结合已知求得 a4=4.然后由 a1+a2+a3+…+a7=7a4 得答案. 解答: 解:∵数列{an}是等差数列,且 a3+a4+a5=12, 由等差数列的性质得:3a4=12,则 a4=4. ∴a1+a2+a3+…+a7=7a4=7×4=28. 故答案为:28. 点评: 本题考查了等差数列的性质,考查了等差数列的前 n 项和,是基础的计算题.

14.在平面直角坐标系中,若不等式组

(a 为常数)所表示的平面区域内的

面积等于 2,则 a= 3 . 考点: 简单线性规划.

分析: 先根据约束条件

(a 为常数) ,画出可行域,求出可行域顶点的坐标,

再利用几何意义求关于面积的等式求出 a 值即可. 解答: 解:当 a<0 时,不等式组所表示的平面区域, 如图中的 M,一个无限的角形区域,面积不可能为 2, 故只能 a≥0,

此时不等式组所表示的平面区域如图中的 N,区域为三角形区域, 若这个三角形的面积为 2, 则 AB=4,即点 B 的坐标为(1,4) , 代入 y=ax+1 得 a=3. 故答案为:3.

点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的 思想,属中档题. 15.给出下列等式: 1 =1 1 +2 = ×2×3×5 1 +2 +3 = ×3×4×7 1 +2 +3 +4 = ×4×5×9 1 +2 +3 +4 +5 = ×5×6×11 … 则按照此规律可以猜想第 n 个等式为 1 +2 +3 +…+n =
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2



考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

归纳推理. 排列组合. 根据题中式子各边的规律进行归纳猜想,即可得出第 n 个等式. 2 解:1 =1,

1 +2 = ×2×3×5, 1 +2 +3 = ×3×4×7, 1 +2 +3 +4 = ×4×5×9, 1 +2 +3 +4 +5 = ×5×6×11,… 由以上可得从第二个式子左边是连续数的平方和,右边分别是 与三个数的乘积,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

且这三个数分别构成三个数列是:2、3、4、5、6…;3、4、5、6…;5、7、9、11…, 照此规律,第 n 个等式可为:1 +2 +3 +…+n = 故答案为:1 +2 +3 +…+n =
2 2 2 2 2 2 2 2

, .

点评: 本题考查归纳推理,难点是根据已知的几个式子的特点发现其中的规律,注意从运 算的过程中去寻找,考查观察、分析、归纳的能力,属于基础题.

16.若函数 f(x)=2sin(

x+

) (﹣2<x<14)的图象与 x 轴交于点 A,过点 A 的直线 + )? = 72 . (其中 O 为坐标原点)

与函数的图象交于 B、C 两点,则(

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;平面向量及应用. 分析: 根据函数解析式求出周期,判断在﹣2<x<14 时图象仅与 x 轴交于点 A(6,0)且 关于点 A 对称,得到 + =2 x+ ,进而可以计算出( )的周期是 16, + )? 的值.

解答: 解:f(x)=2sin( ∴f(x)=2sin( x+

) (﹣2<x<14)的图象仅与 x 轴交于点 A(6,0)且关于点 A 对

称, 故 A 是线段 BC 的中点, 则( + )? =2 =2×36=72.

故答案为:72. 点评: 本题考查了向量的数量积,考查了数形结合的思想,解题的关键是判断函数 f(x) 的图象仅与 x 轴交于点 A(6,0)且关于点 A 对称. 三、解答题(本大题有 8 小题,共 70 分) (一)必做题 2 17.设函数 f(x)= sinxcosx+cos x (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)已知△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f( )= ,b+c=2,求 a 的 最小值. 考点: 余弦定理;三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质;解三角形. 分析: (1)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得 f(x)=sin(2x+ 由周期公式即可得解; )+ ,

(2)由(1)可得 sin(A+

)=1,结合 A 的范围可求 A.由余弦定理,解得 a =(b+c)

2

2

﹣3bc,由 b+c=2 知 bc 的最大值,从而可求 a 的最小值. 解答: 解: (1)∵f(x)= ∴f(x)的周期 T= sinxcosx+cos x=
2

sin2x+

=sin(2x+

)+ ,

=π.…(6 分) )+ = , . =(b+c) ﹣3bc,
2

(2)∵f( )=sin(A+ ∴sin(A+

)=1,由 A∈(0,π) ,可得 A=
2 2 2

在△ ABC 中,由余弦定理,得 a =b +c ﹣2bccos 由 b+c=2 知 bc≤(
2

) =1,当 b=c=1 时 bc 取最大值,此时 a 取最小值 1.…(12 分)

点评: 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理,基本不等式的 综合应用,属于基本知识的考查. 18. 某企业工会对清明假期在省内旅游的职工进行统计, 用分层抽样的方法从去汉中、 安康、 延安、渭南、宝鸡五地旅游人员中抽取若干人成立旅游爱好者协会,相关数据统计如下: 旅游地 相关人数 抽取人数 汉中 30 a 安康 b 1 延安 24 4 渭南 c 3 宝鸡 12 d (Ⅰ)求 a,b,c,d 的值; (Ⅱ)若从去延安和宝鸡两地抽取的人数中选 2 人担任旅游爱好者协会与工会之间的联络 员,求这两人来自不同旅游地的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)由表格可知抽取比例为 ,易得要求的值; (Ⅱ)设去“延安”4 人分别为 a、b、c、d,去“宝鸡”的人分别为:1、2,列举可得总的基本 事件共 15 个,其中两人来自不同旅游地的共 8 个,由概率公式可得. 解答: 解: (Ⅰ)由表格可知抽取比例为 ∴a=30× =5,b=1÷ =6, ∴a,b,c,d 的值分别为 5,6,18,2; (Ⅱ)设去“延安”4 人分别为 a、b、c、d,去“宝鸡”的两人分别为:1、2, 则从中任选 2 人的基本事件有(a,b) (a,c) (a,d) (a,1) (a,2) (b,c) (b,d) (b,1) (b,2) (c,d) (c,1) = ,

(c,2) (d,1) (d,2) (1,2)共 15 个, 其中两人来自不同旅游地的基本事件有(a,1) (a,2) (b,1) (b,2) (c,1) (c,2) (d,1) (d,2)共 8 个, 则两人分别来自两个旅游地的概率为 .

点评: 本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率,涉及分层抽样,属基础题. 19.如图为一简单组合体,其底面 ABCD 为正方形,PD⊥平面 ABCD,EC∥PD,且 PD=AD=2EC=2. (1)求证:AC∥平面 BPE; (2)求三棱锥 B﹣PAC 的体积.

考点: 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)连接 AC,设 AC 与 BD 相交于 O,取 PB 的中点 H,连接 HE,HO.证明四 边形 OCEH 为平行四边形,利用直线与平面平行的判定定理证明 AC∥面 BPE. (Ⅱ)利用 VB﹣PAC=VP﹣ABC,求解底面面积与高,即可求出几何体的体积. 解答: 证明: (Ⅰ)如图,连接 AC,设 AC 与 BD 相交于 O, 取 PB 的中点 H,连接 HE,HO. ∵HO 是△ BDP 的中位线,∴OH 又 CE PD,∴OH CE. PD,

∴四边形 OCEH 为平行四边形,HE?面 PBE,AC?面 PBE ∴AC∥面 BPE,…(6 分) (Ⅱ)VB﹣PAC=VP﹣ABC= S△ ABC?PD= = .…(12 分)

点评: 本题考查几何体的体积的求法,直线与平面平行的判定定理的应用,考查计算能力 以及空间想象能力.

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F2,离心率 e= ,点 F2 到

直线 y=x 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程 (Ⅱ)过 F2 任意作一条直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点,是否存在以线段 AB 为直径的圆经 过 F1,若存在,求出直线 l 方程;若不存在,请说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题.
2

分析: (Ⅰ)由题意得:

?

?b =3,求得椭圆方程.

(Ⅱ)设满足条件的直线为 l,其方程为 x=my+1,两交点坐标为 A(x1,y1)B(x2,y2) , 直线与圆锥曲线联立,利用韦达定理列得条件,求得所需直线.
2

解答: 解: (Ⅰ)由题意得:

?

?b =3,所求椭圆方程为

(Ⅱ)设满足条件的直线为 l,其方程为 x=my+1,两交点坐标为 A(x1,y1)B(x2,y2) 由 消去 x 得: (3m +4)y +6my﹣9=0
2 2



以 AB 为直径得圆过点 F1 故有: (x1+1) (x2+1)+y1y2=(my1+2) (my2+2)+y1y2=(m +1)y1y2+2m(y1+y2)+4=0 代入化简得 9m ﹣7=0,m= 即存在满足条件的直线 l,其方程为 3x . 点评: 本题主要考查圆锥曲线的方程和直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题. 21.设 a∈R,函数 f(x)=lnx﹣ax (1)求函数 f(x)的单调区间;
2 2

(2)已知 x1= 并证明:x2>e

(e 为自然对数的底数)和 x2 是函数 f(x)的两个不同的零点,求 a 的值 .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (1)先求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,从而得到函数的单调性; (2)先求出 a 的值,得到函数 f(x)的表达式,从而证出结论. 解答: 解: (1)函数 f(x)的定义域为(0,+∞) . 求导数,得 f′(x)= ﹣a= .

①若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)是(0,+∞)上的增函数; ②若 a>0,令 f′(x)=0,得 x= . 当 x∈(0, )时,f′(x)>0,f(x)是增函数; 当 x∈( ,+∞)时,f′(x)<0,f(x)是减函数. 综上所述,当 a≤0 时,f(x)的递增区间为(0,+∞) ;当 a>0 时,f(x)的递增区间为 (0, ) ,递减区间为( ,+∞) . (2)因为 x1= 解得 a= = 是函数 f(x)的零点,所以 f( . x. )=0,即 ﹣a =0,

所以 f(x)=lnx﹣

因为 f(

)= ﹣ >0,f(

)= ﹣

<0,所以 f(

)f(

)<0.

所以 x2∈(



) ,即:x2>



点评: 本题考查了函数的单调性问题,考查不等式的证明,是一道中档题. (二)选做题(从第 22、23、24 题中任选一题作答,若多做,则按所做的第一个题目计分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 22.如图,AB 为圆 O 的直径,BC 为圆 O 的切线,连结 AC 交圆 O 于 D,P 为 AD 的中点, 过 P 作不同于 AD 的弦交圆 O 于 M、N 两点,若 BC=6,CD=4 (Ⅰ)求 MP?NP 的值 (Ⅱ)求证:∠C=∠AMD.

考点: 与圆有关的比例线段. 专题: 选作题;推理和证明. 分析: (Ⅰ)利用切割线定理、相交弦定理,即可求 MP?NP 的值 (Ⅱ)证明∠C=∠DBA,∠DBA=∠AMD,即可证明∠C=∠AMD. 2 解答: (Ⅰ)解:因为 BC 为圆 O 的切线,所以 BC =CD?AC, 因为 BC=6,CD=4 所以 AC=9, 所以 AD=5, 因为 P 为 AD 的中点, 所以 AP=PD= 所以 MP?NP=AP?PD= (Ⅱ)证明:连接 BD,则∠ABC=90°, 所以∠C+∠CAB=90°, 因为 AB 为直径, 所以∠ADB=90°, 所以∠CAB+∠DBA=90°, 所以∠C=∠DBA, 因为∠DBA=∠AMD, 所以∠C=∠AMD.

点评: 本题考查切割线定理、相交弦定理,考查学生分析解决问题的能力,正确运用切割 线定理、相交弦定理是关键. 【选修 4-4:坐标系与参数方程】 23.已知直线 l: (t 为参数) .曲线 C 的极坐标方程:p=3

(Ⅰ)设 A、B 是直线 l 与曲线 C 的交点,求|AB| (Ⅱ)若 P 是曲线 C 上任意一点,求△ ABP 面积的最大值. 考点: 参数方程化成普通方程. 专题: 坐标系和参数方程.

分析: (Ⅰ)化参数方程为普通方程,化极坐标方程为直角坐标方程,然后求出圆心到直 线距离,再利用勾股定理得答案; (Ⅱ) 求出圆周上的点到直线 l 的最大距离, 代入三角形的面积公式求得△ ABP 面积的最大 值. 解答: 解: (Ⅰ)将直线 l: 由 ρ=3,得 x +y =9, 圆心到直线的距离 d= ∴|AB|= , ; , = .
2 2

化为普通方程,得 x+y﹣1=0,

(Ⅱ)圆周上的点到直线 l 的最大距离 d=3+ ∴

点评: 本题考查参数方程化普通方程,考查极坐标方程化直角坐标方程,考查了直线和圆 的位置关系,是基础题. 【选修 4-5:不等式选讲】 24.已知 x,y∈R ,且 x+y=2 (Ⅰ)要使不等式 + ≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立,求实数 a 的取值范围 (Ⅱ)求证:x +2y
2 2 +



考点: 二维形式的柯西不等式;基本不等式;绝对值三角不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: (Ⅰ)由 + =( + )? =1+ + ,利用基本不等式求得它的最小值为 2,再

由 2≥|a+2|﹣|a﹣1|,利用绝对值的意义求得实数 a 的取值范围. (Ⅱ)由柯西不等式得(x +2y )?(1+ )≥(x+y) =4,由此变形即可证得要证的结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵x,y∈R ,且 x+y=2,∴ + =( + )? 当且仅当 x=y=1 时,取等号. 要使不等式 + ≥|a+2|﹣|a﹣1|恒成立,只要 2≥|a+2|﹣|a﹣1|. 而|a+2|﹣|a﹣1|表示数轴上的 a 对应点到﹣2 的距离减去它到 1 对应点的距离,而 对应点到 ﹣2 的距离减去它到 1 对应点的距离正好等于 2, 故不等式 2≥|a+2|﹣|a﹣1|的解集为(﹣∞, ) .
+ 2 2 2

=1+

+

≥ 2,

(Ⅱ)证明:由柯西不等式得(x +2y )?(1+ )≥(x+y) =4,∴x +2y ≥ . 点评: 本题主要考查基本不等式、柯西不等式的应用,绝对值的意义,绝对值不等式的解 法,属于中档题.

2

2

2

2

2


推荐相关:

2015年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(文科)

(Ⅱ)求证:x +2y 2 2 . 2015 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(文科)参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,...


高三数学2015咸阳市三模试题文科

(Ⅱ)求证:x +2y 2 2 . 5 2015 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(文科) 参考答案与试题解析 一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项...


陕西省咸阳市2015年高考数学三模试卷(理科)

(Ⅱ)求证:x +2y 2 2 + . 2015 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5,满分 60) 1.若集合 M={...


陕西省咸阳市2015年高考数学三模试卷(理科)

(Ⅱ)求证:x +2y 2 2 + . 2015 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5,满分 60) 1.若集合 M={...


2015年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)_169

(Ⅱ)求证:x +2y 2 2 + . 2015 年陕西省咸阳市高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题(共 12 小题,每小题 5,满分 60) 1.若集合 M={...


陕西省咸阳市2015届高三高考模拟试题(一) 数学理

陕西省咸阳市2015届高三高考模拟试题() 数学理_数学_高中教育_教育专区。2015...15. ? ? (cosx ? 4 x 4 ? 4 ? 1 3 ? 1)dx = 16.设 f (x)=...


咸阳市2015高三数学三模试题理科

2015 年陕西省咸阳市高考 数学三模试卷(理科)一、选择题(共 12 小题,每小题 5,满分 60) 2 1.若集合 M={y|y=sinx},N={x|x ﹣4≤0},则 M∩N=...


陕西省咸阳市2015届高考数学二模试卷(理科)【解析版】

(x)>t﹣t+1 成立,求实数 t 的取值范围. 陕西省咸阳市 2015高考数学模试卷(理科)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小...


陕西省咸阳市2015届高三高考模拟试题(一) 数学理[来源:学优高考网808960]

陕西省咸阳市2015届高三高考模拟试题() 数学理[来源:学优高考网808960]_...(-∞,-3] C.[-1,+∞) D.[1,+∞) 5.一只蜜蜂在一个棱长为 3 的...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com